2024年高考数学二轮复习 平面向量及其应用（新高考专用）

平面向量及其应用

内容概览

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02号情分析•解密高考

03高领考一点•以考定法（三大命题方向-四道高考预测试题，高考必考5分）

＞命题点1平面向量的数量积运算

》命题点2平面向量的线性运算

＞命题点3平面向量综合应用

高考猜题

04创新好题•分层训练（★精选8道最新名校模拟试题-8道易错提升）

专题网络•思维脑图•

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色〉考情分析•解密高考•

解三角形是新高考中必考点，一般以一道小题形式出现，一般作为选择题或者是填空题的

形式出现，难度不大。

真题多维细目表

考点考向考题

①平面向量的数量积运算2023新全国I卷T3新高考H卷T13

全国乙卷（文）T6全国甲（文）T3（理）T4

解三角形

2022新高考II卷T4全国乙卷T3全国甲T13

2021新高考n卷T15新全国I卷T10（多选）

全国乙卷（文）T13（理）T14

全国甲（文）T13（理）T14

②平面向量的线性运算2022新全国I卷T3

③平面向量综合应用2023乙卷（理）T12

密》高频考点•以考定由

►►高考解密<<

命题点1平面向量数量积运算

典例01（2023•全国新课标I卷）已知向量£=（□）1=（-1）,若0+苏）_L（G+位）,则（）

A.2+〃=1B.2+4=-1

C.加=1D.加=T

典例02(多选题)(2021•全国高考I卷)已知。为坐标原点，点平ssaSna),Bfcos^-siii^),

A(8s(a+A),sin(a+0),J(1,0),贝”()

A.西卜画B.画=|两

C.OAOP^OPOP:D.OAOP=OP:OP,

命题点2平面向量的线性运算

典例01(2022•全国新高考I卷)在dLBC中，点。在边.45上，BD=2DA.记。=沌而=力，贝|而=

()

A.3m-liiB.-2w+3SC.3m+2wD.2m+3?i

典例02(2020・新高考U卷)在"LBC中，。是AB边上的中点，则而=()

A.2CD+CAB.CD-2C4C.2CD-CAD.CD+2CA

命题点3平面向量综合应用

典例01(2023•全国高考乙卷)已知。。的半径为1,直线PA与。。相切于点.4,直线P5与。。交于3,

C两点，。为BC的中点，若户。卜立，则瓦.厢的最大值为()

A,讨B.匕逑

22

C.1+72D・2+&

A高考猜题预计2024年高考会向量数量积运算问题，并以单选或者是多选的形式出现

一、单选题

1.若£［是夹角为60,的两个单位向量，总+》与-3^+2%垂直，则()

A.-B.—C.--D.—

8484

2.如图，在平行四边形."CD中，E是对角线NC上靠近点C的三等分点，点尸在3E上且为中点，若

AF=xAB^yAD,贝ijx+y=()

二、多选题

3.已知向量£=（抬」），1=（8sdsi"）（0"«*）,"=（L0）,则下列命题正确的是（）

A.若a_L%,则tan8=&B.存在8,使得「+耳=卜-可

c.向量口（当,；）是与£共线的单位向量D.£在2上的投影向量为小乙

0）》创新好题•分层训练•（★精选8道最新名校模拟考试题-8道易错提升）

A。新题速递

1.（2022上山西运城高三统考期中）已知向量£=（⑺5=（T1）,且（2+可口，贝平-可等于（）

A.5B.2/C.277D.2备

2.（2023•海南海口海南华侨中学校考二模）如图，在"15。中，E是43的中点，BD=2DC,FC=^AF,EF

与4D交于点31,则工立=（）

3—3—3—3—2—8—3—4—

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

3.(2023•杭州・模拟预测)已知向量；=(2+1,2),方=(1.-2),若力石，则向量Z=(L2)在向量£+否上的投

影向量为()

A.(孙B.(U)C.图D・图

4.(2023上山东烟台•高三统考期中)在平行四边形ABCD中，4B=30,加=2,屈=函ZBAD==,

4

则ACDE=（）

A.2B.272C.D.4

5.（2023•河北沧州・校考三模）在中，若网=|丽卜瓯卜闭，阂=|的=2,.4=123,则》.诟

的取值范围为（）

A.[-2,8]B.[-2,6]C.[-1,6]D.㈠闾

二、多选题

6.（2023上云南楚雄高三统考期中）设非零向量各满足缶4_13-；，；，问=应用，则（）

A・a//bB・a±b

C.P+*PTD.

7.（2023上福建莆田高三莆田第十中学校考期中）已知平面向量瓦时满足：i=2a=4,fij±（5-d）,

卜-可=/，则下列结论正确的是（）

A.平面向量1为的夹角为g

B.与向量石共线的单位向量为

4

C.卜斗2出

D.F-司的最大值为器

8.（2023上安徽高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知尸（2,0）,a（8s%sina）,3（cos昆仙0，

.4,5两点不重合，则（）

A.国-丽|的最大值为2

B.国+国的最大值为2

C.若可=痴,国-尸耳最大值为器

D.若无5=痴，国+词最大值为4

。易错提升

一、单选题

1.（2023福建漳州福建省漳州第一中学统考模拟预测）已知％b,2均为单位向量，且满足£+%+2=6,

贝1「卜一20=（）

算C兀c兀e2兀

A.—B・-C・-D・——

6323

2.（2023•山西晋城・统考三模）已知向量£=（L-1）5=（羽1町，贝=是£/否的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023・河北•联考模拟预测）在菱形-458中，43=1,&4D=60°,,i^AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,

贝lja-2+Z-c+a-d+a-c=（）

31

A.—1B・——C・——D・0

22

4.（2023•河北唐山高三阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，目|£H^=L|"|=3,则|£+石+21

（）

A.2B.5C.2或5D.6或小

5.（2023湖北武汉武汉二中校联考模拟预测）如图，已知.405是半径为2,圆心角为的扇形，点后尸分

别在。4。3上，目。4=3。及。3=3。尸，点尸是圆弧々上的动点（包括端点），则诙.市的最小值为（）

16

D.

T

二、多选题

6.（2023・广东珠海・珠海市第一中学校考模拟预测）已知万=&避）5=（-2,2）Q=GU）,下列结论正确的

是（）

A.与向量G垂直目模长是2的向量是（-2/,2）和（26,-2）

与向量5反向共线的单位向量是।与T\

B.

向量方在向量3上的投影向量是「空，空

C.

D.向量2与向量g所成的角是锐角，则人的取值范围是2<1

7.（2023•安徽淮南・统考二模）已知单位向量入"则下列命题正确的是（）

A.向量入杯共线，则伍+可乂【可

d=(cosa,sma),且贝Utana=4

B.若。#4

c.若F-图三/，记向量kg的夹角为e,贝加的最小值为寺.

一一2兀__1一

D.若SM=丁，则向量2在向量〃上的投影向量是不。

8.（2023・浙江•统考一模）已知。为坐标原点，点月（85仇孤夕），B\cos（；铝商sin3割

4兀

C（cos（8+竿）sin（8+部,则（）

3

A.|JB|=|BC|B.OA+OB=CO

ULMULU

C.OA7OB0D.OA(OB+OC)>0.

专题3-4平面向量及其应用

内容概览

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02号情分析•解密高考

03高领考一点•以考定法（三大命题方向-四道高考预测试题，高考必考5分）

A命题点1平面向量的数量积运算

》命题点2平面向量的线性运算

>命题点3平面向量综合应用

高考猜题

04创新好题•分层训练（★精选8道最新名校模拟试题-8道易错提升）

专题网络•思维脑图•

三京喇

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平而同■的线性退■皿：世册1“向・，Mw-?aa»A*a-u.

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由〉考情分析•解密高考•

解三角形是新高考中必考点，一般以一道小题形式出现，一般作为选择题或者是填空题的

形式出现，难度不大。

真题多维细目表

考点考向考题

①平面向量的数量积运算2023新全国I卷T3新高考H卷T13

全国乙卷（文）T6全国甲（文）T3（理）T4

解三角形

2022新高考II卷T4全国乙卷T3全国甲T13

2021新高考n卷T15新全国I卷T10（多选）

全国乙卷（文）T13（理）T14

全国甲（文）T13（理）T14

②平面向量的线性运算2022新全国I卷T3

③平面向量综合应用2023乙卷（理）T12

密》高频考点•以考定由

►►高考解密<<

命题点1平面向量数量积运算

典例01（2023•全国新课标I卷）已知向量£=（□）1=（-1）,若0+苏）_L（G+位）,则（）

A.2+〃=1B.2+4=-1

C.加=1D.加=T

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出£+苏，G+而，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为£=(1,1)3=(1,-1),所以£+宓=(1+〃4),£+应=(1+41-4),

由(a+苏)_L(a+而)可得，(a+苏>(4+〃%)=0,

即(1+2)(1+〃)+(1-2)(1-〃)=0,整理得:加=7.

故选：D.

典例02(多选题)(2021•全国高考I卷)已知。为坐标原点，点彳(8sa,sina),g(8s£,-sin用,

X(8s(a+/?),sin(a+£)),NQ0),贝U()

A.西=|西B.园=|西

C.OAOP^O^OP,D.OAOPy=OP,OP.

【答案】AC

________ULI*UUU

【分析】A、B写出诟，。耳、.4々，/月的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的

坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

2

【详解】A:0Pi=(cosa,sina),OR=(8s£,-sin£),所以|。1|=-8S，a+sina=1)

IOR卜J(cos£y+(-sin向'=1>故I。<HORI,正确；

B：APy=(cosa-lssina),AP,=(cos/?-l,-sin>S),所以

2

22272Q-cosa)=^4sin^21s呜|,同理

|'APX|=5/(cosa-1)+sina=-Vcos^a^cosa+l+sina

|亚卜J(8s£—D'+si废户=2|sm(|,故|诙|,|西不一定相等，错误;

C:由题意得：OAOPi=1Xcos(a+^)+0Xsin(a+>3)=cos(a+fl),

OJ^OP.=cosacos/3+sina-sin>5)=cos(a+fl)正确;

D：由题意得：Q4OR=lxcosa+0xsina=8sa〉OP工OP、=cosxcos(a+/?)+(-siny5)xsin(a+y3)

=cos（p+（a+p））=cos（a+2p）,故一般来说德瓦*恒.而故错误；

故选：AC

命题点2平面向量的线性运算

典例01（2022•全国新高考I卷）在d4BC中，点。在边.45上，即=2".记a=m£D=力，则而

（）

A.3ih-2nB.一加+3万C.3而+2力D.2?n+3w

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点D在边.45上，BD=2DA,所以诙=2而，即诙-而=2（曰-3），

所以而=3而一20=3三一2k=一加+3万.

故选：B.

典例02（2020•新高考II卷）在"LBC中，。是4B边上的中点，则而=（）

A.2CD+CAB.CD-2C4C.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2CD-CA

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

命题点3平面向量综合应用

典例011.（2023•全国高考乙卷）已知。。的半径为1,直线24与。。相切于点.4,直线与。。交

于B,C两点，D为BC的中点，若户。卜也，则西.丽的最大值为（）

A.上囱B.匕这

22

C.1+72D.2+41

【答案】A

【详解】如图所示，\0A\=l,\0P\=y/2,则由题意可知：乙田。=%

由勾股定理可得|向|=dOP-O星=1

当点4D位于直线m异侧时或PB为直径时，设NOR?=a0<a<-,

34

则：西历TPN|・|PD|8s[a+；；

=lx5/2cosacosja+：；

=V2cosaj^-cosa-^-sinaj

=cos*a-sinacosa

l+cos2a1._

=------------sin2a

22

1点/C

22I4j

0<a<-,贝卜工42a-工（工

4444

当点4。位于直线m同侧时，设NOR7%0<a<J,

则：瓦丽=|P-4MPD|8S；a-£；

=lx\/2cosacos；a-：\

122J

=cos2a+sinacosa

l+cos2a1.r

----------1"一sin2a

22

=—+——sin,2a+—,>

22I4J

0<a<—,贝ij—K2a+—<—

4444

二当2a+£=g时，瓦而有最大值与2

综上可得，石.丽的最大值为E.

故选：A.

►►技巧解密<<

此类综合题中难度较大。本题中对于向量与解析几何结合问题一般来说采用数形结合

思想，将向量的运算通过角度转化成数量积运算，通过设夹角，将向量转化成关于夹角的数量积，从而再利用辅助

角公式即可。

A高考猜题预计2024年高考会向量数量积运算问题，并以单选或者是多选的形式出现

一、单选题

1.若£3是夹角为阿,的两个单位向量，总+1与-3^+2%垂直，则兀=()

A.-B.-C.—D.—

8484

【答案】B

【分析】由题意先分别算出二,铲二万的值，然后将“zlG+l与-3Z+2'垂直'等价转换为

(^+i)-(-3a+2d)=0,从而即可求解.

【详解】由题意有一叩j=1方=砰=1./=朴⑹的可二卜卜工；，

又因为/£+%与-3)+2%垂直,

^^(Aa+b)\-3a+2b)=-3Aa：+(22—3而万+2不=一32+；*(22—3)+2=0,

整理得—2/l+g=0,解得

故选：B.

2.如图，在平行四边形4BCD中，E是对角线/C上靠近点。的三等分点，点尸在3E上且为中点，若

AF=\AB^yAD,贝ijx+y=()

【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可.

【详解】•・•点尸在3H上且为中点，且七是对角线.4C上靠近点C的三等分点，

————1——1—1—1—1—1—12—

[ill]AF=AB+BF=AB+-BE=-45+—AE——AB=—AB+-AE=—AB+—x—月C

J22222223

1—l——\

=--4S-+-—(zABAD|

5—1—

=—ABH"—AD

63

7

二x+j，=7

故选：A.

二、多选题

3.已知向量i=(cos^sin^)(0<^<J),"=(L0),则下列命题正确的是()

A.若大鼠贝i_|tanJ=4B.存在8,使得口+可=卜一»|

C.向蚩三([，)是与£共线的单位向量D.£在2上的投影向量为力士

【答案】BCD

【分析】根据向量关系依次计算判断即可.

【详解】对A,若小鼠贝加藤=J58s9+sine=0,贝加1=一小，故A错误；

对B,要使p+N=|*,则£$=0,则tan”-5因为0“4万，所以9故存在夕，使得

|5+d|=|fl-d|,故B正确;

对c,因为4xg-lx*=O,

所以露，又F卜/当+6'；=1,所以向量三(省冷是与"共线的单

位向量，故C正确;

对D,因为"=(L0)为单位向量，则"在£上的投影向量为首三有2,故D正确.

故选：BCD.

函》创新好题・分层训练・(★精选8道最新名校模拟考试题-8道易错提升)

A。新题速递

1.(2022上山西运城高三统考期中)已知向量£=(Lf)5=(Tl),且(方+可口，贝平-可等于()

A.5B.2书C.2币D.2*

【答案】A

【分析】根据(汇+可⑪得到r=-2,再计算p-目即可.

【详解】因为£=(⑺5=(-3,1),(齿+可⑪，

所以(2+不)工=垢$+另'=2(-3+/)+9+1=0,解得=-2.

所以1(1,-2)5=(—3,1),a-b=(4-3),*N=F+(-3『=5.

故选：A

2.(2023海南海口海南华侨中学校考二模)如图，在HBC中，E是.45的中点，BD=2DC,FC=^AF,EF

与4D交于点则而=()

3—3—3—3—2—8—3—4—

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

【答案】A

【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得

答案.

【详解】在"LBC中，设而由而=2比，可得益=；亚+=4,故

......-1-2—

AM=AAD=—AABH—AAC.

33

又E是.43的中点，而=；而，所以羽=2检万V赤，所以翔=2而="后+白赤.

由点及产三点共线，可得一+'="解得人仃，

3914

___3—3一

故幺入＜=日为8+7月C.

故选：A.

3.(2023•杭州模抵预测)已知向量方=仅+1,2)3=(1,叫，若力仁则向量Z=(L2)在向量3+否上的投

题向量为()

A.⑺)B.(1.3)C.d)D.图

【答案】D

【分析】根据向量垂直求出力后，利用向量的坐标运算写出£+否的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.

【详解】依题意得：=(2+L2)3=(LT),＞方=0,所以4+1-22=0,解得”1,

所以：=(2,2)%=(LT),所以£+另=(3,1),

则向量IL2)在向量"+%上的投影向量为工^谷=号上.笆_=点31)=："；.

卜+耳。+"43一+-寸3・+11U\1L)

故选：D.

4.(2023上山东烟台•高三统考期中)在平行四边形ABCD中，AB=3垃，AD=2,屈=EB,ZBAD=?，

4

则ACDE=()

A.2B.2aC.2书D.4

【答案】A

【分析】根据题意，将就与丽都用刀与表示，再求数量积即可.

【详解】在平行四边形且88中，如图所示:

—1—

因为所