2024年新高考改革适应性练习数学试卷2（九省联考题型）

2024年新高考改革适应性练习2（九省联考题型）

数学试题卷

考生须知

1.本卷共5页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；

2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题）,

答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；

3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

1.某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量丫（人）与旅游价格x（元/人）负相

关，则其回归直线方程可能是

A.y=-80X+1600B.Y=80X+1600

C.Y=-80X-1600D.Y=80X-1600

2.已知复数列｛zj满足Zn=F（i为虚数单位），则白兀｝的前10项和是

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.斐波那契数列指的是这样一个数列｛4｝：&=尸2=1,%=+Fn_2（n23）,记/除以4的

余数为Gn,则（?2024=

A.0B.1C.2D.3

5.曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何

度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.同一平面上的两点

4（一%）,B（x2,y2）,其“曼哈顿距离”

dAB=|%i-x2l+lyi-y2l

则所有与点（L2）的“曼哈顿距离”等于2的点构成的图形的周长为

A.8B.8V2C.4D.4近

数学试题卷第1页（共5页）

6.已知以。为中心的椭圆。，其一个长轴顶点为M,N是。的一个靠近M的焦点，点P在。上，

设四是以PN为直径的圆，必是以。M为半径的圆，则31与必的位置关系为

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

7.将函数/■（%）=3,〉0向下平移血（6e"）个单位长度得到9（久）,若。（工）有两个零

点%1，%2（%1<久2），则无1+%2的值不可能是

1-1_1

A.1B.e2——C.e一工+1D.e一工一1

e

8.过正四面体ABCD的顶点4作截面，若满足：①截面是等腰三角形：②截面与底面BCD成75。的

二面角.这样的截面个数为

A.6B.12C.18D.24

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得。分.）

9.在正六边形ABCDEF中，

A.AC-AE=BFB.AC+AE=3AD

C.AD-AB|AB|2D.而在方上的投影向量为前

10.已知直线AC与BD经过坐标原点。，且4clBD,4B,C,。均在圆P:%2-6%+y2-8y-9=0

上，则以下说法正确的有

A.圆心P到直线AC的距离的最小值为5

B.弦AB,BC,CD,n4的中点满足四点共圆

C.四边形4BC0的面积的取值范围是[6734,43]

D.6|04|+3|OC|>2<2\OA\■\OC\

11.对正整数N,若其不能被任意一个完全平方数整除，则称其为“无平方因子数”，并记其的素因子

个数为勰.由所有“无平方因子数”构成的集合记作S.则数论函数“缪比乌斯函数”定义如下

1,n=1

〃（几）=（—1）%,nES

0,nS

则下列运算正确的有

A.4⑴+〃⑵=0

B.〃⑴+〃⑵+“⑷=1

数学试题卷第2页（共5页）

C.〃(1)+〃(2)+4(4)+〃(8)=0

D.〃(1)+〃(2)H-----F〃(2n)=1(n>4)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知钝角△ABC的面积为3,4B=4,AC=1,则布•前的值是.

13.若函数/(%)=(%2—6x+m)(ex-3+e3T-n)的四个零点是以0为首项的等差数列，则m+n-

14.若一个三位数中的任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”，则所有“平稳数”的个

数为，

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(15分)

已知在△4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA+tanB—V3tanAtanB+V3=0.

(1)求C；

(2)若a+b=4,求△2BC面积S的最大值.

16.(17分)

如图1,已知正方体ZBCD—a'B'C'D'的棱长为2,M为BB，的中点，N

为DC的中点.

(1)证明：BN〃平面OMC'；

(2)求平面DMC'与平面A'B'C'。’夹角的余弦值.

图1

17.⑴分)

已知抛物线y2=2为，直线Z:y=x-4,且点B,D在抛物线上.

(1)若点4c在直线2上，且四边形ZBCD是菱形，求直线BD的方程;

数学试题卷第3页(共5页)

(2)若点A为抛物线和直线I的交点(位于%轴下方)，点C在直线I上，且四边形ABC。是菱形,

求直线的斜率.

18.(17分)

x

已知函数/(%)=a-logax,aE(0,1)U(1,+oo).

(l)若a=e,求y=/(%)过点(0,1)的切线方程；

(2)若门>)在其定义域上没有零点，求a的取值范围.

19.（17分）

概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分

别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫不等式的形式如下:

设X为一个非负随机变量，其数学期望为E(X),则对任意£>0,均有

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与

其数学期望间的关系.当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设X的分布列为P(X=Xi)=Pi(l=1,2,...，九)其中Pie(0,+8),Pl+p2T-----Pn=1，xie

[0,+oo),则对任意£>0,

xt11y-1E(X)

XiPi

Pi<2_,7Pi=12-XiPi=~r~

X[>£Xi>8Xi>8i=l

其中符号

J

Xi>£

表示对所有满足阳>£的指标i所对应的Ai求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

设随机变量的X数学期望为E(X),方差为£>(X),则对任意£>0,均有

P(|X-E(X)|之。3哗

【类比探究】

(I)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立；

数学试题卷第4页(共5页)

【实际应用】

（2）已知正整数几25.在一次抽奖游戏中，有n个不透明的箱子依次编号为1,2,...,",编号为

i（1<i<n）的箱子中装有编号为0,1，…,i的i+1个大小、质地均相同的小球.主持人邀请n位嘉宾从

每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i的箱子中抽取的小球号码为X-并记

n

i=l

对任意的"，是否总能保证P（XW0.1力20.01（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.

【理论拓展】

（3）已知n重伯努利试验中每次试验中事件4出现的概率P=0.75,请用切比雪夫不等式估计

n，使得事件A出现的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90.

数学试题卷第5页（共5页）

2024年新高考改革适应性练习2（九省联考题型）

数学参考答案

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

题号12345678

答案ADCBBADC

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得。分.）

题号91011

答案CDABCBD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

题号121314

11

答案2或-2e+—或8+/+^75

ee5

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(13分)

(1)由题意得，

tanA+tanB—V3tanAtanB=—V3

otanA+tanB=一百(1—tanAtanB)

tanA+tanB厂

o-------------------=-V3

1—tanAtanB

0tan(71+B)=—V3

t-n

<=>tanC——tan(X+B)=v3<=>C=—

所以C=g.

(2)由正弦定理，

数学参考答案第1页（共6页）

1InV3

S=-sinCab=--sin—■ab=——ab

2234

由题意a+b=4,又a,b〉0,由基本不等式得

a+b-4>2\[ab

解得ab<4,

所以

V3V3「

S=­ab<—x4=v3

44

故S的最大值为g，取等时a=b=2,即△力BC是一个正三角形.

16.(15分)

(1)取。C'中点E,连接NE、ME、BN,如右图所示：

,：E、N为中点，N得EN"CC'“BM,

又,：EN=BM=1,：.四边形NEMB为平行四边形，J.BN//EM,

又「BNC平面DMC',EMu平面DMC',.，.BN〃平面CMC'.

(2)以。点为原点，D4为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，如右图所示:

则。(0,0,0),C'(0,2,2),M(2,2,l),

故方=(0,2,2),DM=(2,2,1),

易知平面A'B'C'。’的一个法向量为而=(0,0,1),

设元_L平面DMC',n—(x,y,z),贝!J

n-DC'=2y+2z=0

n-DM=2x+2y+z=0

令z=2,则y=-2,x=l,可得五=(1,一2,2),

._m-n2

cos<m,n>-ITIf=-

\m\■\n\3

结合图形可知，平面DMC'与平面力‘B'C'D'夹角的余弦值为|.

17.(15分)

(1)由题意知4cl设直线=—y+TH.

数学参考答案第2页(共6页)

联立『血得好+2y—2nl=0,

则+y。=-2,yByo=-2m,xB+xD~{yB+yD)+2m=2m+2,

则BD的中点(m+1,-1)在直线y=尤―4上，

代入可解得m=2,V+2y-4=0,4=20〉0,满足直线与抛物线有两个

交点，

所以直线BD的方程为久=—y+2,即久+y—2=0.

(2)当直线2B,4。的斜率为0或不存在时，均不满足题意.

由｛7n:得｛IF味二”舍去)，故A").

当直线48,力。的斜率存在且不为0时，设直线4B:x—2=t(y+2).

联立「一21「?+2)得2_2ty_4t_4=0,所以办+为=2t.

(y—Lx

所以B(2/+4t+2,2t+2).同理得0信—：+2,—|+2).

由BD的中点在直线y=尤―4上，

得

1/24、1/2

-I2t27+4t+2H——----F21-4=­[2t+2------1-2

2\t2tJ2\t

即+卷+(「-})-4—0.

令t_：=p,则p2+p-2=0,解得p=-2或p=l.

当p=l时，直线BD的斜率

2t+2-(-?+2)11

kBD=724\=I=3

2t2+4t+2—(笆-/+2)t-y+2

当p=—2时，直线3D的斜率不存在.

综上所述，直线BD的斜率为］

18.(17分)

xx

(1)当a=e时,/(%)=a-logax=e-In%(x>0),设、=/(x)过点(0,1)的切线方程为l：y=

/'Qo)(久-久o)+/(&)(g>0),

f(%o)=ex°-lnx,f'(殉)=ex°,代入切线方程得，

0%0

数学参考答案第3页(共6页)

xx

y=-----j(x—x0)+e°—ln%0=(e%°-----jx+e°(l—x0)—In%0+1

xx

因为l过点(0,1),所以e°(l一x0)-lnx0+1=1,即e°(l一%0)-In%。=0,

令g(X)=e«l-尢)一InK,g'{x}=-xex-^<0,所以g(%)单调递减，又g(l)=。，所以g(%)有

唯一零点％=1,即原方程的根为、=1,

代回切线方程得

xx

y—(e°-x+e0(l—x0)—In%0+1=(e—1)%+1

\X。)

故y=f(x)过点(0,1)的切线方程为y=(e-1)%+1.

(2)因为/(%)在(0,+8)上连续，又/(1)=。>0,所以要使/(%)无零点，需使/(%)>0在其定义

域上恒成立.

x

则原问题转化为/(%)=a-loga%>0,求a的取值范围，

In%

ax—logx>0ax>logx<=>ax>-——

a"aIna

<=>axIna>In%<=>axxIna>%In%axIn>xlnx(*)

令h(x)=xex(%>0),〃(%)=(%+l)ex>0,所以h(x)单调递增,

又由(*)式得h(lnax)>/i(lnx),所以Ina%=%Ina>In%,即Ina>(恒成立.

令<p(x)=(,◎'(%)=i］尸,令(p'(x)=0得％=e，

当0<x<e时，(prM>0,R(%)单调递增；当x>e时，(//(九)<0,R(%)单调递减，

所以％=e是0(、)的极大值点，0(%)max=0(e)=1，所以lna>£,即a>港.

综上所述，a的取值范围为(e"+8).

19.(17分)

(1)设X的分布列为P(X=/)=Pia=1,2…一九)其中PiW(0,+8),Pi+p2H-----Fpn=1,

则对任意£>0,

P(IX-E(X)I>£)=2P*Ea”)(wa—E(X))2R

\Xi-fl\>8\Xi-ll\>8\Xi-/x\>8

n