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文档简介
2024年新高考改革适应性练习2(九省联考题型)
数学试题卷
考生须知
1.本卷共5页,四大题19小题,满分150分,答题时间120分钟;
2.答题时须在答题卡上填涂所选答案(选择题),或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤(非选择题),
答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效;
3.考试结束时,考生须一并上交本试题卷,答题卡与草稿纸.
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.)
1.某旅行社为迎节日搞活动旅游,经市场调查,某旅游线路销量丫(人)与旅游价格x(元/人)负相
关,则其回归直线方程可能是
A.y=-80X+1600B.Y=80X+1600
C.Y=-80X-1600D.Y=80X-1600
2.已知复数列{zj满足Zn=F(i为虚数单位),则白兀}的前10项和是
A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i
3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4.斐波那契数列指的是这样一个数列{4}:&=尸2=1,%=+Fn_2(n23),记/除以4的
余数为Gn,则(?2024=
A.0B.1C.2D.3
5.曼哈顿距离(ManhattanDistance)是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇,是种使用在几何
度量空间的几何学用语,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.同一平面上的两点
4(一%),B(x2,y2),其“曼哈顿距离”
dAB=|%i-x2l+lyi-y2l
则所有与点(L2)的“曼哈顿距离”等于2的点构成的图形的周长为
A.8B.8V2C.4D.4近
数学试题卷第1页(共5页)
6.已知以。为中心的椭圆。,其一个长轴顶点为M,N是。的一个靠近M的焦点,点P在。上,
设四是以PN为直径的圆,必是以。M为半径的圆,则31与必的位置关系为
A.相切B.相交C.相离D.无法确定
7.将函数/■(%)=3,〉0向下平移血(6e")个单位长度得到9(久),若。(工)有两个零
点%1,%2(%1<久2),则无1+%2的值不可能是
1-1_1
A.1B.e2——C.e一工+1D.e一工一1
e
8.过正四面体ABCD的顶点4作截面,若满足:①截面是等腰三角形:②截面与底面BCD成75。的
二面角.这样的截面个数为
A.6B.12C.18D.24
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得。分.)
9.在正六边形ABCDEF中,
A.AC-AE=BFB.AC+AE=3AD
C.AD-AB|AB|2D.而在方上的投影向量为前
10.已知直线AC与BD经过坐标原点。,且4clBD,4B,C,。均在圆P:%2-6%+y2-8y-9=0
上,则以下说法正确的有
A.圆心P到直线AC的距离的最小值为5
B.弦AB,BC,CD,n4的中点满足四点共圆
C.四边形4BC0的面积的取值范围是[6734,43]
D.6|04|+3|OC|>2<2\OA\■\OC\
11.对正整数N,若其不能被任意一个完全平方数整除,则称其为“无平方因子数”,并记其的素因子
个数为勰.由所有“无平方因子数”构成的集合记作S.则数论函数“缪比乌斯函数”定义如下
1,n=1
〃(几)=(—1)%,nES
0,nS
则下列运算正确的有
A.4⑴+〃⑵=0
B.〃⑴+〃⑵+“⑷=1
数学试题卷第2页(共5页)
C.〃(1)+〃(2)+4(4)+〃(8)=0
D.〃(1)+〃(2)H-----F〃(2n)=1(n>4)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.已知钝角△ABC的面积为3,4B=4,AC=1,则布•前的值是.
13.若函数/(%)=(%2—6x+m)(ex-3+e3T-n)的四个零点是以0为首项的等差数列,则m+n-
14.若一个三位数中的任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”,则所有“平稳数”的个
数为,
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(15分)
已知在△4BC中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA+tanB—V3tanAtanB+V3=0.
(1)求C;
(2)若a+b=4,求△2BC面积S的最大值.
16.(17分)
如图1,已知正方体ZBCD—a'B'C'D'的棱长为2,M为BB,的中点,N
为DC的中点.
(1)证明:BN〃平面OMC';
(2)求平面DMC'与平面A'B'C'。’夹角的余弦值.
图1
17.⑴分)
已知抛物线y2=2为,直线Z:y=x-4,且点B,D在抛物线上.
(1)若点4c在直线2上,且四边形ZBCD是菱形,求直线BD的方程;
数学试题卷第3页(共5页)
(2)若点A为抛物线和直线I的交点(位于%轴下方),点C在直线I上,且四边形ABC。是菱形,
求直线的斜率.
18.(17分)
x
已知函数/(%)=a-logax,aE(0,1)U(1,+oo).
(l)若a=e,求y=/(%)过点(0,1)的切线方程;
(2)若门>)在其定义域上没有零点,求a的取值范围.
19.(17分)
概率论中有很多经典的不等式,其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分
别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫不等式的形式如下:
设X为一个非负随机变量,其数学期望为E(X),则对任意£>0,均有
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界,阐释了随机变量尾部取值概率与
其数学期望间的关系.当X为非负离散型随机变量时,马尔科夫不等式的证明如下:
设X的分布列为P(X=Xi)=Pi(l=1,2,...,九)其中Pie(0,+8),Pl+p2T-----Pn=1,xie
[0,+oo),则对任意£>0,
xt11y-1E(X)
XiPi
Pi<2_,7Pi=12-XiPi=~r~
X[>£Xi>8Xi>8i=l
其中符号
J
Xi>£
表示对所有满足阳>£的指标i所对应的Ai求和.
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量的X数学期望为E(X),方差为£>(X),则对任意£>0,均有
P(|X-E(X)|之。3哗
【类比探究】
(I)根据以上参考资料,证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立;
数学试题卷第4页(共5页)
【实际应用】
(2)已知正整数几25.在一次抽奖游戏中,有n个不透明的箱子依次编号为1,2,...,",编号为
i(1<i<n)的箱子中装有编号为0,1,…,i的i+1个大小、质地均相同的小球.主持人邀请n位嘉宾从
每个箱子中随机抽取一个球,记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为X-并记
n
i=l
对任意的",是否总能保证P(XW0.1力20.01(假设嘉宾和箱子数能任意多)?并证明你的结论.
【理论拓展】
(3)已知n重伯努利试验中每次试验中事件4出现的概率P=0.75,请用切比雪夫不等式估计
n,使得事件A出现的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90.
数学试题卷第5页(共5页)
2024年新高考改革适应性练习2(九省联考题型)
数学参考答案
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.)
题号12345678
答案ADCBBADC
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得。分.)
题号91011
答案CDABCBD
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
题号121314
11
答案2或-2e+—或8+/+^75
ee5
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(13分)
(1)由题意得,
tanA+tanB—V3tanAtanB=—V3
otanA+tanB=一百(1—tanAtanB)
tanA+tanB厂
o-------------------=-V3
1—tanAtanB
0tan(71+B)=—V3
t-n
<=>tanC——tan(X+B)=v3<=>C=—
所以C=g.
(2)由正弦定理,
数学参考答案第1页(共6页)
1InV3
S=-sinCab=--sin—■ab=——ab
2234
由题意a+b=4,又a,b〉0,由基本不等式得
a+b-4>2\[ab
解得ab<4,
所以
V3V3「
S=ab<—x4=v3
44
故S的最大值为g,取等时a=b=2,即△力BC是一个正三角形.
16.(15分)
(1)取。C'中点E,连接NE、ME、BN,如右图所示:
,:E、N为中点,N得EN"CC'“BM,
又,:EN=BM=1,:.四边形NEMB为平行四边形,J.BN//EM,
又「BNC平面DMC',EMu平面DMC',.,.BN〃平面CMC'.
(2)以。点为原点,D4为x轴,DC为y轴,DD为z轴,建立空间直角坐标系,如右图所示:
则。(0,0,0),C'(0,2,2),M(2,2,l),
故方=(0,2,2),DM=(2,2,1),
易知平面A'B'C'。’的一个法向量为而=(0,0,1),
设元_L平面DMC',n—(x,y,z),贝!J
n-DC'=2y+2z=0
n-DM=2x+2y+z=0
令z=2,则y=-2,x=l,可得五=(1,一2,2),
._m-n2
cos<m,n>-ITIf=-
\m\■\n\3
结合图形可知,平面DMC'与平面力‘B'C'D'夹角的余弦值为|.
17.(15分)
(1)由题意知4cl设直线=—y+TH.
数学参考答案第2页(共6页)
联立『血得好+2y—2nl=0,
则+y。=-2,yByo=-2m,xB+xD~{yB+yD)+2m=2m+2,
则BD的中点(m+1,-1)在直线y=尤―4上,
代入可解得m=2,V+2y-4=0,4=20〉0,满足直线与抛物线有两个
交点,
所以直线BD的方程为久=—y+2,即久+y—2=0.
(2)当直线2B,4。的斜率为0或不存在时,均不满足题意.
由{7n:得{IF味二”舍去),故A").
当直线48,力。的斜率存在且不为0时,设直线4B:x—2=t(y+2).
联立「一21「?+2)得2_2ty_4t_4=0,所以办+为=2t.
(y—Lx
所以B(2/+4t+2,2t+2).同理得0信—:+2,—|+2).
由BD的中点在直线y=尤―4上,
得
1/24、1/2
-I2t27+4t+2H——----F21-4=[2t+2------1-2
2\t2tJ2\t
即+卷+(「-})-4—0.
令t_:=p,则p2+p-2=0,解得p=-2或p=l.
当p=l时,直线BD的斜率
2t+2-(-?+2)11
kBD=724\=I=3
2t2+4t+2—(笆-/+2)t-y+2
当p=—2时,直线3D的斜率不存在.
综上所述,直线BD的斜率为]
18.(17分)
xx
(1)当a=e时,/(%)=a-logax=e-In%(x>0),设、=/(x)过点(0,1)的切线方程为l:y=
/'Qo)(久-久o)+/(&)(g>0),
f(%o)=ex°-lnx,f'(殉)=ex°,代入切线方程得,
0%0
数学参考答案第3页(共6页)
xx
y=-----j(x—x0)+e°—ln%0=(e%°-----jx+e°(l—x0)—In%0+1
xx
因为l过点(0,1),所以e°(l一x0)-lnx0+1=1,即e°(l一%0)-In%。=0,
令g(X)=e«l-尢)一InK,g'{x}=-xex-^<0,所以g(%)单调递减,又g(l)=。,所以g(%)有
唯一零点%=1,即原方程的根为、=1,
代回切线方程得
xx
y—(e°-x+e0(l—x0)—In%0+1=(e—1)%+1
\X。)
故y=f(x)过点(0,1)的切线方程为y=(e-1)%+1.
(2)因为/(%)在(0,+8)上连续,又/(1)=。>0,所以要使/(%)无零点,需使/(%)>0在其定义
域上恒成立.
x
则原问题转化为/(%)=a-loga%>0,求a的取值范围,
In%
ax—logx>0ax>logx<=>ax>-——
a"aIna
<=>axIna>In%<=>axxIna>%In%axIn>xlnx(*)
令h(x)=xex(%>0),〃(%)=(%+l)ex>0,所以h(x)单调递增,
又由(*)式得h(lnax)>/i(lnx),所以Ina%=%Ina>In%,即Ina>(恒成立.
令<p(x)=(,◎'(%)=i]尸,令(p'(x)=0得%=e,
当0<x<e时,(prM>0,R(%)单调递增;当x>e时,(//(九)<0,R(%)单调递减,
所以%=e是0(、)的极大值点,0(%)max=0(e)=1,所以lna>£,即a>港.
综上所述,a的取值范围为(e"+8).
19.(17分)
(1)设X的分布列为P(X=/)=Pia=1,2…一九)其中PiW(0,+8),Pi+p2H-----Fpn=1,
则对任意£>0,
P(IX-E(X)I>£)=2P*Ea”)(wa—E(X))2R
\Xi-fl\>8\Xi-ll\>8\Xi-/x\>8
n
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