2024年高考适应性考试数学试题

数学试题

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】由中位数定义即可得.

【详解】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

则其中位数为16.

故选：B.

2.椭圆一+丁=1（。〉1）的离心率为9,则。=（）

a

A.半B.72C.73D.2

【答案】A

【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.

【详解】由题意得6=也三=」,解得0=2叵，

a23

故选：A.

3.记等差数列｛4｝的前几项和为S）,,%+%=6吗2=17,则黑=（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】C

【分析】利用下标和性质先求出%+«12的值，然后根据前〃项和公式结合下标和性质求解出Sl6的直

【详解】因为。3+%=2%=6,所以%=3,所以%+62=3+17=20,

所以S]6=（"1+?）_=8（%+。12）=160,

故选：C.

4.设名厂是两个平面，相，/是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.建a：a,U/B,则m_L/B.若mua,lu0,m〃l,则2〃1

C.若a(3=m,l//a,l///3,则加〃/D.若mLa,l工0,m〃l,则(z_L，

【答案】c

【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.

【详解】对于A,机,/可能平行，相交或异面，故A错误，对于B,名4可能相交或平行，故B错误，

对于D,名P可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，

故选：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）

A.20种B.16种C.12种D.8种

【答案】B

【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理

求得结果.

【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，

①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有人盹人；*人；=8种方法；

②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有6种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有人"人打人；=8种方法；

由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，

故选：B.

6.已知。为直线/：%+2y+l=。上的动点，点P满足。？=（1,一3）,记P的轨迹为E,贝U（）

A.E是一个半径为出的圆B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为近D.E是两条平行直线

【答案】C

【分析】设？（尤,y）,由。尸=（1,一3）可得。点坐标，由。在直线上，故可将点代入坐标，即可得尸轨迹后，

结合选项即可得出正确答案.

【详解】设尸（x,y）,由Q户=（1,-3）,则Q（x—l,y+3）,

由。在直线/：x+2y+l=0上，故x-l+2（y+3）+l=0,

化简得x+2y+6=0,即p轨迹为E为直线且与直线/平行,

E上的点至U/的距离d=苴=石，故A、B、D错误，C正确.

Vl*2+*22

故选：C.

7.己知，e（羽，兀］,tan26=_4tan［，+四］,则一］；sin2"_=（）

I4）I4）2cos2e+sin28

【答案】A

【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将l；：n2’齐次化即可得出答案.

2cos6>+sm26>

【详解】由题，e［+，7r］,tan2，=-4tan［，+：］,

z2tan0—4（tan8+l）/2八

得B---------二——--------L——4（tan6+lX）=2tan6,

1-tan2^1-tan^v7

则（2tan8+l）（tane+2）=0ntan6=—2或tan。=一;,

因为。£f一屋'兀,tan0e（-l,0）,所以tand=_g,

1+sin23_sin2^+cos2^+2sin^cos0_tan2^+l+2tan^

2cos2日+sin2^2cos2^+2sin^cos^2+2tan0

-2+（-1）-4

故选：A

22

8.设双曲线C:二-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳,且，过坐标原点的直线与。交于A3两点,

ab

区同=2阳山,与4书3=4〃，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.75D.近

【答案】D

【分析】由双曲线的对称性可得闺H=|乙目、闺固=|耳H且四边形人与3鸟为平行四边形，由题意可得出

NF2BFI,结合余弦定理表示出与“、C有关齐次式即可得离心率.

【详解】

由双曲线的对称性可知闺4|=%用，闺到=区旬，有四边形AT/g为平行四边形,

令闺H=|耳目=",则田曰=|&4|=2帆,

由双曲线定义可知|乙H一|耳H=2。，故有2加—m=2a,即加=2a,

即|犀4]=|用用=?n=2a,|耳=|%4|=4a,

F^AF^B=|F,A|-|2^5|cosZAF.-B=2ax4acosZAF^B=4a*2,

12jr

则cosNAg3=5,即4485=告，故N8班=§

日货+上呼山用2

（4a）2+（2«）2-（2c）2

则有cosZFBF=

2X2x4ax2a2

20/—4/1204/i

即即3—土=—上，则e?=7，由e〉l,故e=#i.

16a2216162

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于。、〃、c之间的等量关系，本题中

结合题意与双曲线的定义得出闺山、|《耳与。的具体关系及/耳3耳的大小，借助余弦定理表示出与

〃、。有关齐次式，即可得解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

已知函数/(X)=sin12x+日+cos[2xH——j,则（

9.

A.为偶函数

B,曲线y=/(x)对称轴为工=加,4eZ

c./(%)在区间单调递增

D./(%)的最小值为-2

【答案】AC

【分析】利用辅助角公式化简/(x)=sin[2x+?]+cos]2x+?；再根据三角函数的性质逐项判断即

可.

【详解】/(X)=sin[2x+g〔+cos[2x++]

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos-—sin2xsin—

4444

V2V2V2V2_.

------sin2xH------cos2x-------cos2%------sin2%——v2sin2x，

2222

即/(x)=-&sin2x,

对于A,f-^=-V2sin-^=V2cos2x,易知为偶函数，所以A正确；

对于B,=—J^sin2x对称轴为2x=至+E,keZ=>x='+~^,keZ,故B错误；

对于C,,y=sin2x单调递减，则

/(%)=—0sin2x单调递增，故C正确；

对于D,/(%)=-V2sin2%,则sin2%e[—1,1],所以/(x)e[—后,后],故D错误；

故选：AC

10.已知复数z,w均不为0,则()

【答案】BCD

【分析】设出z="+历、w=c+di,结合复数的运算、共轨复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.

【详解】设z=“+bi(a,〃£R)、w=c+di(c.deR)；

对A：设2=〃+历(。,人£1<),则z2=(a+Z?i)2—a?+2abi——片一/+2abi,

故A错误;

对B：2二上一,又z・z=|z1，即有==——,故B正确;

zz-zz\z\

对C：z-w=a+bi-c-di-a-c+(b-d^i,则z—w=〃一c—(b—d)i,

z=a—bi，w=c—di则2—w=〃一历一。+泊=〃一c—(b—d)i,

即有z—w=z—w，故C正确;

za+bi(^+/?i)(c-Ji)ac+bd-(ad-bc)i

对D：一

wc+di(c+di)(c—di)c1+d2

+2abed+b?d?+a2d?—2abcd+b2/

(c2+J2)2

_a-c~+b2d2+a2d2+Z?2c?_Va2c2+Z?2J2+a2J2+b2c2

一V(c2+J2)2-c』?'

且=6+九=出+及义正+虐="+/).+/)

Hy/c2+d2(^+/c2+d2

_yja2c2+/?2c2+a2d2+/72t/2

,Zz

故一故D正确.

ww

故选：BCD.

ii.已知函数/(x)的定义域为R,且/［；卜°，若/(x+y)+/(x)〃y)=4◎，则()

C.函数/［元―是偶函数D.函数/(x+g)是减函数

【答案】ABD

【分析】对抽象函数采用赋值法，令x=＜、＞=°，结合题意可得/(o)=—i，对A：令x=g、y=°，

及函数+g

代入计算即可得；对B、C、D：令y=-；,可得f-2x,即可得函数/

函数的性质，代入x=l,即可得了

则有HH/⑼=/、[口+/⑼]=0,

【详解】令%y=o

2

又(；卜0,故1+/(0)=0,即/(o)=—1,

由/(O)=T,可得df—£|=°,

又故/1_g]=0,故A正确;

-2%,故函数/1x—g

即/是奇函数,

有/(x+l-g]=-2(%+1)=_2x-2,即/+^-j=-2x-2,

即函数+是减函数，

令％=1,有/1|J=-2xl=-2,

故B正确、C错误、D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到/(o)=-1，再重新

赋值，得到/1_g]=0,再得到=

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合A={—2,0,2,4},3={用无一3区时，若AB=A,则加的最小值为.

【答案】5

【分析】由AB=A可得解出集合8后结合集合的关系计算即可得.

【详解】由AB=A,故AgB,

由W--m+3<x<m+3,

4<m+3fm>1

故有1~°，即=，即加之5,

-2>-m+3[m>5

即〃z的最小值为5.

故答案为：5.

13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球。的直径相等，则圆锥W的体积与球。的体积的比值

是,圆锥W的表面积与球。的表面积的比值是.

2

【答案】©.|②.1

【分析】设圆锥的底面圆半径『以及球的半径R,用,表示出圆锥的高力和母线/以及球的半径R,然后根

据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.

【详解】设圆锥的底面半径为,，球的半径为R,

因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高,母线/=2r,

由题可知：h=2R,所以球的半径R=@r

2

所以圆锥的体积为匕=|x（7rxr2）xT3r=^7rr3，

球的体积匕=3兀&=3兀=心~皿3,

23312J2

G3

TZ——兀广①

所以]=3;

%633

——nr

2

圆锥的表面积S]=nrl+nr2=3nr~,

球的表面积52=4兀△2=4兀*史r=3口2,

匕…S,3a之

所以吩=T==1,

S23a2

2

故答案为：—；1.

14.以max"表示数集M中最大的数.设0<avZ?<c<l,已知或〃+人<1,则

max{b-a,c-b,l-c}的最小值为

【答案】1##0.2

b=l-n-p

【分析】利用换元法可得।，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.

a=l-m-n-p

【详解】^b-a=m,c-b=n,l-c=p,其中私凡p>0,

b=l-n-p

所以

a=l-m-n-p"

若Z?N2〃，则）二1一〃一pN2（l一加一〃一夕），故2加+〃+夕21,

令〃=max{/?-〃,c-/7,l-c}=max{根,,

2M>2m

因此<M>n，故4-M>2m+〃+1,则M>—,

4

M>p

若Q+b«l,贝|1一〃一p+1一根一〃一夕K1,即m+2n+2/?>1,

=rnax(m,n,/?),

M>m

则《2M>In，故5M>m+2n+2p>1,则A12工，

2M>2p

当根=2〃=2P时，等号成立,

综上可知皿乂抄一4。一女1一耳的最小值为!,

故答案：—

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在622。和〃+b<l前提下进行合理分类讨论，根据题意

得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/■(*)=11我+/+狈+2在点(2,/(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(X)单调区间和极值.

【答案】(1)a=-3

(2)单调递增区间为1o,gj、(L+8)，单调递减区间为(3J3

,极大值——In2,极小值0

4

【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得;

(2)借助导数可讨论单调性，即可得极值.

【小问1详解】

11a

/'（尤）=—+2x+〃,则/'（2）=—+2x2+a=—+〃,

x22

由题意可得+=—1,解得〃=—3；

【小问2详解】

由a=—3,故/(%)—lux+x2—3x+2,

则/,(x)」+2x-3=21—3x+l=(2x-l)(x-1),3，

XXX

故当0<x<J时，f\x)>0,当［<x<l时，/'(x)<0,当龙〉1时，f^x)>0,

22

故/(%)的单调递增区间为［o］)、(1,+8)，/(X)的单调递减区间为&，1)，

故/（%）有极大值U=lng+1£|13

-3x-+2=——ln2,

24

有极小值/(l)=lnl+F—3xl+2=0.

16.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.

(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).

4

【答案】(1)-

7

（2）分布列见解析，E（X）=一

【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取

法数，再除以总的取法数可得结果；

（2）先确定X的可取值为L2,3,然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可

求分布列和期望E（X）.

【小问1详解】

记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,

先确定3个不同数字的小球，有C；种方法，

然后每种小球各取1个，有C；xC；xC；种取法,

所以尸⑼=生《/色整

8

【小问2详解】

由题意可知，X的可取值为L2,3,

当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,

C；C：+C；C,_9

所以尸（X=l）=

当X=2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,

所以P（X=2）=当芦4=^

8

当X=3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,

C；C；+C；C；_1

所以P（X=3）=

C；14

所以X的分布列为:

X123

921

P

14714

92110

所以E（X）=lx—+2x—+3又一=一

V'147147

17.如图，平行六面体ABC。-A4GR中，底面ABC。是边长为2的正方形，。为AC与3。的交点,

A4,=2,ZC]CB=ZQCD.ZCjCO=45°.

（1）证明：G。，平面A3C£）；

（2）求二面角3-憾一。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵述

3

【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小问1详解】

连接5£,DG，

因为底面ABC。是边长为2的正方形，所以5C=DC,

又因zqcB=zqcn,cq=cc>

所以QCD,所以5G=£>G，

点O为线段3。中点，所以GOLB。,

在△GCO中，CCl=2,CO=^AC=42,ZC,CO=45°,

也

所以cosN£CO==>CjO=y/2,

22XCJCXOC

22

则qc=OC+C02nc1o±oc,

又OCBD=O,OCu平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以CQ,平面ABC。.

【小问2详解】

由题知正方形ABC。中AC人3D,G。，平面ABCD,所以建系如图所示,

则B(0,V2,0),D(0,-V2,0),A(V2,0,0),C(-V2,0,0),G(0,0,72),

则叫=/=(后,0,收)，

AB=(-V2,y/2,0),AD=(-72,-72,0),

设面BAA1的法向量为加=（石,弘，4）,面的法向量为“=（%,%,Z2）,

-m=0Ox"岳1=0

则

AB-m=0-缶i+为i=0

心R=0=],+々=0n〃=(iTT，

AD•m=0[-y/2x2-y/2y2=0

设二面角B-44-。大小为氏

八m-n112

则“丽sin0=A/1-COS0二

3，

所以二面角的正弦值为过1.

3

18.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过产的直线/交C于A3两点，过尸与/垂直的直线交。于

两点，其中5。在x轴上方，加,尺分别为4民£）£的中点.

（1）证明：直线"N过定点;

(2)设G为直线AE与直线3。的交点，求一GMN面积的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)8

【分析】(1)设出直线A3与直线CD的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出

直线后即可得定点坐标；

(2)设出直线AE与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为-1,再

结合面积公式及基本不等式即可得.

【小问1详解】

由C:/=4x,故歹(1,0),由直线A3与直线CD垂直，

故两只直线斜率都存在且不为0,

设直线AB、CD分别为％=吗>+1、x^m2y+l,有叫冽2=一1，

A（/X）、§（%,%）、石（毛,为）、。（%4，%）,

y2—4x

联立C：/=4x与直线A3,即有广，

x=m[y+l

消去尤可得y?-4叫,一4=0,A=16加；+16>0,

故%+%=4叫、乂%=-4，

则%+%2=%%+1+犯％+1=町（％+%）+2=4琳+2,

故月上=2喈+1,无a=2叫，

即“（2鬲+1,2班），同理可得N（2濡+1,2叫），

当2/n；+1w2欣+1时，

则心尸遍帝"（I喈T）+2%

即尸存3（-2琳T+2ml-①±1+2叫（也+肛）

7

g一叫、和+叫m2+ml

x2/+1-2mm2-2/x1—2mm2

—l—1）

g+仍g+叫叫+叫g+叫

X1+217.X

由叫加2=_]，即,=-----------------=--------—

加2+叫加2+mim2+mi

1

故x=3时，有＞=(3-3)=0,

m2+m.

此时MN过定点，且该定点为（3,0）,

当24+1=2滋+1时，即宿=加;时，由班机2=-1,即仍=±1时,

有/〃N：元=2+1=3,亦过定点（3,0）,

故直线过定点，且该定点为（3,0）；

由A（%，x）、5（程％）、£（F，为）、。（%4，乂），

则“AE：丁=一^~(x—X)+X，由y；=4石、=4x2,

X3~xi

(2\A22,

MXY%,v_4x%4x।M%

iyy——2----T--------十%—------------------------------1----------------

故A-Xl4)%+X%+M为+X%+M%+M'

44

4%+,2y4,联立两直线，即,%+%%+%

同理可得:y=--

%+%%+%y=4x+%%

■%+y2%+y2

有上+4=上+4

%+M%+X/+%%+%

即4x(y4+y2)+%%(%+%)=4x(%+X)+%%(%+%)，

百x=y2y4(%+%)-%%(〉+%)

由％%=-4，同理y3y4=-4，

4(%+%-%-%)

二y2y4(%+M)—%%(%+%)y2y3y4+2y4-3y4-%%%

-4(%+%—%-%)4(%+

T%+N-%-%)=]

4(%+%-%-%)

故%=T，

过点G作GQ〃x轴，交直线跖V于点Q,则SGMN=；|%—%|义卜—XG|，

由“（2〃?；+1,2g）、N（2屁+1,2mj）,

,,2Ir

故加一%=2叫一2加2=2g+—N22mlX一=4,

呵、叫

当且仅当叫=±i时，等号成立，

下证,2一％卜4：

由抛物线的对称性，不妨设叫＞0,则7%＜0,

当叫＞1时，有铀=-二-€（—1,0）,则点G在X轴上方，点。亦在X轴上方,

叫

---i~r＞0（\

有加2+叫m_J_，由直线肱V过定点（3,0）,

m2

此时一＞3-（-1）=4,

同理，当班＜1时，有点G在x轴下方，点。亦在x轴下方，

有一--＜。，故此时上一无G|＞4，

m、+mAIeI

当且仅当叫=1时，x°=3,

故卜。一%,4恒成立，且叫=土1时，等号成立，

故SGMN=1|yM-^|X|^-XG|^|X4X4=