湖南省长沙市2024届高三数学上学期月考二试题含解析

2024届高三月考试卷（二）

数学

得分.

本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.若集合AfU止用,5=卜"+1）（—）叫，则38的元素个数为o

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】求出5={x|-1VXV9},得到交集，得到元素个数.

【详解】集合5={x|—lVxV9},A={-1,3,7,11,15,},

则Ac3={—1,3,7},即元素个数为3.

故选：B

1_­2023

2.设awR,若复数二1—的虚部为3（其中i为虚数单位），则〃=（）

ai

A.—B.—3C.—D.3

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用i的性质和复数的除法运算化简求出其虚部令其等于3可得答案.

「年存八有料1-产31+i（l+i）i-1+i1i

【详解】复数-------=——=-———=-----=------，

aiai-a-aaa

因为其虚部为3,所以—4=3,可得。=—』.

a3

故选：A.

3.已知非零向量”，6满足人=（、瓦1）,卜6后，若"则向量q在向量6方向上的投影

向量为（）

1;

B.-bc,乌D.b

22

【答案】A

【解析】

a-b工

【分析】依题意可得卜-根据数量积的定义及运算律求出“，即可求出a-b，最后根据

丽

计算可得.

【详解】因为（a-O）_La,所以（，一注）.£=/一£%=0,

A|a|-^|a||z?|=O,又b=所以愀==2,卜|=1或,|=0（舍去）,

所以a-/?=a=1，

a-b,1,

所以a在6方向上的投影向量为仃百/=了人.

m4

故选：A.

4.设抛物线C：必=2刀焦点为F,M（x,4）在。上，同=5,则。的方程为（）

A.x2=4yB.%2=-4yC.x2--2yD.x2=2y

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的定义求得P,进而确定正确答案.

【详解】抛物线必=2py的开口向上，

由于M（x,4）在C上，川儿阳=5,

根据抛物线的定义可知4+'=5,p=2,

2

所以抛物线C的方程为x2=4y.

故选：A

5.若函数外力=/31—X在区间（0,+“）上单调递增，则实数。的取值范围为（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,l）

C.[0,+8）D.（-00,1]

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得/（同20在区间（0,+"）恒成立，进一步转化为aWx+1在区间（0,+"）恒成立，从

而可求出实数。的取值范围

【详解】由/（x）=e"“M—x’得r（x）=ei+i—1,

因为函数/（x）=ei+i—%在区间（0,+。）上单调递增，

所以/'⑴=/”+1—120在区间（0,+x）恒成立，

所以x—。+120在区间（0,+。）恒成立，

即aWx+1在区间（0,+。）恒成立，所以“<1.

故选：D

6.直线/：y=Ax+l与圆。：f+/=］相交于A,B两点，贝『%=1"是"一。43的面积为g”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由左=1时，圆心到直线l-.y=x+1的距离d=与.所以弦长为血,所以

SA.R=』xJ5xY2=工•所以充分性成立，由图形的对称性，当左=—1时，Q钻的面积为:•所以不

A3B2222

要性不成立.故选A.

考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.

已知aw0,巴，且夜cos2a=sina+工贝！Jsin2a=()

C.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.

【详解】Q^2cos2a=sin(6Z+—),

、4

QV2(COS2a-sin2a)=(sina+cosa),

(cosa+sindf)(cos。一sin。一；)=0,

又则sine>0,cosc>0,即coso+sina>0

所以cosa-sina=—,

因为所以2a£(0,兀)，sin2a>0.

113

由cosa—sini=—平方可得l—sin2。=—,即sin2a=—,符合题意.

244

3

综上，sin2a=—.

4

故选：B.

8.若实数a,dc,d满足旦=上=—=1,则(a—cy+3—d)?的最小值是()

ba

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【解析】

【分析】先画出函数/(x)=x—2e，和g(x)=—x+2的图像，再根据图像解释(a—c»(6—1丫的几何

意义即可.

Oa

【详解】由伫竺=1,得。=a—2e"，令〃x)=x—2e"则/'(x)=l—2e"

b

令/(x)=。得x=—ln2,当x>—ln2时，/(x)<0,/(x)单调递减,当x<—ln2时,

单调递增；

由=得1=一0+2,令g(x)=-x+2,

/(x),g(x)的图像如下图:

则（a—c）2+S—d）2表示y=/（%）上一点M（a⑼与y=g（X）上一点N（c,d）的距离的平方，

显然，当过〃点了（%）的切线与g（x）平行时，|肱V|最小，

设y=/（x）上与y=g（x）平行的切线的切点为此（/，%），由/'伉）=1—2e*=—1,解得%=0,

所以切点为"。（0,—2）,切点到y=g（x）的距离的平方为[〔°]=8,

<6+1,

即（«-c）2+（b-d）2的最小值为8；

故选：A.

二、多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于下列命题中，说法正确的是（）

2

A.已知XB（n,p）,若E（X）=30,D（X）=20,则p=§

B.数据91,72,75,85,64,92,76,78,86,79的45%分位数为77

C.已知JN（O,1）,若PC>1）=。，则P（—l〈J〈O）=g—p

D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，

已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人

【答案】CD

【解析】

【分析】对各个选项进行分析判断即可得出结论.

【详解】对于A,X~B（n,p）,

.』X)=np=30,

D(X)=n/?(l-p)=20,)

：.l-p=~,解得p='，故A错误;

33

对于B，将数据从小到大排序为64,72,75,76,78,79,85,86,91,92,

10x45%=4.5,

.•.45%分位数为第5个数，即78,故B错误；

对于C,J~N(0,l),

.•.P(-1<^<O)=1[1-P(^>1)-P(^<-1)]=1[1-2P(^>1)],故C正确;

对于D,.抽样比为----=—,

40020

二高二应抽取360x」一=18人，贝。高三应抽取57—20—18=19人，故D正确.

故选：CD.

10.已知函数/(%)=25111%(：05%(：050+(：052%5m0(一》<0<»),贝!!()

A.函数/(%)的最小正周期为万

B.若函数/(%)为偶函数，则9=]

C.若9=-彳，则函数丁=/(尤)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移£个单位长度得到

36

D.若夕=则函数y=/(x)的图象的对称中心为(4+肺,。](左eZ)

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项判定，得出结论.

【详解】由题意，函数/(x)=2sinxcosxcos。+cos2xsin。

=sin2%coscp+cos2xsincp=sin(2x+(p),其中一冗<(p<n

27r

可得函数A九)的最小正周期为—=1，故A正确;

2

若函数/⑴为偶函数，则夕=左左+]/eZ,故B错误；

若。=-£77",则函数＞=/(%)的图象可由函数g(%)=sin2x的图象向右平移7一L个单位长度得到，故C正确;

36

■jrjr冗K7TTC

若夕=彳，则函数y=/(x)=sin(2x+d),令2工+不=左万，=-,左GZ,

k冗jr

可得它的图象的对称中心为(三-五,0)(左eZ),故D正确,

故选：ACD.

11.如图，四棱锥P—A3CD的底面是梯形，BC//AD,AB=BC=CD=1,AZ)=2,PA=PD=g，

平面上平面ABC。，O,E分别为线段A。，刈的中点，点Q是底面A3CD内(包括边界)的

一个动点，则下列结论正确的是()

B.三棱锥5-AOE外接球的体积为叵

4

3

C.异面直线PC与OE所成角的余弦值为一

4

D.若直线PQ与平面ABCD所成的角为60。，则点。的轨迹长度为山兀

【答案】AC

【解析】

【分析】根据平面上平面ABCD,得到平面A3C。,可判断A,B选项；异面直线PC与OE

所成角的余弦值在.PCD中由余弦定理，可判断C选项；若直线尸。与平面A3CD所成的角为60。，点Q

的轨迹为以。为圆心，正为半径的半圆可判断D选项.

3

p

易证四边形A3C0为菱形，所以301AC,

连接尸0,因为PA=PD=6,所以POLAD，

因为平面上40,平面ABCD,平面上4Z5c平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以P01平面ABCD,

因为ACu平面A3CD,所以POLAC,

又POOB=O,所以AC,平面PQB又5Pu平面PQ3,所以故A正确；

易证"OE为等腰直角三角形，A03为等边三角形，且平面上4DJ_平面A3CD,

所以三棱锥8—AOE外接球的球心为等边三角形A03的中心，所以三棱锥5—AOE外接球的半径为

V3

V

所以三棱锥8—AOE外接球的体积为V=当"X故B错误;

3

因为PD//OE,所以NCPD为异面直线PC与0£所成的角(或其补角)，

因为po=Rp»—oif=I，所以PC7Po2+oc?=拒,

2+2-13

在PCD中,由余弦定理，得cos/CPD=^―q-7==-,故C正确；

2xj2xj24

因为尸01平面A3CD，所以。。为PQ在平面A3CD内的射影，

若直线P。与平面ABCD所成的角为60。，则/尸。。=60。，

因为PO=1,所以。0=£,故点。的轨迹为以。为圆心，半为半径的半圆,

所以点。的轨迹长度为叵，故D错误.

3

故选：AC.

12.已知定义在R上的函数/(尤)满足：对于任意的羽yeR,都有/(x+y)=/(x)+/(y)+l,且当

x>o时，若y(i)=i,则下列说法正确的有()

A./(O)=O

B.〃尤)关于(1,1)对称

C.无)在R上单调递增

D./(1)+/(2)++/(2023)=20232

【答案】BCD

【解析】

【分析】赋值法可判断AB；利用单调性的定义可判断C；利用已知可得/(")-/("-1)=2,再由累加法

可判断D.

【详解】对于A,令x=y=O,得/⑼=2〃0)+1,可得〃0)=—1,故A错；

对于B,令x=y=l,则42)=3,令y=2—x,

则〃2)=/(x)+〃2—x)+ln/(x)+/(2—x)=2,故B对；

对于C,设％>々，则/(%)=>(万一%+9)=/(1-％)+/(々)+1=/(%)-/(%)=/(及一%)+1，

因为%-％2>0，故”占-9)>-1,故/(七)一/(々)=/(王一%)+1>0，

故了(九)在R上单调递增，故C对；

对于D,令x=〃,y=l,故/(〃)=/(〃—+=2,

所以/(〃)=/(〃)—+——+/(2)-/(1)+/(1)=2«-1,

1+2x02312

故/⑴+/(2)++/(2023)=(|-)x2023=2023,故D对.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1(2x+y)5的展开式中，产,3的系数为

【答案】40

【解析】

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】二项式（2x+“的通项公式为Tr+1=C＞（2x）51

所以的系数为c；.23+（—l）.C；•2?=40,

故答案为：40

14.已知S,是数列｛4｝的前几项和，％=2,2=3,%=4,数列｛a〃+a””+4+2｝是公差为1的等差数

列，贝US4o=.

【答案】366

【解析】

【分析】设2=4+4+1+。〃+2，易得4=9+（〃-l）xl="+8,再由

S40=弓+4+4++%求解.

【详解】解：设勿=4+。用+。“+2，由题意知｛4｝是公差为1的等差数列,

则4=q+%+%=9,

故4=9+（"—l）xl=〃+8,则4=仿+1=10，

皿/、，、/、13x（2+38）

故4+々++%=（2+8）+（5+8）++（38+8）=13x8+———=364.

于是S4g=tZj+（4+%+。4）+（%+。6+3）+（g8+。39+。40），

=q+3+々++“38=2+364—366.

故答案为：366

22

15.已知双曲线C:二-1=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为耳,B，过双曲线。上一点尸向y轴作垂线,

ab

垂足为Q,若|PQ|=]£闾且尸耳与。心垂直，则双曲线C的离心率为.

【答案】县1

2

【解析】

【分析】由题意知四边形PQ耳鸟为菱形，再结合图形得出|P耳|=2氐,归囚=2c,最后根据定义即可得

出离心率.

22

【详解】设双曲线二-当=1(“>0,6>0)焦距为2c,不妨设点尸在第一象限，

ab

由题意知PQ〃耳招，由|PQ|=|耳闻且尸耳与。工垂直可知，四边形PQ4鸟为菱形，且边长为2c,而

。耳。为直角三角形，|Q4|=2c,闺Q|=c,

故/月。。=30,二/。与。=60,则N£QP=120,

1

贝J|叫=Zcx^x2=2y/3c,\PF2\=2c，

故归周一|尸阊=2&-2c=2a,

即离心率e=/—=也担

G-12

故答案为：®1

2

16.如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥,则当圆锥的侧面积取到最小值时，它的高为

+2

【解析】

y1h2-hh2-h

【分析】由△SC0szxS0]A,求得产=——,得到侧面积S=7T^~令f(h)J~

X—1h-21)h-2

(77-2)2-2

得到r㈤=,求得函数/(与的单调性，进而得到答案.

(丸-2)2

【详解】如图所示，设SO=x,半径高SQ=x+l=%>2,

球半径为单位长度。。==1,

因为△SCOS^SOA,可得空=42L

SOSA

x+1h

所以xr=Jr?+(X+1『，解得「?=

x-1h-2

所以侧面积S=+(x+l『=nr2x==n-—~羡,

/i2—h.mix—4/1+2(h—2]—2

令于(埼可得——丁=：)、,，

')h-2(/z-2)(/?-2)-

令/'(/i)=0,可得(〃—2)2—2=0,解得无=2+行.

当丘(2,2+班)，/'㈤<0,/(与单调递减；

当/ie(2+0,+oo),f'(h)>0,/(/?)单调递减，

所以丸=2+行时侧面积S有最小值.

故答案为：2+0.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列｛4｝的第二、三、四项分别是等差数列｛〃｝的第二、五、十四项，且等差数列抄/的首项

4=1,公差d>0.

(1)求数列｛q,｝与｛2｝的通项公式;

⑵设数列匕｝对任意zieN*均有」■+，■+二++'L=6"成立，求C1+C2+C3++C2023的值•

dyCl?^^3n

【答案】(1)2=2"一1,4=3"T.

(2)32023-2

【解析】

【分析】(1)由题意得伪=。2/5=。3也4=。4,再利用等比数列和等差数列的性质列方程可求出从而

可求出公比4,进而可求得数列｛%｝与｛2｝的通项公式；

(2)由,+，■+•+‘■="〃，得'■+，■++'"+'*=2+1，两式相减可求得22),再验证q,

%aian%。2anan+l

然后利用等比数列的求和公式可求得结果.

【小问1详解】

设等比数列｛4｝的公比为q,

由题意，b2=a2,b5=a3,bu=a4,

=444,(1+4d)2=(l+d)(l+13d),解得d=2,或4=0(舍去)，

/.a2=3,%=9,/.q=-=3,q=-=1,

a2q

..・2=1+2(〃_1)=2〃_1,为二3"一1.

【小问2详解】

由题意，」+上++-=bn,①

dyCl2

••4+且++、+皿=%，②

a\a?anan+\

②-①得2=be—bL2,:.cll+l=2an+l,:.cn=2an=2x3"-'("22),

4+i

l.n=l

当”=1时，q=l不满足上式，所以c”=<

2X3〃T,〃N2'

]_2022、

Cj+(72H-+。2023=1+2X3X=32。23_2.

1-3,

18.在锐角中，内角A5,C的对边分别为d瓦。，已知ZsinAdcosB+bcosCjMJ5a.

(1)求A；

(2)若a=6,求从+02+3历的取值范围.

7T

【答案】⑴-

3

(2)(11,15]

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解;

(2)先利用正弦定理求出b,c,再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解.

【小问1详解】

根据题意，由正弦定理得

2sinA(sinCcosB+sinBcosC)=2sinAsin(B+C)=2sinAsinA=y/3sinA,

又锐角一ABC中，有Ae0,5,所以sinA>0,

所以sinA=且，所以A=g；

23

【小问2详解】

7T2TE

结合(1)可得A=—,8+。=兀—A=—,

33

ah「

由。=百，则根据正弦定理有一=——=——=2,

sinAsinBsinC

得b=2sinB,c-2sinC,

根据余弦定理有a2=b2+c2-2/?ccosA，得/+c?=3+Z?c，

所以/+，+^bc=3+4bc=3+16sinBsinC=3+16sinBsinf-B

=3+sVSsinBcosB+8sin2B=7+4^sin2B-4cos2B=7+8sin12J5一2

7171

得Be

又.43C为锐角三角形，则有—?,2

所以25个1,蒋，所以425一)1,1

故。2++3bc=7+8sin[23—7)e(11,15].

19.如图，在三棱柱ABC-中，为等边三角形，四边形BCG用是边长为2的正方形，D为

AB中点，且4。=厉一

(1)求证：平面45与4；

(2)若点尸在线段用C上，且直线相与平面所成角的正弦值为管，求点尸到平面的距

离.

【答案】(1)证明见解析

(2)拽

5

【解析】

【分析】(1)由勾股定理证明AALAD,再由AAL3C,可证AA_L平面ABC,即得。，惧，由

CDLAB,可证CD,平面A35A；(2)由题意证明得04,06,00两两垂直，建立空间直角坐标系,

写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面ACD的法向量，设CP="4=(24240),2e[0,1],再由

向量夹角的公式代入计算得CP=(1,1,0),根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.

【小问1详解】

证明：由题知A4,=2,">=1，4。=6，

22

AD+府=5=AXD^^AlAD,

又AA,所以AALBC,

又ADBC=B,AD,BCu平面ABC,

所以AAL平面ABC,又CDu平面ABC,所以CDL44,

在正ABC中，。为A3中点，于是CDLA5,

又A3cAA=A,平面A544,所以CD,平面AB与A

【小问2详解】

取BC中点为0,4G中点为Q，则OA±BC,OQLBC,

由(1)知，AAJ■平面A8C,且OAu平面ABC,

所以。4，相，又4B〃AA,

所以OAJ_BBi，BB]CBC=B,BB},BCu平面BCCXBX

所以OA,平面5。£用，于是QA,O6,O。两两垂直.

如图，以。为坐标原点，03,。。,。4的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，则0(0,0,0),A(0,0,石),A(0,2,6),c(—1,0,0),

--,0,-^-,CA]=(1,2,*$^卜

,4(1,2,0),所以CD=

I22J

CB1=(2,2,0),AC=(-l,0,-V3).

设平面ACD的法向量为n=(%,y,z),

3A/3

〃・CD=0——X+z=0

则即〈2~2

n-CA,=0

%+2y+Qz=0

令x=l,则z=—A/5",y=1,于是〃=(1/,一

设CP=ACBi=(22,22,0),2G[0,1],

则AP=AC+CP=AC+2c4=(22—1,22,-A/3).

由于直线AP与平面A。。所成角的正弦值为拽，

5

/\|2A-1+2A+3|275

'/Vl+1+3-y/(2A-1)2+(2A)2+35

即|2/l+l|=J(2/l—l)2+(2/l)2+3,整理得

4%_84+3=0，由于/Le[O,l],所以X=

于是CP=ACBX=（1,1,0）.

\CP-IT\11+112非

设点P到平面\CD的距离为d，则d=

口V1J+1+।35,

所以点尸到平面ACD的距离为亭.

【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量,

利用向量的夹角公式求解.

20.第19届杭州亚运会-电子竞技作为正式体育竞赛项目备受关注.已知某项赛事的季后赛后半段有四支战

队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：

第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2）,两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组.

第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3）,获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落

入败者组两支队伍对阵（即比赛4）,失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组.

第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5）,失败队伍被淘汰（获得季军）；获胜队伍成败者组第一名.

第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6）,争夺冠军.假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5,

每场比赛之间相互独立.问:

（1）若第一轮队伍A和队伍。对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？

（2）已知队伍8在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍8获得亚军的概

率.

【答案】（1）-

8

【解析】

【分析】（1）根据乘法公式求概率即可；

（2）根据条件概率公式求概率即可.

【小问1详解】

由题意可知，第一轮队伍A和队伍。对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4

和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，

所以所求的概率为

2228

【小问2详解】

设叱表示队伍8在比赛i中胜利，右表示队伍B在比赛i中失败，

设事件E：队伍B获得亚军，事件尸：队伍2所参加的所有比赛中败了两场，

则事件/包括吗吗44,叱4暝4,4吗暝4，且这五种情况彼此互斥,

进而P⑺=网以4）+。仁叱4）+。（暝44）+。（吗8M6）+。（右叱W4）

11111111111111115

=——X——I--X—X——I——X—X——I——X—X—X——I——X—X—X—=—

22222222222222228

事件石方包括吗乙暝七6，乙2也暝4,且这两种情况互斥,

进而（叱4暝4）+P（4叱暝+=

ZZZZZZZZo

1

,z,\P（EcF）O1

所以所求事件E|E的概率为P（E|F）=v=5s

v）-3

8

22

21.已知椭圆C:3+%=l（6〉0）的左右焦点分别为片,8,C是椭圆的中心，点M为其上的一点满足

\MFr\-\MF2\^5,\MC\=2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设定点7。,0）,过点T的直线/交椭圆C于P,Q两点，若在C上存在一点A,使得直线"的斜率

与直线AQ的斜率之和为定值，求才的范围.

22

【答案】（1）—+^=1

63

（2）t>逐或t<-瓜

【解析】

【分析】（1）在△加耳心中，根据余弦定理及|此|可得2a2一C2=9,从而求得椭圆方程.

（2）设4（%,%），尸（七，乂），。（乙，%），直线/的方程为x=Xy+f，代入椭圆方程得韦达定理，要使

2（）（）

%-M।%-%2x0y02+2/x0-122+4y0x0T

为常数，则2、-12=0,根据%范围得到t的

%一石玉一々

范围及点A坐标.

【小问1详解】

设|肛|=?|明卜弓，在△“耳心中，设/耳班=。,

2

\FXF^=r[+r^-2z;^cos^=4c，

-2s―+甘-4口又火」（小+阻，

MC2=；（MP；+2+2MF,-MF^=^（r；+r；+2.cos^）=^-+^--c2,

■,MC2=^+^-c2=^+^~2r]^-c2=2a2-c2-5=4

222

2a2—c2=9,a1=6,c2=3,b2=3,

22

所以椭圆C的方程为：—+—=1

63

【小问2详解】

设人（七,为）,尸（玉,%）,0（七,%），直线/的方程为x=Xy+f,

「22

土匕=]

<63—=>（Z2+2）/+2?2y+?2-6=0,

x=Ay+t

2沈/—6.q

二%+%=一^^，%y2=^F^，X1=2%+/，

4t2t2-6A2

(%-MM%-%2)+(%-%),(%-%)

设q+g

(x()—X]),(%—%)

x0-x1x0-x2

2%%—%(%+々)+24yly2+(-3)(%+%)

2

2x0y02+(ltxQ-12)2+4y0(x0

22

(%o-6)2+2(X0-R)

若。为常数，贝iJ2%—12=0,

,__2%0%_4yo(x0-f)_2yo

即6=%,而此时「~7\=~(白=7，

(片-6)2(X°T)x0-t

又—y/6<Xo<\/6,—y/6<—<-\/6,即f〉y/6或f<—A/6,

/

6,土、3T,使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定

综上所述，t>屈或t<-屈,存在点A—

值

--上+2/%尤+(2%—12"+4”国—。

对任意恒为定值，因为分子分母中同时含

【点睛】关键点点睛：1一工/一2二/X

(%o-6)2+2(X0-?)

有2，这种情况下分子分母2的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要2笈0-12=0且

2x0y04y0(x0-/)

(2一甘即外项、常数项对应成比例.

(%—6)2(x0-f)

[3

22.函数/(%)=cAwc+%2-(Q+l)x+](Q>0)・

⑴求函数/(%)的单调区间;

(2)当。=1时，若“石)+/(%)=°，求证：xx+x2>2；

2

(3)求证：对于任意neN*都有21n("+1)+，,>n.

1=1

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求定义域，求导，分。=1和。>1三种情况，求解函数单调区间;

(2)令g(x)=/(尤)+/(2—x)=I