2023-2024学年广东省中考数学对点突破模拟试卷含解析

2023-2024学年广东省中学山市教育联合体中考数学对点突破模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，

余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）

从江面看

A.①B.②C.③D.@

)

D.45°

3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD

交于点H,连接DH,下列结论正确的是（）

①△ABGs^FDG②HD平分NEHG③AG_LBE④SAHDG：SAHBG=tanNDAG⑤线段DH的最小值是2石-2

A.①②⑤B.①③④⑤C.①②④⑤D.①②③④

4.若一次函数y=（m+l）x+7〃的图像过第一、三、四象限，则函数＞=g2-mx（）

A.有最大值?B.有最大值-£C.有最小值?D.有最小值-£

5.利用运算律简便计算52x(-999)+49x(-999)+999正确的是

A.-999x(52+49)=-999xl01=-100899

B.-999x(52+49-1)=-999xl00=-99900

C.-999x(52+49+1)=-999xl02=-101898

D.-999x(52+49-99)=-999x2=-1998

6.如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是()

&

7.如图1,点P从△ABC的顶点B出发，沿B-C-A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP的长度y随时

间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则AABC的面积是（）

8.一小组8位同学一分钟跳绳的次数如下：150,176,168,183,172,164,168,185,则这组数据的中位数为（）

A.172B.171C.170D.168

9.如图，已知。O的半径为5,AB是。O的弦，AB=8,Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接

PQ,则PQ的最小值为（）

10.下列各组单项式中,不是同类项的一组是（）

A.和2肛~B.3xy和—：C.和—2yx?D.—3?和3

11.下列命题是真命题的个数有（）

①菱形的对角线互相垂直;

②平分弦的直径垂直于弦;

③若点(5,-5)是反比例函数y="图象上的一点，则k=-25；

X

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直线y=2x-1与直线y=3x-2交点的横坐标.

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原

计划每天施工x米，所列方程正确的是()

1000100010001000

A.-------B.-----------------=2

xx+30x+30x

1000100010001000

C.-------------------=2D.-----------------=2

xx-30x-30x

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分,共24分.)

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(0,2),。。的半径为1,点C为。O上一动点，过点B作BP,

直线AC,垂足为点P,则P点纵坐标的最大值为<

14.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第

4幅图中有个，第n幅图中共有个.

◊<3€><380…<3€>-O

第1幅京，幅第3幅第x幅

15.如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树

的高度为米.

16.RSABC中，AD为斜边BC上的高，若:」=4则==__.

BC

17.请写出一个比2大且比4小的无理数：.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-2,1),B(1,0),将线段AB绕着点B顺时针旋转90。得到线段BA，,

则A，的坐标为

A

y

Bx

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，已知A3是。。的直径，BC±AB,连结0C,弦直线交5A的延长线于点E.

(1)求证：直线CZ＞是。。的切线；

(2)若。E=28C,AO=5,求0C的值.

20.(6分)如图，RtAABC,CA±BC,AC=4,在AB边上取一点D,使AD=BC,作AD的垂直平分线，交AC

边于点F,交以AB为直径的。O于G,H,设BC=x.

(1)求证：四边形AGDH为菱形；

(2)若EF=y,求y关于x的函数关系式；

(3)连结OF,CG.

①若AAOF为等腰三角形，求。。的面积；

②若BC=3,则同CG+9=.(直接写出答案).

21.(6分)如图所示，一次函数丫=1«+1)与反比例函数y=—的图象交于A(2,4),B(-4,n)两点.分别求出一

X

次函数与反比例函数的表达式；过点B作BC，x轴，垂足为点C,连接AC,求AACB的面积.

22.（8分）如图，AB是。O的直径，点C为。O上一点，CN为。O的切线，OMLAB于点O,分别交AC、CN

于D、M两点.求证：MD-MC；若。。的半径为5,AC=46,求MC的长.

23.（8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有

一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB」行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知

BC=80千米，NA=」45。，ZB=30°.开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到

B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：0M.41,73=1,73）

24.（10分）如图，A（4,3）是反比例函数y=幺在第一象限图象上一点，连接OA,过A作AB〃x轴，截取AB=OA

X

（B在A右侧），连接OB,交反比例函数y=8的图象于点P.求反比例函数y=8的表达式；求点B的坐标；求小OAP

XX

25.(10分)如图，在顶点为P的抛物线y=a(x-h)2+k(ar0)的对称轴1的直线上取点A(h,k+—),过A作BC，1

交抛物线于B、C两点(B在C的左侧)，点和点A关于点P对称，过A作直线mJ_L又分别过点B,C作直线BE_Lm

和CD，m,垂足为E,D.在这里，我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线

的焦点矩形.

(1)直接写出抛物线y=9x2的焦点坐标以及直径的长.

4

1317

(2)求抛物线y=—xZ±x+—的焦点坐标以及直径的长.

424

3

(3)已知抛物线y=a(x-h)2+k(a/))的直径为5,求a的值.

(4)①已知抛物线y=a(x-h)2+k(a/))的焦点矩形的面积为2,求a的值.

1317

②直接写出抛物线y=-x2—x+—的焦点短形与抛物线y=x2-2mx+m2+l公共点个数分别是1个以及2个时m的值.

424

EA'

26.(12分)阅读材料，解答下列问题：

神奇的等式

当时，一般来说会有a2+bWa+b2,然而当a和b是特殊的分数时，这个等式却是成立的例如:

(1)特例验证：

请再写出一个具有上述特征的等式：;

(2)猜想结论：

用n(n为正整数)表示分数的分母，上述等式可表示为：；

(3)证明推广:

①(2)中得到的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

②等式(竺)2+——=—+(——)2(m,n为任意实数，且n/))成立吗？若成立，请写出一个这种形式的等式

nnnn

(要求m,n中至少有一个为无理数)；若不成立，说明理由.

27.(12分)如图，ZkABC和A3EC均为等腰直角三角形，且NACB=NBEC=90。，AC=40,点尸为线段5E延

长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段B屈与CD相交于点F.

PCCE

(1)求证:

CDCB

(2)连接8,请你判断AC与50有什么位置关系？并说明理由;

(3)若PE=L求APB。的面积.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择.

【详解】

解：原几何体的主视图是：

视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可.

故取走的正方体是①.

故选A.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.

2、B

【解析】

分析：根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可.

详解：如图,

VAB/7CD,Nl=45。，

.*.Z4=Z1=45°,

VZ3=80°,

Z2=Z3-Z4=80°-45°=35°,

故选B.

点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答.

3、B

【解析】

首先证明AABE丝ADCF,△ADG^ACDG(SAS),△AGB^ACGB,利用全等三角形的性质，等高模型、三边关

系一一判断即可.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是正方形，

/.AB=CD,ZBAD=ZADC=90°,ZADB=ZCDB=45°.

\•在AABE和△DCF中，AB=CD,NBAD=NADC,AE=DF,

.,.△ABE^ADCF,

/.ZABE=ZDCF.

•..在AADG和△CDG中，AD=CD,ZADB=ZCDB,DG=DG,

/.△ADG^ACDG,

ZDAG=ZDCF,

/.ZABE=ZDAG.

VZDAG+ZBAH=90°,

，/BAE+/BAH=90°,

；.NAHB=90。，

AAGIBE,故③正确，

同理可证：AAGB^ACGB.

；DF〃CB,

/.△CBG^AFDG,

/.△ABG^AFDG,故①正确.

VSAHDG:SAHBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tanZFCD,ZDAG=ZFCD,

ASAHDG:SAHBG=tanZFCD=tanZDAG,故④正确.

取AB的中点O,连接OD、OH.

由勾股定理得，OD=j4?+22=26，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小,

DH最小=1逐-1.

无法证明DH平分NEHG,故②错误，

故①③④⑤正确.

故选B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握

它们的性质进行解题.

4、B

【解析】

解：•••一次函数y=(m+1)x+m的图象过第一、三、四象限,

m+l>0,m<0,即・lVmV0,

o1m

二函数y==o有最大值，

••最大值为---,

4

故选B.

5、B

【解析】

根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题.

【详解】

原式=-999x(52+49-1)=-999x100=-1.

故选B.

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.

6、A

【解析】

试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A符合要求，故选A.

考点：简单几何体的三视图.

7^B

【解析】

根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与

AC的长度.

【详解】

解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，

由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5,即BC=5,

由于M是曲线部分的最低点，

,此时BP最小，即BP_LAC,BP=4,

二由勾股定理可知：PC=3,

由于图象的曲线部分是轴对称图形，

；.PA=3,

AAC=6,

.,.△ABC的面积为：-x4x6=12.

2

故选:B.

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型.

8、C

【解析】

先把所给数据从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可.

【详解】

从小到大排列：

150,164,168,168,,172,176,183,185,

二中位数为：(168+172)4-2=170.

故选C.

【点睛】

本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位

数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.

9、B

【解析】

连接OP、OA,根据垂径定理求出AQ,根据勾股定理求出OQ,计算即可.

【详解】

解:

由题意得，当点P为劣弧AB的中点时，PQ最小，

连接OP、OA,

由垂径定理得，点Q在OP上，AQ=-AB=4,

2

在RtAAOB中，OQ=JOA2_AQ2=3,

.\PQ=OP-OQ=2,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键.

10、A

【解析】

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项.

【详解】

根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.

故答案选：A.

【点睛】

本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.

11,C

【解析】

根据菱形的性质、垂径定理、反比例函数和一次函数进行判断即可.

【详解】

解：①菱形的对角线互相垂直是真命题；

②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是假命题；

③若点（5,-5）是反比例函数y=&图象上的一点，则k=-25,是真命题；

x

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直线y=2x-l与直线y=3x-2交点的横坐标，是真命题；

故选C.

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项,

结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.一些命题的正确性是用推理证实的，这样的

真命题叫做定理.

12、A

【解析】

分析：设原计划每天施工x米,则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2,列出方程即

可.

详解：设原计划每天施工x米,则实际每天施工（x+30）米，

_______..—10001000

根据题意，可列方程：----------=2,

xx+30

故选A.

点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

1+6

13、

2

【解析】

当AC与。O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D,连结OC,作CH±x轴于H,PM±x

轴于M,DN_LPM于N,

AOCIAC,

在AAOC中,VOA=2,OC=1,

.,.ZOAC=30°,ZAOC=60°,

在RtAAOD中，VZDAO=30°,

/.OD=^loA=^l,

33

在RtABDP中，VZBDP=ZADO=60°,

•DP--RD-J-(22G、_1G

2233

在RtADPN中，,:NPDN=30。，

11J3

.*.PN=-DP=---rl,

226

而MN=OD=^^,

3

/.PM=PN+MN=1-立+=1+6,

632

即P点纵坐标的最大值为匕且.

2

【点睛】

本题是圆的综合题，先求出OD的长度，最后根据两点之间线段最短求出PN+MN的值.

14、72n-1

【解析】

根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2x24=3个，第3幅图中有2x3-l=5个，…，可以发现，每个

图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案.

【详解】

解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.

第2幅图中有2x24=3个.

第3幅图中有2x3-l=5个.

第4幅图中有2x44=7个.

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.

故第n幅图中共有(2n-l)个.

故答案为7；2n-l.

点睛：考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律.

15、1

【解析】

EDDC

根据题意，画出示意图，易得：RtAEDC^RtAFDC,进而可得——=——；即DC?=ED?FD,代入数据可得答案.

DCFD

【详解】

根据题意，作AEFC,

FD=12,

易得：RtAEDC^RtADCF,

.EDDC,

有——=——，即DC2=EDXFD，

DCFD

代入数据可得DC2=31,

DC=1,

故答案为1.

16、

2

【解析】

利用直角三角形的性质，判定三角形相似，进一步利用相似三角形的面积比等于相似比的性质解决问题.

【详解】

如图,

VZCAB=90°,且AD_LBC,

.,.ZADB=90°,

.,.ZCAB=ZADB,且NB=NB,

/.△CAB^AADB,

，(AB：BC)1=△ADB：ACAB,

又,；SAABC=4SAABD,则SAABD:SAABC=1:4,

AAB：BC=1：1.

17、兀(下或币)

【解析】

利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可

【详解】

设无理数为炭，屈,所以x的取值在4~16之间都可，故可填石

【点睛】

本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键

18、(2,3)

【解析】

作AC_Lx轴于C,作AfCr±x轴，垂足分别为C、C,证明AABC也△BAO,可得OC，=OB+BCT=1+1=2,AC=BC=3,

可得结果.

【详解】

如图，作ACLx轴于C,作ACx轴，垂足分别为C、C,

•.•点A、B的坐标分别为(-2,1)、(1,0),

/.AC=2,BC=2+1=3,

；NABA，=90。，

.*.ABC+NA，BC，=90。，

VZBAC+ZABC=90°,

/.ZBAC=ZA,BC,,

VBA=BA,,ZACB=ZBC,A,,

.,.△ABC^ABATS

.,.OC,=OB+BC,=1+1=2,A'C'=BC=3,

：•点A，的坐标为（2,3）.

故答案为（2,3）.

【点睛】

此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）证明见解析；（2）二二二4.

【解析】

试题分析：（1）首选连接OD,易证得ACODg^COB（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等，求得NCDO=90。,

即可证得直线CD是。O的切线；

（2）由ACOD^^COB.可得CD=CB,即可得DE=2CD,易证得△EDAsaECO,然后由相似三角形的对应边成

比例，求得AD：OC的值.

试题解析：（1）连结DO.

；AD〃OC,

.,.ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD.

又；OA=OD,

:.ZDAO=ZADO,

.\ZCOD=ZCOB.3分

又；CO=CO,OD=OB

.".△COD^ACOB(SAS)4分

.,.ZCDO=ZCBO=90°.

又•.•点D在。。上，

...CD是。。的切线.

(2)T△COD四△COB.

/.CD=CB.

VDE=2BC,

/.ED=2CD.

VAD#OC,

/.△EDA^AECO.

•.•-A--D----D--E-—_—2,

OCCE3

：.OC.

■

考点：1.切线的判定2.全等三角形的判定与性质3.相似三角形的判定与性质.

20、(1)证明见解析；(2)y=-x2(x>0)；(3)①3兀或87r或(2&T+2)it；②4万.

83

【解析】

(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；

AEEF

(2)只要证明△AEFsaACB,可得一=—解决问题；

ACBC

(3)①分三种情形分别求解即可解决问题；

CFC

②只要证明ACFGSAHFA,可得——=——,求出相应的线段即可解决问题；

AFAH

【详解】

(1)证明：•••GH垂直平分线段AD,

；.HA=HD,GA=GD,

；AB是直径，AB1GH,

；.EG=EH,

•\DG=DH,

.\AG=DG=DH=AH,

二四边形AGDH是菱形.

(2)解：..28是直径，

:.ZACB=90°,

VAE±EF,

:.ZAEF=NACB=90。，

VZEAF=ZCAB,

/.△AEF^AACB,

.AEEF

••—f

ACBC

1

.一x

••2_y，

4x

；.y=-x2(x>0).

8

(3)①解：如图1中，连接DF.

G

图1

VGH垂直平分线段AD,

；.FA=FD,

当点D与O重合时，ZiAOF是等腰三角形，此时AB=2BC,ZCAB=30°,

•AR—8g

3

OO的面积为—?t.

3

如图2中，当AF=AO时,

H

图2

AB=7AC2+BC2=V16+X2，

AOA=V16+X2

2

AF=VEF2+AE2=

2

解得x=4（负根已经舍弃）,

**•AB=4-\/2，

/.OO的面积为8k.

如图2-1中，当点C与点F重合时，设AE=x,则BC=AD=2x,AB=716+4?»

图

VAACE^AABC,

/.AC2=AE«AB,

--.16=X«716+4X2>

解得x2=2j17-2（负根已经舍弃）,

:.AB2=16+4x2-8历+8,

，。0的面积=兀•1・AB2=(2V17+2)n

综上所述，满足条件的。。的面积为或舐或(2717+2)兀；

②如图3中，连接CG.

图3

VAC=4,BC=3,ZACB=90°,

，AB=5,

A

.“亚9,~；---------15,~；--------72/30

..FG=，「-7,AF=JAE2+EP2=AH=>/AE2+EH=--

2oo2

VZCFG=ZAFH,ZFCG=ZAHF,

AACFG^AHFA,

.GF_CG

••一,

AFAH

A/219

.。-8CG

一冠

8。

2M3730

510

.•.同CG+9=44.

故答案为40T.

【点睛】

本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、

解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题.

Q

21、(1)反比例函数解析式为y=—,一次函数解析式为y=x+2；(2)△ACB的面积为L

x

【解析】

(1)将点A坐标代入产一可得反比例函数解析式，据此求得点3坐标，根据A、3两点坐标可得直线解析式；

x

(2)根据点8坐标可得底边BC=2,由4、5两点的横坐标可得边上的高，据此可得.

【详解】

解：(1)将点A(2,4)代入产㈣，得：桃=8,则反比例函数解析式为尸巨，

xx

当x=-4时，y=-2,则点5(-4,-2),

2k+b=4

将点A(2,4)、8(-4,-2)代入尸h+方，得：〈，，，

-4左+b=—2

k=l

解得：,C，则一次函数解析式为y=x+2；

(2)由题意知3c=2,则△ACB的面积=Lx2xl=l.

2

【点睛】

本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关

键.

22、(1)证明见解析；(2)MC=—.

4

【解析】

【分析】(1)连接OC,利用切线的性质证明即可；

(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.

【详解】(1)连接OC,

；CN为。O的切线，

.'.OC±CM,ZOCA+ZACM=90°,

VOM±AB,

.,.ZOAC+ZODA=90°,

VOA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

:.ZACM=ZODA=ZCDM,

/.MD=MC；

(2)由题意可知AB=5x2=10,AC=4非,

；AB是。O的直径，

/.ZACB=90°,

/.BC=^102-(4V5)2=2逐，

VZAOD=ZACB,ZA=ZA,

/.△AOD^AACB,

.OP_AO_5

"BC-AC**2下-4布'

可得：OD=2.5,

设MC=MD=x,在RtAOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x?+52,

解得：x=

4

即MC=—.

4

【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相

似三角形是解决问题的关键.

23、（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千

米

【解析】

(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角AACD中，解直角三角形求出CD,进而解答即可;

(2)在直角ACBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程.

【详解】

解：(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,

杵益(千米),

2

AC+BC=80+40V2=40x1.41+80=136.4（千米）,

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米;

BD一,

（2）cos30°=-----,BC=80（千米）,

BC

：.BD=BC»cos30°=80x2^=4073（千米）,

CD

,.,tan45°=——CD=40（千米），

AD

CD40

；.AD=Y=40（千米）,

tan45°

:.AB=AD+BD=40+406s：40+40x1.73=109.2（千米）,

二汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决

的方法就是作高线.

17

24、(1)反比例函数解析式为y=一；(2)点B的坐标为(9,3)；(3)△OAP的面积=1.

x

【解析】

(1)将点A的坐标代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=OA=1,由AB〃x轴即可得点B的坐标;

(3)先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得.

【详解】

(1)将点A(4,3)代入y=&,得：k=12,

X

12

则反比例函数解析式为y=一；

x

(2)如图，过点A作ACLx轴于点C,

贝！IOC=4、AC=3,

•*,OA="2+3?=1，

；AB〃x轴，且AB=OA=1,

.•.点B的坐标为(9,3)；

(3)I•点B坐标为(9,3),

/.OB所在直线解析式为y=1x,

1

y=­x

-3

由《可得点P坐标为(6,2),(负值舍去),

12

y=—

x

过点P作PD_Lx轴，延长DP交AB于点E,

则点E坐标为(6,3),

；.AE=2、PE=1、PD=2,

则AOAP的面积=^x(2+6)x3--x6x2--x2xl=l.

222

【点睛】

本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.

21

25>(1)4(1)4(3)±—(4)①④二土万；②当m=l-及或m=5+后时，1个公共点，当1-^/2<m<l或5WmV5+&

时，1个公共点,

【解析】

(1)根据题意可以求得抛物线y=-x1的焦点坐标以及直径的长；

4

1317

(1)根据题意可以求得抛物线y=-xi-±x+—的焦点坐标以及直径的长；

424

3

(3)根据题意和y=a(x-h)】+k(a邦)的直径为可以求得a的值；

(4)①根据题意和抛物线y=axI+bx+c(a邦)的焦点矩形的面积为1,可以求得a的值；

1317

②根据(1)中的结果和图形可以求得抛物线丫=:(-7*+:的焦点矩形与抛物线y=xi-lmx+mi+l公共点个数分别是

424

1个以及1个时m的值.

【详解】

(1):•抛物线y=4xi,

4

1

二此抛物线焦点的横坐标是o,纵坐标是：o+1r=i,

4x—

4

二抛物线y=，x】的焦点坐标为(0,1),

4

将y=l代入y=-X、得xi=-l,xi=l,

4

,此抛物线的直径是：1-(-1)=4；

13171

(1)Vy=-x1-­x+--(x-3)1+1,

4244

1

...此抛物线的焦点的横坐标是：3,纵坐标是：1+11=3,

4x—

4

二焦点坐标为(3,3),

将y=3代入y=：(x-3)J+l,得

4

3=—(x-3)0I,解得，xi=5,xi=l,

4

二此抛物线的直径时5-1=4；

(3)•.•焦点A(h,k+—),

4a

111

•*.k+—=a(x-h)Ik,解得，xi=h+7j—[,xi=h-Tj—T,

4a2|a|2|a|

1113

二直径为：h+T|-|-(h-TT-|)=n=->

21al2|a||a|2

2

解得，a-±—,

3

..2

即a的值是士—；

3

1

(4)①由(3)得，BC=n，

lal

1

又CD=A'A=中.

21al

111

所以，S=BC«CD=.=1.

nIal21al2a2

解得，a=±1；

2

②当或m=5+&时，1个公共点，当l-夜<mWl或5WmV5+正时，1个公共点，

1317

理由：由(1)知抛，物线y=：xi-7x+下的焦点矩形顶点坐标分别为：

424

B(1,3),C(5,3),E(1,1),D(5,1),

当y=xi-lmx+mi+l=(x-m)41过B(1,3)时，m=L0或m=l+及(舍去)，过C(5,3)时，m=5-血(舍去)

或m=5+72，

二当m=L逝或m=5+0时，1个公共点；

当L正VmWl或5WmV5+0时，1个公共点.

由图可知，公共点个数随m的变化关系为

当m<l-、历时，无公共点；

当m=l-正时，1个公共点；

当1-血Vm勺时