2024-2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2.1直线的点斜式方程课件新人教A版选择性必修第一册

第二章2.2.1直线的点斜式方程学习单元2

直线的方程直线的方程是对平面直角坐标系中直线的代数刻画.在过两点的直线斜率公式的基础上,建立了直线的点斜式方程,把点斜式方程中的点特殊化,又建立了直线的斜截式方程;对于点斜式方程中的斜率进行变式,构建了直线的两点式方程,而对于两点式方程中的两点特殊化,建立了直线的截距式方程.这些方程都有着很明显的几何特征.对于这些直线方程从方程的代数本质上分析,得到直线的一般式方程,理解直线的方程的内涵.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:在知识明线的学习过程中,逐步积累几何问题转化为代数问题的基本经验,体会一般到特殊、具体到抽象的思想方法,进一步感悟解析几何“四步曲”大观念的应用.学习目标1.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程,并会用它们求直线的方程.(直观想象)2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.(逻辑思维)3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.(数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

直线的点斜式方程

名称几何要素示意图方程使用范围点斜式方程点P(x0,y0)和斜率k

斜率存在的直线y-y0=k(x-x0)名师点睛1.点斜式方程中的点只要在这条直线上,哪一个都可以.2.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0.当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.微思考方程

与y-y0=k(x-x0)一样吗?提示

不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).知识点2

直线的斜截式方程

名称几何要素示意图方程使用范围斜截式方程斜率k和直线l在y轴上的截距b

斜率存在的直线y=kx+b名师点睛1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当斜率不为0的直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,在y轴上的截距为-1.微思考一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?提示

一次函数解析式中x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.知识点3

根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1.微思考对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,若k1=k2,则l1∥l2是否正确?为什么?提示

不正确,若k1=k2,两条直线还有可能重合,要加上b1≠b2,才能保证两条直线平行.重难探究·能力素养速提升问题1我们知道,给定一个点和一个方向就能确定一条直线.从代数的角度来看,在平面直角坐标系内,给定一个点P0(x0,y0)和斜率k,就能唯一确定一条直线.也就是说,这条直线上任一点的坐标(x,y)与点P0(x0,y0)的坐标和斜率k之间的关系是完全确定的.那么,这一关系如何表示呢?问题2通过点斜式方程,能否看出其几何特征?问题3若直线的斜率不存在,如何写出直线方程?问题4根据直线给出的几何特征“点与方向”的表述,如何写出直线方程?探究点一直线的点斜式方程【例1】

求满足下列条件的直线的点斜式方程:(1)过点P(4,-2),倾斜角为150°;(2)过两点A(1,3),B(2,5).思路分析先求出直线的斜率,再由点斜式写出方程.规律方法

点斜式方程的求法(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.探究点二直线的斜截式方程问题5若对于直线点斜式方程中的“点”特殊化,取y轴上的点,直线方程又会是怎样?问题6直线与y轴交点的纵坐标,在几何上称之为什么?与距离有何区别?问题7斜截式方程的几何特征是什么?根据其几何特征,如何快速写出直线方程?【例2】

求满足下列条件的直线方程:(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.思路分析写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.解

(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为-.又所求直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-x-2.(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.由直线方程的斜截式,得y=-2x-2.规律方法

求直线的斜截式方程的三种策略

策略一直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要已知直线的斜率、与y轴的交点,就可以直接用斜截式表示策略二直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可策略三利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,那么只需引入截距b;同理,如果已知截距b,那么只需引入斜率k本节要点归纳1.知识清单:(1)直线的点斜式方程;(2)直线的斜截式方程.2.方法归纳:待定系数法、数形结合思想.3.常见误区:(1)求直线方程时忽视斜率不存在的情况;(2)混淆截距与距离.学以致用·随堂检测促达标121.(例1对点题)直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程.(1)直线l2∥l1;(2)直线l2⊥l1.

解

(1)由已知直线l1的斜率k1=tan

135°=-1.因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1.又直线l2经过点B(-1,4),代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.(2)由已知直线l1的斜率k1=tan

135°=-1.因为l2⊥l1,所以直线l2的斜率k2==1.又直线l2经过点B(-1,4),代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.3122.(例2对点题)已知直线l:y=-x+1,求过点(2,4)与直线l垂直的直线l'的方程.3解

因为直线l:y=-x+1与直线l'垂直,所以设直线l':y=x+m.又直线l'过点(2,4),所以4=2+m,解得m=2,即直线l'的方程为y=x+2.123.(