2024-2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2.3直线的一般式方程课件新人教A版选择性必修第一册

第二章2.2.3直线的一般式方程学习目标1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.(逻辑推理)2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.(数学运算)

3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.(数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

直线的一般式方程定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.

一般式方程可以表示平面内任意一条直线名师点睛1.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.2.直线的一般式方程与其他形式的互化.微思考1.方程y-y0=0是二元一次方程吗?

2.直线与二元一次方程的关系是什么?提示

是,是A为0的特殊的二元一次方程.提示

二元一次方程从形上来看代表直线,直线从代数上通过二元一次方程刻画.知识点2

两条直线的位置关系

名师点睛直线的一般式方程的法向量若直线l的方程为Ax+By+C=0,则直线l的法向量为n=(A,B),方向向量为(B,-A),法向量与方向向量垂直.两直线平行,则其法向量也平行;两直线垂直,则其法向量也垂直.直线的法向量在讨论直线位置关系时运算相对简单,且可以避免讨论直线斜率不存在的情况.微思考1.两条直线的斜率相等,这两条直线是否平行?

2.直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为-1或2.是否正确?提示

不一定,还有可能重合.平行关系的判断,关键在于排除是否重合.提示

不正确,没有排除重合的情况.由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0,∴a=2或a=-1.当a=2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去;当a=-1时,l1∥l2.∴a=-1.重难探究·能力素养速提升问题1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x,y的二元一次方程.这是否说明直线与二元一次方程都有这种关系?问题2平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?问题3任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗?探究点一直线的一般式方程问题4直线的其他形式方程可否转化为一般式方程?本质上说明什么问题?问题5直线的一般式方程,形式上如何约定其规范?【例1】

根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.思路分析先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.规律方法

直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.探究点二由一般式方程判断两直线平行或垂直问题6通过直线的一般式方程,能否看出其蕴含的直线方向特征?据此,如何利用直线的一般式方程来判断两直线的位置关系?【例2】

(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值.思路分析利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解

由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合.同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合.故m的值为2或-3.(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.解

由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.规律方法

由直线的一般式方程解决平行与垂直问题的两个等价关系.若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,A1和B1,A2和B2均不同时为0,则(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.探究点三含有一个参数的一般式方程的定点特征问题7通过直线的点斜式方程y-1=k(x-2)很容易看出直线过定点(2,1),若化为直线的一般式方程kx-y+1-2k=0,可否从代数的角度来理解直线过定点?问题8有怎样特征的直线方程会过定点?如何求此定点坐标?【例3】

已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),则该直线过定点

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(-2,1)解析

∵直线l:kx-y+1+2k=0,即k(x+2)+(-y+1)=0,当x=-2,y=1时,k无论取何值,方程都成立.∴该直线过定点(-2,1).本节要点归纳1.知识清单:(1)直线的一般式方程;(2)直线五种形式方程的互化;(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直位置关系.2.方法归纳:分类讨论法、转化化归.3.常见误区:(1)容易忽视直线斜率不存在的情况;(2)容易忽视两直线重合的情况;(3)容易对于直线的一般式方程形式化简不彻底.学以致用·随堂检测促达标1231.(例1对点题)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是-,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3;(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).1231232.(例2对点题)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解

(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0.又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,解得C1=-14.所求直线方程为3x+4y-14=0.(2)将与直线l垂直的直线方程设为4x-3