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文档简介

2024年新高考改革适应性练习2(九省联考题型)

数学试题卷

考生须知

1.本卷共5页,四大题19小题,满分150分,答题时间120分钟;

2.答题时须在答题卡上填涂所选答案(选择题),或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤(非选择题),

答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效;

3.考试结束时,考生须一并上交本试题卷,答题卡与草稿纸.

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.)

1.某旅行社为迎节日搞活动旅游,经市场调查,某旅游线路销量丫(人)与旅游价格x(元/人)负相

关,则其回归直线方程可能是

A.y=-80X+1600B.Y=80X+1600

C.Y=-80X-1600D.Y=80X-1600

2.已知复数列{zj满足Zn=F(i为虚数单位),则白兀}的前10项和是

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.斐波那契数列指的是这样一个数列{4}:&=尸2=1,%=+Fn_2(n23),记/除以4的

余数为Gn,则(?2024=

A.0B.1C.2D.3

5.曼哈顿距离(ManhattanDistance)是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇,是种使用在几何

度量空间的几何学用语,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.同一平面上的两点

4(一%),B(x2,y2),其“曼哈顿距离”

dAB=|%i-x2l+lyi-y2l

则所有与点(L2)的“曼哈顿距离”等于2的点构成的图形的周长为

A.8B.8V2C.4D.4近

数学试题卷第1页(共5页)

6.已知以。为中心的椭圆。,其一个长轴顶点为M,N是。的一个靠近M的焦点,点P在。上,

设四是以PN为直径的圆,必是以。M为半径的圆,则31与必的位置关系为

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

7.将函数/■(%)=3,〉0向下平移血(6e")个单位长度得到9(久),若。(工)有两个零

点%1,%2(%1<久2),则无1+%2的值不可能是

1-1_1

A.1B.e2——C.e一工+1D.e一工一1

e

8.过正四面体ABCD的顶点4作截面,若满足:①截面是等腰三角形:②截面与底面BCD成75。的

二面角.这样的截面个数为

A.6B.12C.18D.24

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得。分.)

9.在正六边形ABCDEF中,

A.AC-AE=BFB.AC+AE=3AD

C.AD-AB|AB|2D.而在方上的投影向量为前

10.已知直线AC与BD经过坐标原点。,且4clBD,4B,C,。均在圆P:%2-6%+y2-8y-9=0

上,则以下说法正确的有

A.圆心P到直线AC的距离的最小值为5

B.弦AB,BC,CD,n4的中点满足四点共圆

C.四边形4BC0的面积的取值范围是[6734,43]

D.6|04|+3|OC|>2<2\OA\■\OC\

11.对正整数N,若其不能被任意一个完全平方数整除,则称其为“无平方因子数”,并记其的素因子

个数为勰.由所有“无平方因子数”构成的集合记作S.则数论函数“缪比乌斯函数”定义如下

1,n=1

〃(几)=(—1)%,nES

0,nS

则下列运算正确的有

A.4⑴+〃⑵=0

B.〃⑴+〃⑵+“⑷=1

数学试题卷第2页(共5页)

C.〃(1)+〃(2)+4(4)+〃(8)=0

D.〃(1)+〃(2)H-----F〃(2n)=1(n>4)

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)

12.已知钝角△ABC的面积为3,4B=4,AC=1,则布•前的值是.

13.若函数/(%)=(%2—6x+m)(ex-3+e3T-n)的四个零点是以0为首项的等差数列,则m+n-

14.若一个三位数中的任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”,则所有“平稳数”的个

数为,

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15.(15分)

已知在△4BC中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA+tanB—V3tanAtanB+V3=0.

(1)求C;

(2)若a+b=4,求△2BC面积S的最大值.

16.(17分)

如图1,已知正方体ZBCD—a'B'C'D'的棱长为2,M为BB,的中点,N

为DC的中点.

(1)证明:BN〃平面OMC';

(2)求平面DMC'与平面A'B'C'。’夹角的余弦值.

图1

17.⑴分)

已知抛物线y2=2为,直线Z:y=x-4,且点B,D在抛物线上.

(1)若点4c在直线2上,且四边形ZBCD是菱形,求直线BD的方程;

数学试题卷第3页(共5页)

(2)若点A为抛物线和直线I的交点(位于%轴下方),点C在直线I上,且四边形ABC。是菱形,

求直线的斜率.

18.(17分)

x

已知函数/(%)=a-logax,aE(0,1)U(1,+oo).

(l)若a=e,求y=/(%)过点(0,1)的切线方程;

(2)若门>)在其定义域上没有零点,求a的取值范围.

19.(17分)

概率论中有很多经典的不等式,其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分

别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫不等式的形式如下:

设X为一个非负随机变量,其数学期望为E(X),则对任意£>0,均有

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界,阐释了随机变量尾部取值概率与

其数学期望间的关系.当X为非负离散型随机变量时,马尔科夫不等式的证明如下:

设X的分布列为P(X=Xi)=Pi(l=1,2,...,九)其中Pie(0,+8),Pl+p2T-----Pn=1,xie

[0,+oo),则对任意£>0,

xt11y-1E(X)

XiPi

Pi<2_,7Pi=12-XiPi=~r~

X[>£Xi>8Xi>8i=l

其中符号

J

Xi>£

表示对所有满足阳>£的指标i所对应的Ai求和.

切比雪夫不等式的形式如下:

设随机变量的X数学期望为E(X),方差为£>(X),则对任意£>0,均有

P(|X-E(X)|之。3哗

【类比探究】

(I)根据以上参考资料,证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立;

数学试题卷第4页(共5页)

【实际应用】

(2)已知正整数几25.在一次抽奖游戏中,有n个不透明的箱子依次编号为1,2,...,",编号为

i(1<i<n)的箱子中装有编号为0,1,…,i的i+1个大小、质地均相同的小球.主持人邀请n位嘉宾从

每个箱子中随机抽取一个球,记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为X-并记

n

i=l

对任意的",是否总能保证P(XW0.1力20.01(假设嘉宾和箱子数能任意多)?并证明你的结论.

【理论拓展】

(3)已知n重伯努利试验中每次试验中事件4出现的概率P=0.75,请用切比雪夫不等式估计

n,使得事件A出现的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90.

数学试题卷第5页(共5页)

2024年新高考改革适应性练习2(九省联考题型)

数学参考答案

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.)

题号12345678

答案ADCBBADC

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得。分.)

题号91011

答案CDABCBD

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)

题号121314

11

答案2或-2e+—或8+/+^75

ee5

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15.(13分)

(1)由题意得,

tanA+tanB—V3tanAtanB=—V3

otanA+tanB=一百(1—tanAtanB)

tanA+tanB厂

o-------------------=-V3

1—tanAtanB

0tan(71+B)=—V3

t-n

<=>tanC——tan(X+B)=v3<=>C=—

所以C=g.

(2)由正弦定理,

数学参考答案第1页(共6页)

1InV3

S=-sinCab=--sin—■ab=——ab

2234

由题意a+b=4,又a,b〉0,由基本不等式得

a+b-4>2\[ab

解得ab<4,

所以

V3V3「

S=­ab<—x4=v3

44

故S的最大值为g,取等时a=b=2,即△力BC是一个正三角形.

16.(15分)

(1)取。C'中点E,连接NE、ME、BN,如右图所示:

,:E、N为中点,N得EN"CC'“BM,

又,:EN=BM=1,:.四边形NEMB为平行四边形,J.BN//EM,

又「BNC平面DMC',EMu平面DMC',.,.BN〃平面CMC'.

(2)以。点为原点,D4为x轴,DC为y轴,DD为z轴,建立空间直角坐标系,如右图所示:

则。(0,0,0),C'(0,2,2),M(2,2,l),

故方=(0,2,2),DM=(2,2,1),

易知平面A'B'C'。’的一个法向量为而=(0,0,1),

设元_L平面DMC',n—(x,y,z),贝!J

n-DC'=2y+2z=0

n-DM=2x+2y+z=0

令z=2,则y=-2,x=l,可得五=(1,一2,2),

._m-n2

cos<m,n>-ITIf=-

\m\■\n\3

结合图形可知,平面DMC'与平面力‘B'C'D'夹角的余弦值为|.

17.(15分)

(1)由题意知4cl设直线=—y+TH.

数学参考答案第2页(共6页)

联立『血得好+2y—2nl=0,

则+y。=-2,yByo=-2m,xB+xD~{yB+yD)+2m=2m+2,

则BD的中点(m+1,-1)在直线y=尤―4上,

代入可解得m=2,V+2y-4=0,4=20〉0,满足直线与抛物线有两个

交点,

所以直线BD的方程为久=—y+2,即久+y—2=0.

(2)当直线2B,4。的斜率为0或不存在时,均不满足题意.

由{7n:得{IF味二”舍去),故A").

当直线48,力。的斜率存在且不为0时,设直线4B:x—2=t(y+2).

联立「一21「?+2)得2_2ty_4t_4=0,所以办+为=2t.

(y—Lx

所以B(2/+4t+2,2t+2).同理得0信—:+2,—|+2).

由BD的中点在直线y=尤―4上,

1/24、1/2

-I2t27+4t+2H——----F21-4=­[2t+2------1-2

2\t2tJ2\t

即+卷+(「-})-4—0.

令t_:=p,则p2+p-2=0,解得p=-2或p=l.

当p=l时,直线BD的斜率

2t+2-(-?+2)11

kBD=724\=I=3

2t2+4t+2—(笆-/+2)t-y+2

当p=—2时,直线3D的斜率不存在.

综上所述,直线BD的斜率为]

18.(17分)

xx

(1)当a=e时,/(%)=a-logax=e-In%(x>0),设、=/(x)过点(0,1)的切线方程为l:y=

/'Qo)(久-久o)+/(&)(g>0),

f(%o)=ex°-lnx,f'(殉)=ex°,代入切线方程得,

0%0

数学参考答案第3页(共6页)

xx

y=-----j(x—x0)+e°—ln%0=(e%°-----jx+e°(l—x0)—In%0+1

xx

因为l过点(0,1),所以e°(l一x0)-lnx0+1=1,即e°(l一%0)-In%。=0,

令g(X)=e«l-尢)一InK,g'{x}=-xex-^<0,所以g(%)单调递减,又g(l)=。,所以g(%)有

唯一零点%=1,即原方程的根为、=1,

代回切线方程得

xx

y—(e°-x+e0(l—x0)—In%0+1=(e—1)%+1

\X。)

故y=f(x)过点(0,1)的切线方程为y=(e-1)%+1.

(2)因为/(%)在(0,+8)上连续,又/(1)=。>0,所以要使/(%)无零点,需使/(%)>0在其定义

域上恒成立.

x

则原问题转化为/(%)=a-loga%>0,求a的取值范围,

In%

ax—logx>0ax>logx<=>ax>-——

a"aIna

<=>axIna>In%<=>axxIna>%In%axIn>xlnx(*)

令h(x)=xex(%>0),〃(%)=(%+l)ex>0,所以h(x)单调递增,

又由(*)式得h(lnax)>/i(lnx),所以Ina%=%Ina>In%,即Ina>(恒成立.

令<p(x)=(,◎'(%)=i]尸,令(p'(x)=0得%=e,

当0<x<e时,(prM>0,R(%)单调递增;当x>e时,(//(九)<0,R(%)单调递减,

所以%=e是0(、)的极大值点,0(%)max=0(e)=1,所以lna>£,即a>港.

综上所述,a的取值范围为(e"+8).

19.(17分)

(1)设X的分布列为P(X=/)=Pia=1,2…一九)其中PiW(0,+8),Pi+p2H-----Fpn=1,

则对任意£>0,

P(IX-E(X)I>£)=2P*Ea”)(wa—E(X))2R

\Xi-fl\>8\Xi-ll\>8\Xi-/x\>8

n

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