第十三章 相交线与平行线单元综合提优专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。第十三章相交线与平行线单元综合提优专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．下列语句：①相等的角是对顶角；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行线间的距离处处相等．其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【标准答案】C【详解详析】试题分析：根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据平行公理对③进行判断；根据平行线之间的距离对④进行判断．解：相等的角不一定是对顶角，所以①错误；如果平行两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等，所以②错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以③正确；平行线间的距离处处相等，所以④正确．故选C．考点：命题与定理．2．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【标准答案】A【思路指引】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．【详解详析】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°−50°=10°，故选A.【名师指路】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A．32° B．58°C．68° D．60°【标准答案】B根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B4．（2021·上海浦东新·模拟预测）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么的度数是（）A．75°； B．90°； C．100°； D．105°．【标准答案】D【思路指引】通过在∠1的顶点作斜边的平行线可得∠1=105°．【详解详析】如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，利用平行线的性质可得，∠1=60°+45°=105°．故选D．【名师指路】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想．5．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【标准答案】B【思路指引】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可．【详解详析】解：∵QR∥OB，∴∠AQR=∠AOB=40°，∠PQR+∠QPB=180°；∵∠AQR=∠PQO，∠AQR+∠PQO+∠RQP=180°（平角定义），∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°，∴∠QPB=180°﹣100°=80°．故选B．【名师指路】本题结合反射现象，考查了平行线的性质和平角的定义，是一道好题．6．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）下列说法不正确的是（）A．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁对角的角平分线互相垂直B．同一平面内，两条不重合的直线不平行就相交C．两条直线的夹角α满足D．两直线相交所形成的角中，若有三个角相等，则两条直线垂直【标准答案】C【思路指引】分别根据平行线的判定与性质、同一平面内两直线的位置关系逐项分析即可．【详解详析】A．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁对角的角平分线互相垂直，该说法正确；B．同一平面内，两条不重合的直线不平行就相交，该说法正确；C．两条直线的夹角满足，该说法错误；D．两直线相交所形成的角中，若有三个角相等，则两条直线垂直，该说法正确；故选：C．【名师指路】本题考查平行线的判定与性质、同一平面内两直线的位置关系等内容，掌握上述基本定义是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学月考）如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=A．70° B．80°C．90° D．100°【标准答案】C【思路指引】由AB∥CD可以推出∠EFB=∠C=115°，又因为∠A=25°，所以∠E=∠EFB-∠A，就可以求出∠E．【详解详析】∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C=115°，∵∠A=25°，∴∠E=∠EFB−∠A=115°−25°=90°.故选C.【名师指路】考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键.8．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）有下列说法：（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】B【思路指引】根据无理数的定义求解，平行线的性质，平行四边形的性质，可得答案．【详解详析】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行，故（1）正确；

（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故（2）错误；

（3）无理数包括正无理数、负无理数，故（3）错误；

（4）无理数都可以用数轴上的点来表示，故（4）正确；

故选：B．【名师指路】此题考查无理数，利用无理数的定义求解，平行线的性质是解题关键．9．（2020·上海静安·七年级期中）下列说法正确的个数是（）．（1）无理数不能在数轴上表示（2）两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等（3）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行（4）两点之间线段最短A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【标准答案】B【思路指引】根据数轴与实数，平行线的性质与判定以及两点之间线段最短对每个说法逐一判断后即可得到答案．【详解详析】（1）实数与数轴上的点一一对应，故无理数能在数轴上表示出来，故原说法错误；（2）两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，故原说法错误；（3）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；（4）两点之间线段最短，正确．故选B．【名师指路】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知课本上的一些定义与定理．10．如图，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG=64°，那么∠EGD的大小是（）A．122° B．124° C．120° D．126°【标准答案】A【详解详析】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，又∵∠EFG=64°，∴∠BEF=116°；∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=58°，∴∠EGD=180°-∠BEG=122°．所以∠EGD的度数为122°．故选A.二、填空题11．（2021·上海·七年级期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，∆ABC的面积为3，则∆CAD的面积为_______．【标准答案】6【思路指引】首先根据内错角相等判定AD//BC，过点C作CM⊥AD，AN⊥BC，即可得出CM=AN，进而得出△ACD和△ABC的面积关系，即可得解．【详解详析】∵∠1=∠2∴AD//BC，过点C作CM⊥AD，AN⊥BC，如图所示：∴CM=AN∵，故答案为：6．【名师指路】此题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握，即可解题．12．（2021·上海·七年级期中）如图，∠ABC与∠DEF的边BC与DE相交于点G，且BA//DE，BC//EF，如果∠B=54°，那么∠E=__________．【标准答案】126°【思路指引】根据两直线平行同位角相等得到，，结合邻补角的和180°解题即可．【详解详析】BA//DE，BC//EF，，∠B=54°，，故答案为：126°．【名师指路】本题考查平行线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·上海嘉定·二模）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，如果被b反射出的光线n与光线m平行，且，那么的度数为__________．【标准答案】74°【思路指引】根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=37°，再利用平角的定义得∠3=106°，然后利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠2=74°．【详解详析】解：如图，∵∠1=∠4=37°，∴∠3=180°-37°-37°=106°，∵m∥n，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=74°，故答案为：74°．【名师指路】本题考查了平行线的判定与性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．14．（2021·上海宝山·七年级期末）如图，五边形中，，，、分别是与、相邻的外角，则等于_______度．

【标准答案】90【思路指引】过点作，结合题意可知，从而求解．【详解详析】如图，过点作,故答案为：90．【名师指路】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，做辅助线转化是解题的关键．15．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，已知直线，，，那么_________．

【标准答案】80【思路指引】由直线a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可得∠1=∠3，继而可得∠1+∠2=180°，则可得方程：2x+10+3x-5=180，解此方程即可求得答案．【详解详析】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠3，∵∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，∵∠1=（2x+10）°，∠2=（3x-5）°，∴2x+10+3x-5=180，解得：x=35，∴∠1=80°．故答案为：80．

【名师指路】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．16．（2021·上海静安·七年级期末）如图，过直线外一点D画已知直线AB的平行线．首先画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边；然后将三角尺沿直尺下移；最后当三角尺原紧靠直线AB的那一边经过点D时，画直线CD．这样就得到CD∥AB．这种画法的依据是_____．【标准答案】同位角相等两直线平行．【思路指引】根据同位角相等两直线平行解答即可．【详解详析】如图，由画法可知∠BEF＝∠DFG，∴AB∥CD（同位角相等两直线平行），故答案为：同位角相等两直线平行．【名师指路】本题考查了平行线判定方法的应用，熟练掌握同位角相等两直线平行是解答本题的关键．17．（2021·上海闵行·七年级期末）如图，已知//，直线与、分别相交于点E、F，，的平分线与相交于点P，且，那么的度数为______．【标准答案】30°【思路指引】根据垂直的性质可得∠PEF=90°，在根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义得出答案；【详解详析】解：∵，∴∠PEF=90°，∵，∴，∵∵，∴，∵平分∴【名师指路】此题综合运用了平行线的性质、角平分线的定义和垂直的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（2021·上海杨浦·七年级期中）如图，已知直线AD∥BC，如果△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，那么△ABC中BC边上的高是___厘米．【标准答案】3【思路指引】根据平行线之间的距离处处相等可得答案．【详解详析】解：因为△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，所以BC边上的高是：2×6÷4＝3（厘米）．故答案为：3．【名师指路】本题主要考查了平行线间的距离，准确计算是解题的关键．19．（2021·上海杨浦·七年级期中）现有一张长方形纸片ABCD，将它按如图所示的方式进行折叠，如果∠BHG＝50°，那么∠BHE的度数为______．【标准答案】65°【思路指引】根据四边形是长方形，可得，根据平行线的性质可得，，再根据折叠可得，，等量代换后即可得结果．【详解详析】解：四边形是长方形，，，，根据折叠可知：，，，，．故答案为：．【名师指路】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．20．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）如图，已知AD∥BC，BE平分∠CBD，∠D=110°，那∠EBC的度数是_____．【标准答案】35°【思路指引】先根据平行线的性质，求出∠DBC=180°-∠D=70°，再根据角平分线的性质得到．【详解详析】解：∵AD∥BC，∴∠D+∠DBC=180°，∵∠D=110°，∴∠DBC=180°-∠D=70°，∵BE平分∠DBC，∴，故答案为：35°．【名师指路】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．三、解答题21．已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④全等三角形的对应边、对应角分别相等．(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有(填入序号即可)；(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”．

已知：如图，_________________________________．求证：_________________________________．证明：【标准答案】(1)①②；(2)详见解析.【思路指引】(1)根据平行线判定需要选择条件；（2）根据已有平行线性质证明.【详解详析】(1)①②；(2)a//b，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠2．因为a//b，所以∠1＝∠3．因为∠3＝∠2，所以∠1＝∠2

【名师指路】本题考查了平行线的性质．解答此题时，利用了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，对顶角相等及等量代换的知识．

22．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置上，的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，你能分别求出∠1和∠2的度数吗？请你试一试．【标准答案】∠1=70°，∠2=110°【思路指引】首先由平行的性质得出，然后由翻折的性质得出，进而即可得出∠1和∠2.【详解详析】，由翻折的性质，得.【名师指路】此题主要考查平行线的性质以及翻折的性质，熟练掌握，即可解题.23．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，已知，．说明的理由．解：因为（已知）所以______（）所以（）又因为（已知）所以（）又因为（已证）所以（）【标准答案】CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换【思路指引】根据平行线的判定与性质解答即可．【详解详析】解：因为（已知）,所以CD（内错角相等，两直线平行）,所以（两直线平行，内错角相等）,又因为（已知）,所以（两直线平行，同位角相等）,又因为（已证）,所以（等量代换）,故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．【名师指路】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，能正确写出每一步结论的依据是解答的关键．24．（2021·上海·七年级期中）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，将下列证明AB//CD的过程及理由填写完整．证明：因为∠1=∠2，所以//（），所以∠EAC=∠ACG（），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以=，=，所以=，所以AB//CD（）．【标准答案】AE；FG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3；∠4；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行【思路指引】利用平行线的判定及性质就可求得本题．即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．反之即为性质．【详解详析】证明：因为∠1=∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3=∠EAC，∠4=∠ACG，所以∠3=∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AE；FG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3；∠4；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行．【名师指路】本题主要考查了平行线的判定和性质．正确的识别图形是解题的关键．25．（2021·上海静安·七年级期末）如图，已知在中，，，说明的理由．解：∵（），∴_____________（）．∵（已知），∴____________（）．∴（），∴（）．

【标准答案】已知；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【思路指引】依据平行线的性质和判定，以及等量代换，即可【详解详析】解：∵（已知），∴__________（两直线平行，同位角相等）．∵（已知），∴__________（等量代换）．∴（内错角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同旁内角互补）【名师指路】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．26．（2021·上海杨浦·七年级期中）如图：∠1＝∠2，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明∠3＝∠B．【标准答案】见解析【思路指引】因为∠1＝∠2，由内错角相等证明AD∥BC，又因为∠D＝90°，EF⊥CD，则有AD∥EF，所以EF∥BC，故可求证∠3＝∠B．【详解详析】解：∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∵∠D＝90°，∴AD⊥CD，∵EF⊥CD，∴AD∥EF，∴EF∥BC，∴∠3＝∠B．【名师指路】本题主要考查了平行线的判定与性质，准确计算是解题的关键．27．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）如图，点P在CD上，已知∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，请说明∠E=∠F的理由．解：因为∠BAP+∠APD=180°（），∠APC+∠APD=180°（），所以∠BAP=∠APC（），又∠1=∠2（），得∠BAP-∠1=∠APC-∠2（），即∠3=∠4．所以AE∥PF（）

∴∠E=∠F（）（请完成以下说理过程）【标准答案】已知；互补的性质；等量代换；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【思路指引】根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠3=∠4，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．【详解详析】解：因为∠BAP+∠APD=180°（已知），∠APC+∠APD=180°（互补的性质），所以∠BAP=∠APC（等量代换），又∠1=∠2（已知），得∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式性质），即∠3=∠4．所以AE∥PF（内错角相等，两直线平行）

∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）

故答案为：已知；互补的性质；等量代换；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【名师指路】此题考查平行线的性质与判定，正确熟记平行线的判定和性质是解题的关键．28．（2020·上海松江·七年级期末）如图，已知在△ABC中，点D为AC边上一点，DE∥AB交边BC于点E，点F在DE的延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA．（1）试说明∠BDA＝∠ABC的理由；（2）试说明BF∥AC的理由．【标准答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析；【思路指引】（1）根据平行线的性质得出∠DEC=∠ABC，根据∠DEC=∠BDA求出∠BDA=∠ABC即可；（2）求出∠ABC=∠FBD，根据∠BDA=∠ABC得出∠BDA=∠FBD，根据平行线的判定得出即可．【详解详析】（1）理由如下：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∵∠DEC＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ABC；（2）∵∠ABD＝∠FBE，∴∠ABD+∠DBE＝∠FBE+∠DBE，即∠BAC＝∠FBD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠BDA＝∠FBD，∴BF∥AC．【名师指路】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．29．（2020·上海市民办立达中学七年级月考）如图所示，已知射线.点E、F在射线CB上，且满足，OE平分（1）求的度数；（2）若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.【标准答案】（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°.【思路指引】（1）根据OB平分∠AOF，OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA，从而得出答案；（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，再根据∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，即可得出∠OBC：∠OFC的值为1：2．（3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内