第1章 一元二次方程 数学九年级上册单元提升必刷卷A(含答案)

【单元测试】第1章一元二次方程（夯实基础）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·陕西安康·九年级期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2021·河南南阳·九年级期中）方程的解是（

）A． B． C．， D．，3．（2022·湖南郴州·中考真题）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根4．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．5．（2022·全国·九年级单元测试）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（

）A． B．4 C． D．56．（2021·山东·费县第二中学九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(

)A． B．C． D．7．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（

）A． B．C． D．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）9．（2022·全国·九年级单元测试）若关于x的方程是一元二次方程，则m=_____．10．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____．11．（2021·广西南宁·九年级期中）方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，则正整数a的值为________.12．（2022·河北保定·九年级期末）一元二次方程的一个根为，则的值为________，另一根为________．13．（2022·北京·九年级期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，口云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______．14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．15．（2021·湖北襄阳·一模）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为_____cm（纸板的厚度忽略不计）．16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．17．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．18．（2022·四川成都·九年级期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）19．（2020·江苏无锡·九年级期中）解下列方程(1)4(x－2)2－25＝0；(2)(m＋1)2＝4(m＋1)；(3)(t＋3)(t－1)＝12；(4)3x2－5x＋4＝020．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程．(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．21．（2021·湖南永州·中考真题）若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．（1）若，求的值；（2）若，求的值．22．（2022·江苏·九年级单元测试）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：x2+11x+24＝（x+8）（x+3）根据以上材料，解答下列问题：(1)初步感知：用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；(2)问题探究：下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：解：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+32﹣32﹣40＝（x﹣3）2﹣49＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）＝（x+4）（x﹣10）老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“一一”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程．23．（2022·河南驻马店·九年级期中）上蔡生姜味道纯正，色泽金黄，无丝耐煮，味长久，被誉为“蔡州生姜”，它既是人们生活中不可缺少的调味品，又是优良的中药材．上蔡县某村民合作社2019年种植生姜100亩，2021年该合作社扩大了上蔡县生姜的种植面积，共种植144亩．(1)求该合作社这两年种植上蔡生姜亩数的平均增长率．(2)假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2022年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？(3)某专卖店销售上蔡县生姜，市场调查发现，当生姜售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知生姜的平均成本价为12元/千克，若使销售生姜每天获利1800元，则售价应降低多少元？24．（2021·江苏淮安·九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．25．（2022·河南安阳·九年级期末）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？26．（2022·山东临沂·九年级期末）某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．(1)若每份套餐售价不超过10元．①试写出y与x的函数关系式；②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？27．（2021·湖北宜昌·中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？28．（2022·江苏·九年级期末）定义，若关于x的一元二次方程的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的的衍生点．(1)若方程为，写出该方程的的衍生点M的坐标．(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．

【单元测试】第1章一元二次方程（夯实基础）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·陕西安康·九年级期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】把x＝2代入x2﹣mx+2＝0，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．【详解】解：根据题意，得，即，解得，．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了解一元一次方程．2．（2021·河南南阳·九年级期中）方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】先将原方程化成一般式，然后再运用因式分解法解答即可．【详解】解：，．故选D．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．3．（2022·湖南郴州·中考真题）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】根据即可判断．【详解】解：，，，，一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．4．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．5．（2022·全国·九年级单元测试）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（

）A． B．4 C． D．5【答案】A【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可．【详解】解：解方程x2−6x＋8＝0得：x＝4或2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键．6．（2021·山东·费县第二中学九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，∴3＋1＝−p，3×1＝q，∴p＝−4，q＝3，所以这个一元二次方程是，故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．7．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．【详解】解：依题意得，整理得：，则，方程两边同时除以，，（负值已经舍去），故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）9．（2022·全国·九年级单元测试）若关于x的方程是一元二次方程，则m=_____．【答案】1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此解答即可．【详解】解：由题意得：，则，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是(且)，特别要注意的条件，这是做题中容易忽视的知识点．10．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____．【答案】－1【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×（－k）＝4＋4k＝0，解得：k＝－1，故答案为：－1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．（2021·广西南宁·九年级期中）方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，则正整数a的值为________.【答案】2或3##3或2【分析】当a≠1时，原方程为一元二次方程，根据题意，令△≥0即可求出此时a的取值范围，在此取值范围内求出正整数a的值，即可得出结论．【详解】解：方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，所以：a-1≠0，故当a≠1时，原方程为一元二次方程，∵(a-1)x2+2(a+1)x+a+5=0有两个实根，∴△=[2(a+1)]2－4(a-1)(a+5)≥0，解得：a≤3∴此时a≤3且a≠1故正整数a的值为：a=2或者3故答案为：2或3．【点睛】此题考查的是根据方程根的情况求参数的取值范围，讨论一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键．12．（2022·河北保定·九年级期末）一元二次方程的一个根为，则的值为________，另一根为________．【答案】

【分析】将x=-1代入方程即可求得k的值，然后利用根与系数的关系即可求出另一个跟从而得到答案．【详解】解：设方程的另一个根为t，∵一元二次方程的一个根为x=-1，∴，解得，∴原方程为，∴，∴故答案为：，．【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．13．（2022·北京·九年级期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，口云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______．【答案】x(x+12)=864【分析】根据矩形的面积=长×宽列出方程即可．【详解】解：设矩形的宽为x步，则长为(x+12)根据题意得x(x+12)=864．故答案为：x(x+12)=864．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确地找出等量关系．14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．【答案】20【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；【详解】解：∵△=9-4=5＞0，∴，，∴=，故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．15．（2021·湖北襄阳·一模）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为_____cm（纸板的厚度忽略不计）．【答案】6【分析】设剪掉的小正方形边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为40＝20（cm），宽为xcm，利用折成的长方体盒子的表面积＝长方形硬纸板的面积﹣2×剪掉的小正方形的面积﹣2×剪掉的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设剪掉的小正方形边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为40＝20（cm），宽为xcm，依题意得：40×30﹣2x2﹣2×20x＝888，整理得：x2+20x﹣156＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣26（不合题意，舍去）．∴剪掉的小正方形边长为6cm．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25，点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．【答案】17或【分析】先利用勾股定理可得，根据折叠的性质可得，再分①和②两种情况，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：在中，，，由折叠的性质得：，则分以下两种情况：①如图1，当时，为直角三角形，过点作的垂线，交延长线于点，则四边形是矩形，，设，则，，在中，，即，解得或（舍去），即此时；②如图2，当时，为直角三角形，由对顶角相等得：，，此时点与点重合，，设，则，在中，，即，解得，即此时；综上，的长为17或，故答案为：17或．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、一元二次方程的应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．17．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），则道路的宽应为1米；故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．18．（2022·四川成都·九年级期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．【答案】

4；

-3【分析】利用（）与方程是“同二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值．【详解】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为，∴，展开，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有两个根为、，∴，且，∴，设（），得，∵方程有正数解，∴，解得，即，∴．故答案为：4，-3．【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键．三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）19．（2020·江苏无锡·九年级期中）解下列方程(1)4(x－2)2－25＝0；(2)(m＋1)2＝4(m＋1)；(3)(t＋3)(t－1)＝12；(4)3x2－5x＋4＝0【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)方程无解【分析】（1）利用直接开平方法求解可得答案；（2）利用因式分解法求解即可；（3）整理为一般式，再利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可．【详解】（1）解∶∵4(x－2)2－25＝0，∴，∴，∴或，∴，；（2）解：∵(m＋1)2＝4(m＋1)，∴，∴，即，∴或，∴，；（3）解：∵(t＋3)(t－1)＝12，∴，∴，∴或，∴，；（4）解：∵a＝3，b＝－5，c＝4，∴，∴原方程没有实数根．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程．(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）根据方程的根的判别式，得出△，即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，解方程并检验即可得答案．【详解】（1）证明：△，△，总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的两根分别为，∴，由题意知：∴∴或．∵∴∴∴．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系得出．21．（2021·湖南永州·中考真题）若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）-1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到．（1）把，代入，即可求出的值；（2）把，代入，得到．利用整体代入即可求解．【详解】解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n，∴．（1）当时，，解得，经检验，是方程的根，∴；（2）当时，．∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到是解题关键．22．（2022·江苏·九年级单元测试）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：x2+11x+24＝（x+8）（x+3）根据以上材料，解答下列问题：(1)初步感知：用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；(2)问题探究：下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：解：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+32﹣32﹣40＝（x﹣3）2﹣49＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）＝（x+4）（x﹣10）老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“一一”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程．【答案】(1)；(2)标画出的错误见解析；正确解答过程见解析【分析】（1）根据配方法，可得答案；（2）根据配方法，可以看出该同学的错误；再根据配方法和平方差公式，分解因式，可得答案．【详解】（1）解：x2+8x﹣1（2）该同学第一步出现错误，如图所示：正确的解答如下：【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，熟练掌握配方法的基本步骤和平方差公式，是解题的关键．23．（2022·河南驻马店·九年级期中）上蔡生姜味道纯正，色泽金黄，无丝耐煮，味长久，被誉为“蔡州生姜”，它既是人们生活中不可缺少的调味品，又是优良的中药材．上蔡县某村民合作社2019年种植生姜100亩，2021年该合作社扩大了上蔡县生姜的种植面积，共种植144亩．(1)求该合作社这两年种植上蔡生姜亩数的平均增长率．(2)假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2022年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？(3)某专卖店销售上蔡县生姜，市场调查发现，当生姜售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，该店决定降价促销，已知生姜的平均成本价为12元/千克，若使销售生姜每天获利1800元，则售价应降低多少元？【答案】(1)这两年上蔡生姜种植亩数的平均增长率为(2)预计年底，该合作社种植上蔡生姜的亩数不能突破亩(3)售价应降价元【分析】（1）设该合作社这两年种植上蔡生姜亩数的平均增长率为，然后根据“上蔡县某村民合作社2019年种植生姜100亩，2021年该合作社扩大了上蔡县生姜的种植面积，共种植144亩”列一元二次方程求解即可；（2）根据“合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变”列式求出2022种植量，然后与175比较即可；（3）设售价应降低元，则每天可售出千克；然后根据题意列一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：设该合作社这两年种植上蔡生姜亩数的平均增长率为，依题意，得：．解得：，（不合题意，舍去）．答：这两年上蔡生姜种植亩数的平均增长率为．（2）解：144(1+20%)=172.8<175．∴预计年底，该合作社种植上蔡生姜的亩数不能突破亩．（3）解：设售价应降低元，则每天可售出千克，根据题意，得：，整理得：，解得：．答：售价应降价元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程方程的应用、冽式求值等知识点，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键．24．（2021·江苏淮安·九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．【答案】，．【分析】设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分别解方程即可．【详解】解：设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，∴（y+1）（y+3）=0，解得y=-1，或y=-3，当y=-1时，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，当y=-3时，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去；∴原方程有两个根：，．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键．25．（2022·河南安阳·九年级期末）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】(1)；(2)x为20；(3)8折【分析】（1）按照“如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件”直接列式即可；（2）根据（1）设的未知数，根据题意列一元二次方程求解即可；（3）设该商品需要打a折销售，根据（2）可得售价不得超过（100-20）元，据此不等式求解即可．【详解】（1）解：∵如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件每件商品降价x元时，日销售量为，即件．故答案为．（2）解：由题意得：即解得，因为尽快销售完该商品，所以答：当x为20时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品．（3）解：设该商品需要打a折销售由题意得：，解得答：该商品至少需打8折销售．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解答本题的关键．26．（2022·山东临沂·九年级期末）某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．(1)若每份套餐售价不超过10元．①试写出y与x的函数关系式；②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？【答案】(1)①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10），②9元或10元(2)能，套餐售价应定为11元【分析】（1）①本题考查的是分段函数的知识点．当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600；②根据利润不少于800列不等式，解不等式，再根据x为整数即可得答案；（2）当x＞10时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，把y＝1560代入，并解答．【详解】(1)解：①y＝400（x﹣5）﹣600=400x﹣2600．（5＜x≤10）．②依题意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，又∵5＜x≤10，∴8.5≤x≤10．∵且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应为9元或10元．(2)能，理由如下：依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，当y＝1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，解得：x1＝11，x2＝14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1＝11，即x2＝14不符合题意．故该套餐售价应定为11