江苏省宿迁市2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（含答案解析）

江苏省宿迁市沐阳县外国语实验学校2023-2024学年九年级

上学期第二次月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2-6x—3B.3x+2y=lC.x3+4x=11D.3x2-6y—l

2.已知。。的半径为5,OA=6,则点A在（）

A.OO内B.OO上C.OO外D.无法确定

3.一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均

后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（）

A.摸到黄球B.摸到红球C.摸到白球D.摸到黑球

4.某网络学习平台2020年的新注册用户数为100万，2022年的新注册用户数为178万,

设新注册用户数的年平均增长率为x（x>0）,根据题意所列方程正确的是（）

A.100x2=178B.100（l+x）2=178C.100（l-x）2=178

D.100（1+2x）=178

5.下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆B.任何三角形有且只有一个内切圆

C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心是三条角平分线的交点

6.在学校演讲比赛中，10名选手的成绩统计图如图所示，则这10名选手成绩的众数

7.如图，/2为的直径，C、D是上的两点，ZDAC=25。,AD=CD,则/A4c

的度数是（）

试卷第1页，共6页

35°C.40°D.50°

8.如图，矩形/BCD中，AB=2,BC=3,以/为圆心，1为半径画圆，E是04上一动

点，P是2C上的一动点，则PE+尸。的最小值是（）

C.4D.3

二、填空题

9.已知七，X2是一元二次方程x2-6x+2=0的两根，则占+%=

10.如图，点/、B、C在OO上，若//。3=140。，则//C3的度数为.

II.如图，是"3C的外接圆，Z^=60°,SC=4A/3,则。。的半径是.

12.如图，正五边形48CDE的边长为4,以为边作等边/，则图中阴影部分的

面积为.

试卷第2页，共6页

D

13.若用是方程2/_3x-1=0的一个实数根，贝U2024-2加2+3加的值为.

14.如图，AB.AC,8。是。。的切线，尸、C、。为切点，如果48=5,AC=3,贝!J3〃

的长为.

15.已知在RtAABC中，NC=90。，AC、BC的长分别是一元二次方程x2-14x+48

=0的两根，则RtAABC内切圆的半径为.

16.如图，是。。的直径，C是9延长线上一点，点。在。。上，S.CD=OE,CD

的延长线交。。于点£.若NC=25。，则/3OE为°.

18.在矩形48CA中，48=4,BC=6,动点尸为矩形边上的一点，点?沿着8-C的

路径运动（含点3和点C）,则的外接圆的圆心。的运动路径长是.

三、解答题

试卷第3页，共6页

19.解方程:

(1)X2-6X-7=0.

(2)x(x-2)-3(x-2)=0.

20.为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某校随机抽取20名学生，进行“奥运知

识知多少”的测试，满分10分，并绘制如图统计图：

人数

6

5

4

3

2

678910分数

(1)这20名学生成绩的中位数是,众数是；

(2)求这20名学生成绩的平均数；

(3)若成绩在9分及以上为优秀，请你估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少

名？

21.生活垃圾分类不仅是城市精细化管理水平的重要体现，更是一座城市文明的有力表

现.为响应扬州市政府的号召，培养中学生垃圾分类的责任、意识和习惯，邢江区某校

七年级开展了相关的知识竞赛，要求每班各出两名选手参与竞答比赛.七(3)班共有

/、B、C、。四名同学报名参赛.

(1)班主任第一次选人就选到/同学的概率是多少？

(2)请用列表或树状图的方法求出/、C两名同学被选中的概率.

22.蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知48=8m,半径CM=5m,求高

度的长.

'O

23.如图，已知尸/、尸B分别与OO相切于点A、B,ZAPB=80°,C为OO上一点.

B

试卷第4页，共6页

⑴求//C3的大小；

(2)请用不带刻度的直尺画出//C8的角平分线.(保留作图痕迹，不用写作法)

24.如图，已知是。。直径，且4B=8.C,。是O。上的点，OC//BD,交40于

(1)求/CQ4的度数；

(2)求图中弧8。与弦8。围成的阴影部分的面积(结果保留万).

25.关于x的一元二次方程/-2(加+1卜+/+5=0有两个实数根.

(1)求"的取值范围；

(2)若RtZ\48C的两条直角边/C,8C的长恰好是此方程的两个实数根，斜边48=6,

求RtZ\/3C的周长.

26.2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平

均每天可售出30件，每件盈利40元.为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了

降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件.

(1)若降价x元后，每件衬衫的利润=元，平均每天销售数量为件(用

含x的代数式表示)；

(2)若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？

27.若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形.如图

1,四边形/8CD中，若AC=BD,AC1BD,则称四边形/8CD为奇妙四边形.根据

奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积

等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答：

试卷第5页，共6页

⑵如图2,已知。。的内接四边形/BCD是奇妙四边形，若。。的半径为8,

ZBCD=60°.求奇妙四边形48CD的面积；

⑶如图3,已知OO的内接四边形48c。是奇妙四边形.请猜测40和3c的位置关系,

并证明你的结论.

28.如图，在一张四边形/BCD的纸片中，AB//DC,AD=AB=BC=2血，〃=45。,

以点A为圆心，2为半径的圆分别与/8、AD交于点、E、F.

(1)求证：与。/相切；

(2)过点8作。/的切线；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(3)若用剪下的扇形/跖围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪

出一个圆作为这个圆锥的底面？

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】

根据一元二次方程的定义进行解答即可.

【详解】A.f_6x=3,是一元二次方程，故此选项符合题意；

B.3x+2y=l,含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C.X3+4X=11,未知数的最高次数不是2,不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D.3x2-6y=7,含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键.

2.C

【分析】

点在圆上，则d=〃；点在圆外，d>r；点在圆内，即点到圆心的距离，厂即圆的半

径）.

【详解】

解：・.Q=6>5,

•••点A与。O的位置关系是点在圆外，

故选：C.

【点睛】

考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的

距离和半径的大小关系.

3.A

【分析】

分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可.

【详解】袋子中一共有1+3+4=8个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球.

•♦•摸到白球的概率=：

O

摸到黄球的概率

O

答案第1页，共19页

摸到红球的概率=:3

O

摸到黑球的概率=0

•♦•摸到黄球的概率最高.

故选:A

【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率:事需!黑黑墨霹•

掌握概率的计算方法是解题的关键.

4.B

【分析】

根据2022年的新注册用户数为178万列方程即可得到答案;

【详解】解：由题意可得,

100(1+x)2=178,

故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式.

5.B

【分析】根据确定圆的条件、等弧的概念、三角形的内切圆、三角形的内心、外心的概念判

断即可.

【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A错误；

任何三角形有且只有一个内切圆，B正确；

能够互相重合的弧是等弧，C错误；

三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，D错误；

故选：B

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断

命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

6.B

【详解】试题分析：根据折线统计图可得：90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；

故选B.

考点：众数；折线统计图.

7.C

【分析】

答案第2页，共19页

连接AD,利用圆周角定理得到/48D=ND/C=25。，ZADB=90°,然后利用三角形内角

和计算/C48的度数.

【详解】解：连接50,如图，

为。。的直径，

/.ZADB=90°,

VZDAC=25°,AD=CD,

：.ZABD=ADAC=25°,

ZDAB=90°-25°=65°,

：.ZCAB=NDAB-ZDAC=65。-25。=40°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所

对的弦是直径.

8.C

【分析】过点。作关于直线8。的对称点凡连接NR交BC于点P,交O/于点£,此时

PE+PD最小,等于4F-4E,勾股定理计算即可.

【详解】如图，过点。作关于直线8C的对称点尸，

连接/R交于点尸，交。/于点E,此时PE+PD最小，等于AF-/E,

因为四边形/8CD是矩形，AB=CD=2,AD=BC=3,

所以。F=4,NADF=90。,

所以4F=yjAD2+DF2=A/32+42=5，

答案第3页，共19页

所以4E+M=5,

所以£/=5-1=4,

所以PE+PD的最小值为4,

故选C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，

轴对称性质是解题的关键.

9.6

【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案.

【详解】解：：为，巧是一元二次方程--6》+2=0的两根，

,~6

•・X]+=—~—6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若王，王2是一元二次方程

"2+bx+c=0（aw0）的两根时，再+超=一±,再/=上.掌握一元二次方程根与系数的关

aa

键是解题的关键.

10.70

【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心

角的一半，即可求解.

【详解】解：：点/、B、C在。。上，4403=140。，

ZACB=-ZAOB=10°.

2

故答案为：70.

11.4

【分析】

作直径C。，如图，连接2。，根据圆周角定理得到NC8O=90。，ZD=60。，然后利用含30

度的直角三角形三边的关系求出CD,从而得到。。的半径.

【详解】解：作直径8,如图，连接3。，

答案第4页，共19页

D

•••CO为直径，

/CBD=90°

ZD=ZA=60°，

ZDCB=30°，

:.BD=BCtan3（f=-x4^=4，

3

:.CD=2BD=S

OC=4

即。。的半径是4.

故答案为4.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分

线的交点，叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

32

12.—71

15

【分析】

首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得

阴影部分的面积即可.

【详解】解：在正五边形43cDE中，Z^g=^~2）X180O=108P,

5

•••△/AF是等边三角形，

ZFAB=60°,

：.ZEAF=48°,

・c_48x4?"_32万

.・3阴影.

故答案为：等324.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得阴影扇形角度，难度不大.

13.2023

答案第5页，共19页

【分析】本题主要考查代数式的值及一元二次方程的解•把小代入方程可得2苏-3加=1,

然后利用整体代入求解即可.

【详解】解：把加代入方程可得2/-3巾-1=0,

2m2—3m=1>

2024-2川+3%

=2024-(2/一3加)

=2024-1

=2023；

故答案为：2023.

14.2

【分析】根据切线长定理可直接进行求解.

【详解】解：：AB、AC、BD是。O的切线，

；.AP=AC,BP=BD,

VAB=5,AC=3,

；.BP=AB-AP=2,

.,.BD=2；

故答案为2.

【点睛】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

15.2

【分析】先解一元二次方程可得AC和BC的长，根据勾股定理计算AB的长，再用直角三

角形内切圆公式进行解答即可.

【详解】；AC、BC的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两根

可得(x-6)(x-8)=0,解得方程的两个根为x=6或8,

VZC=90°

二由勾股定理可得4B=后7记=10

；•RtAABC的内切圆的半径为6+8T0=2

2

【点睛】本题主要考查解一元二次方程、勾股定理、直角三角形内切圆公式，熟悉公式定理

是关键.

16.75

答案第6页，共19页

【分析】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，连接利用半

径相等和等腰三角形的性质求得/EDO,从而利用三角形的外角的性质求解.

【详解】连接8.

CD=OA=OD,/C=25°

NODE=2NC=5。。

OD=OE

NE=ZEDO=50°

ZEOB=ZC+ZE=25°+50°=75°

【分析】

本题考查的是同弧所对的圆心角和圆周角之间关系，根据题意分类讨论是解题关键.

根据点人与点。在8c边同侧或两侧，分类讨论，按照同弧所对的圆心角和圆周角的关系解

答即可.

【详解】解：分两种情况：

(1)点4与点。在3c边同侧时，如下图：

.•.Za4C=Lxl000=50°；

2

(2)点4与点O在3c边两侧时，如下图:

答案第7页，共19页

R

■：ZSOC=100°,即病所对的圆心角为100。，

二荻所对的圆心角为：360-100°=260°,

/.N8NC=」x260=130。

2

故答案为：50或130

18.-

4

【分析】

本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识.如图，连接4C、8。交于点O.当

点尸与3或C重合时，△尸4D的外接圆的圆心与O重合，当尸/=时，设AP4D的外接圆

的圆心为O,尸。的延长线交/£)于E,设PO=OD=x,因为AP/。的外心在线段的垂直

平分线上，观察图象可知，点尸沿着8-C的路径运动，人尸/。的外接圆的圆心。的运动路

径长是200，，由此即可解决问题.

【详解】

解：如图，连接/C、BD交于点、O'.

当点尸与3或C重合时，APAD的外接圆的圆心与。'重合，

当尸4=PD时，设APAD的外接圆的圆心为O,PO的延长线交4D于£,则尸E垂直平分AD,

AE=DE,

设PO=OD=x,

RtZ\OZ)£中，-：OD2=OE2+DE2,

x2=(4-x)2+32,

答案第8页，共19页

25

解得X=§，

o

257

OE=4——=-,

88

在矩形ZBCD中。'8=0'。，AE=DE,

O,E=-AB=2,

2

9

OO'=O,E-OE=-,

8

QVPAD的外心在线段AD的垂直平分线上，

观察图象可知，点。沿着5-C的路径运动，△尸40的外接圆的圆心。的运动路径长是

9

200'=—.

4

、,9

故答案为:.

4

19.⑴西=7,x2=-\-

(2)再=2,々=3.

【分析】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解一元

二次方程的步骤.

(1)根据因式分解法求解一元二次方程即可；

(2)根据因式分解法求解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：f—6x—7=0,

・，・(x-7)(x+l)=0,

・・x—7—0x+1=0,

角军得：西=7,工2=T；

(2)角军：x(x—2)—3(x—2)=0,

(x——3)=0,

x-2=0或x-3=0,

解得：再=2,%=3.

20.(1)8,9

(2)8.2分

答案第9页，共19页

(3)54名

【分析】

本题主要考查了求平均数，中位数，众数以及用样本估计总体等等：

(1)根据众数和中位数的定义进行求解即可；

(2)根据平均数的定义进行求解即可；

(3)用120乘以样本中成绩为优秀的学生人数占比即可得到答案.

【详解】(1)解：七这20名学生成绩出现次数最多的是9,共出现6次，因此这20名学生

成绩的众数为9,

这20名学生的成绩，从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为(8+8)+2=8,因

此这20名学生成绩的中位数是8,

故答案为：8,9；

(2)解：这20名学生成绩的平均数为：x(6x2+7x4+8x5+9x6+10x3)=8.2(分)；

(3)解:120x^1=54(名)，

20

答：估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有54名.

1

2L(D-

【分析】

(1)根据概率公式直接求解即可；

(2)用表格列出所有可能情况，再用概率公式求解即可.

【详解】(1)解：••,七(3)班共有4B、C、。四名同学报名参赛.

二班主任第一次选人就选到/同学的概率是5；

(2)用表格列出所有可能的结果：

ABcD

A(48)(4C)(4。)

答案第10页，共19页

B(及㈤(B©(BQ)

C(")S)(c，。)

D山)(D,B)(AC)

由表格可知：共有12种等可能的结果，符合要求的结果两种，

21

所以/、C两名同学被选中的概率===:，

126

【点睛】此题主要考查了用树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图或列表法是

解题的关键.

22.2米

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意，。，/3,且。。是圆的半径，得到

AD=BD=-AB^4m,连接3,利用勾股定理计算即可.

2

【详解】根据题意，。，/3,且。。是圆的半径，

AD=BD=-AB=4m,

2

连接CM,

(9D=A/52-42=3m，

/.CD-=OC-00=5-3=2(m).

O

23.(l)Z^C5=50°

(2)见解析

【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，切线的

性质.

(1)连接04、OB,由P/和尸8是。。的切线，可得/。4尸=/。3尸=90。，结合44尸8=80。，

根据四边形的内角和可求出最后根据圆周角定理即可求解；

答案第11页，共19页

(2)连接尸。交弧于点。，连接C0,则C。即为所求.

【详解】(1)解：连接。4、OB,

PA和PB是。O的切线，

•••ZOAP^ZOBP=90°,

ZAOB=360°-90°-90°-80°=l00°,

24.(1)ZCOA=60°

(2)|兀-4若

【分析】(1)根据平行线的性质得到NOCB=/CAD=30。，再根据等腰三角形的性质得到

NOCB=NOBC=30°,进而根据圆周角定理求解即可；

(2)证明ABOD是等边三角形，根据扇形和三角形面积公式求解即可.

【详解】(1)解：；OC//BD,

ZOCB=ZCBD=30°,

OC=OB,

：.40cB=ZOBC=30°,

ZCOA=ZOCB+ZOBC=60°；

(2)连接OD,

ZCBD=NOBC=30°,

AZBOD=60°,

答案第12页，共19页

,•*OB=OD,

△50。是等边三角形,

ccc_60^x41\38£

S阴影=S扇形BO0_S\B8---荷-x4x—x4=-^-4V3•

JUU乙乙J

【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、平行线的性质

等知识，作辅助线，证明是ABOD等边三角形是解答的关键.

25.（l）m>2

⑵14

【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出△=8加-1620,解之即可得出

结论；

（2）根据根与系数的关系可得出再+%=2（机+1）,西多=/+5结合勾股定理可得出关于

加的一元二次方程，解之可得出机的值，由方程的两根均为正值可确定机的值，再根据三

角形的周长公式即可求出结论.

【详解】（1）解：••・关于x的一元二次方程苫2-2（机+l）x+/+5=0有两个实数根，

A=4（〃z+1）-4（7〃2+5）=8m—16>0.

解得：m>2.

（2）解：设小巧是关于1的一元二次方程2（加+1卜+/+5=0的两实数根，

2

丁・玉+%=2（冽+1）,xx-x2=m+5,

;（再+/J=%；+工；+2再入2,

%；+%；=（再+々7-2再%2

=[2（/n+l）]2-2（m2+5）

答案第13页，共19页

=4(〃？+1)?_27n2-10

=2m2+8m-6,

根据勾股定理得x；+考=AB2=62,

***2m~+8m-6=36,

解得%=3或-7(舍去)，

Xj+x2=2+1)=8,

AC+BC=8,

：.“3C的周长为8+6=14.

【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

26.(1)(40—x)；(30+3x)

⑵每件商品应降价20元.

【分析】(1)利用每件衬衫的利润=原利润-每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降

价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量=30+3x每件降低的钱数，即可用含x的代数

式表示出降价后平均每天的销售量；

(2)利用该经销商每天销售衬衫获得的利润=每件的销售利润x日销售量，即可得出关于x

的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论.

【详解】(1)

解：依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为(40-x)元，平均每天的销售量为(30+3x)件.

故答案为：(40-x)；(30+3x)；

(2)

解：依题意得：(40-x)(30+3x)=1800,

整理得：x2-30x+200=0,

解得：X]=10,尤2=20,

又..•要尽快减少库存、增加盈利，

.'•x=20.

答：每件商品应降价20元.

答案第14页，共19页

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之

间的关系，用含X的代数式表示出降价后每件衬衫的利润及降价后平均每天的销售量；（2）

找准等量关系，正确列出一元二次方程.

27.（1）不是

⑵96

（3）平行，见解析

【分析】

（1）根据矩形的对角线的性质判断即可.

（2）如图2中，连接OD,作于“，则.解直角三角形求出区0,

再根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可.

（3）依据同圆中等弧所对的圆周角都相等推导出=进而得到推导出

ZADC-ZBDC=ADAB-BAC,ZADB=ZDAC=45°,ZEBC=ZECB=45°,进而得至I]

ADAC=ZECB,AD//BC.

【详解】（1）解：•••矩形的对角线不一定相互垂直，

矩形不是“奇妙四边形”，

故答案为：不是；

（2）如图2中，连接03、OD,作于“，则8H

图2

NBOD=2NBCD=2x60。=120。，

・•・ZOBD=30°f

在RtAOBH中，

ZOBH=30°,

：.OH=-OB=4,

2

•*-BH=4OB1-OH1=MOH=4百，

答案第15页，共19页

,/BD=2BH=86，

,/四边形ABCD是奇妙四边形,

/.AC=BD=86

“奇妙四边形"ABCD的面积3。=96；

(3)结论：AD〃BC.证明如下：

如图3,

图3

：OO的内接四边形ABCD是奇妙四边形,

：.AC=BD,AC1BD,则//£D=90°,

AC=BD>

：.ZADC=ZDAB,

又：ABAC=ZBDC,

：.ZADC-ZBDC=ZDAB-BAC,

：.NADB=ADAC=180°-4£D=45<)

2

AE=DE,

：.BE=CE,

：.ZEBC=ZECB=45°,

ZDAE=ZECB,

AD〃BC.

【点睛】本题考查圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识,,奇妙四边

形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题.

28.⑴见解析

(2)见解析

答案第16页，共19页

(3)能，理