广东省肇庆市2023-2024学年高考数学押题试卷含解析

广东省肇庆市省部分重点中学2023-2024学年高考数学押题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数2=4+»,"氏，若|z|=2,则"的值为（）

A.1B.73C.±1D.±73

2.若函数/（x）=Asin（s+。）（其中A〉0,|例〈，图象的一个对称中心为（5，0）,其相邻一条对称轴方程为

7万

X=—,该对称轴处所对应的函数值为-1,为了得到g（x）=cos2x的图象，则只要将/（元）的图象（）

12

A.向右平移F个单位长度B.向左平移三个单位长度

612

C.向左平移J个单位长度D.向右平移三个单位长度

612

3.已知函数/（％+1）是偶函数，当xe（L”）时，函数/（%）单调递减，设a=g],b=f（3）,c=/（0）,

则a、b、c的大小关系为。

A.b<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

22

4.双曲线二-与=13>0,6>0）的右焦点为尸，过点尸且与x轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的

ab

其中一个交点为P,若OP=/lOM+〃ON（/l,〃eR）,且=卷，则该双曲线的离心率为（）

.3A/2R5A/2„5y/3n576

4121212

5.要得到函数y=；cosx的图象，只需将函数y=gsin，x+gj的图象上所有点的（）

1n

A.横坐标缩短到原来的5（纵坐标不变），再向左平移（个单位长度

B.横坐标缩短到原来的5（纵坐标不变），再向右平移6个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移B个单位长度

O

D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移（rr个单位长度

6.根据如图所示的程序框图，当输入的X值为3时，输出的y值等于（）

A.1B.eC.e-1D.e-2

7.若直线2x+y+m=0与圆/+21+/一2y—3=0相交所得弦长为2，？，则机=()

A.1B.2C.75D.3

8.已知函数〃x)=ln%-@+a在x«l,e]上有两个零点，则。的取值范围是()

X

A.------1B.----------,1|C.-------,-1|D.[―1,e)

1-eJ[_l-eJl_l-e)

9.若向量m=(0,—2),n=(6,l),则与2根+〃共线的向量可以是()

A.(A/3,-1)B.(-1,A/3)C.(-A-1)D.(—1,—G)

10.已知复数一,匚为纯虚数(为虚数单位)，则实数=()

A.-1B.1C.0D.2

11.复数z=a-iy+4的虚部为()

Z+1

A.—1B.—3C.1D.2

o]nx\

12.已知函数八%)=^,若关于N的方程%f(x)+d=0有4个不同的实数根，则实数机的取值范围为

XO

()

A.(0，|)B.(0,卓4(先)D.李)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在棱长为1的正方体ABCD-AgGR中，P、。是面对角线AG上两个不同的动点.以下四个命题：①存在

P、。两点，使8PLOQ；②存在P、Q两点，使BP、。。与直线BQ都成45°的角；③若|尸。|=1,则四面体

BDPQ的体积一定是定值；④若|。。|=1,则四面体3DPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为

真命题的是.

14.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五

百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这U个数中随

机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为

15.如果抛物线V=2px上一点4（4,到准线的距离是6,那么切=

16.设为数列｛?｝的前几项和，若2S“=5a“-7,则a“=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后，就顾客“购物体验”

的满意度统计如下:

□满意不满意

M□□

0EJM

（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?

（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情

况如下:

购物卡支

支付方式现金支付AP尸支付

付

频率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾

优惠方式按8折支付

付客按8折支付

将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X,求X的分布列和数学期望.

附表及公式：K'—幽出一

(。+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2..Q0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)已知实数x,j,z满足x5+[:=%个=2,证明：----了+」2+；---^<^2.

l+x2l+/l+z21+x1+y1+z

4—x

19.(12分)已知函数/(%)=ln——+(2—。)(九一1).

x

(1)当，=1时.

①求函数/(X)在(2J(2))处的切线方程；

一124n-l

②定义S=f(-)+/(-)4----f(------)其中〃£N*，求5,20205

nnnn

(2)当。力2时，设/(x)=/(x)—111(4%-9)，g(x)=xe「「e为自然对数的底数)，若对任意给定的％e(0，e],在

(0,e]上总存在两个不同的毛。=1,2),使得r(x,)=g(%)成立，求。的取值范围.

20.(12分)在极坐标系中，曲线C的方程为夕cos29=asin<9(a>0),以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直

x-2-----1

2

角坐标，直线/的参数方程为La为参数)，I与C交于M,N两点.

「1+2

12

(1)写出曲线。的直角坐标方程和直线/的普通方程；

(2)设点P(2,-1)；若1PM、|MN|、|PN|成等比数列,求2的值

21.(12分)如图，在四面体。/LBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4D=30°,二面角C—AB—。为60，求异面直线与所成角的余弦值.

22.(10分)已知不等式|2x—1|—|x+l|<2的解集为｛x|a(无<。｝.

(1)求实数a,b的值

3abk

(2)已知%>y>z存在实数上使得一2（x-y）+4（y-z）>恒成立，求实数上的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

由复数模的定义可得：忖=勿+1=2,求解关于实数。的方程可得：a=±6

本题选择O选项.

2、B

【解析】

由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出口，由五点法作图求出9的值，可得/(%)的解析式，再根据函数

y=Asin(a)x+0)的图象变换规律，诱导公式，得出结论.

【详解】

根据已知函数"X)=Asin(aw+0)

(其中A〉0,悯<1)的图象过点I(,。［,

一,口127r77r兀

可得A=l,-......=,

4co123

解得：①二2.

JT

再根据五点法作图可得2-§+e=乃，

可得：(p",

可得函数解析式为：/(%)=5诂［2X+().

故把〃x)=sin,+的图象向左平移个单位长度，

可得y=sin[2x+y+—J=cos2x的图象，

故选B.

【点睛】

本题主要考查由函数y=Asin(ox+0)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出。，由五

点法作图求出9的值，函数y=Asin(@r+0)的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题.

3^A

【解析】

根据/(x+1)图象关于y轴对称可知/(X)关于X=1对称，从而得到/(X)在(一8,1)上单调递增且/(3)=/(-1)；

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Q/(%+l)为偶函数.'/(x+i)图象关于)'轴对称

・・・/(尤)图象关于工=1对称

xe(l,+8)时，/(%)单调递减...xee8,1)时，/(%)单调递增

又”3)="T)且即6<a<c

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

4、D

【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP=XOAf+〃ON,求出点〃)，，U一〃)

「6

因为点P在双曲线上，及0=—,代入整理及得4e2〃/=l,又已知九〃=一，即可求出离心率.

a25

【详解】

由题意可知—L---j,代入OP二=AOM+jLiON得：“(X+〃)c,(X-〃)—

\a

代入双曲线方程W—与=1整理得：4e2A//=l,又因为想=9，即可得到e=9,

a2b22512

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于。，b,。的方程或不等式,

由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题.

5、C

【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.

【详解】

位切不11.「万、

为得至Uy=~cosx=—sinIx+—I,

将y=gsin[lx+横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

故可得>=齐11}+1^；

再将y=gsin[x+g]向左平移£个单位长度，

故可得y=]Sin%+1+/=5S111X+万\=-cosx.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.

6、C

【解析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值.

【详解】

由题x=3,x=x-2=3-l,此时x>0继续运行，x=l-2=-l<0,程序运行结束，得y=1,故选C.

【点睛】

本题考查程序框图，是基础题.

7、A

【解析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】

圆f+2x+/一2y—3=0的标准方程（x+1）?+（y—I）?=5，圆心坐标为（一1,1）,半径为亚，因为直线2x+y+m=Q

与圆好+2工+/一2丁—3=0相交所得弦长为2石,所以直线2%+丁+m=0过圆心,得2><（-1）+1+〃?=0,即m=1.

故选：A

【点睛】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.

8、C

【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/（力的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.

【详解】

•••r（x）=：+£=密，

当。2―1时，r（x）>o,/（力在［1,4上单调递增，不合题意.

当e时，r（x）<0,在［l,e］上单调递减，也不合题意.

当—e<a<—l时，则时，/（%）在［1,一。）上单调递减，x«—a,e］时，/（九）在

（—44上单调递增，又/⑴=0,所以〃尤）在xe［l,e］上有两个零点，只需/,）=1一2+/0即可，解得

e

-----V〃<-1.

1-e

综上，。的取值范围是-£-,-11

Ll-e）

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.

9、B

【解析】

先利用向量坐标运算求出向量2加+“，然后利用向量平行的条件判断即可.

【详解】

加=(0,-2),〃=(6,1)

/.2m+n=(G,—3)

(-l,V3)=-^(A-3)

故选B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定，属于基础题，在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应，切

不可错位.

10、B

【解析】

化简得到=-根据纯虚数概念计算得到答案.

【详解】

二=(/♦二)(二+二)=二-/+(二+/)二为纯虚数，故口一/=。且口+即U=J.

故选：二.

【点睛】

本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.

11、B

【解析】

对复数z进行化简计算，得到答案.

【详解】

(Z-1)2+44-2Z(4-2Z)(1-Z)

Z=---------=-----=------------—L—Jl

i+11+i2

所以z的虚部为-3

故选B项.

【点睛】

本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.

12、C

【解析】

求导，先求出"%)在工40,五)单增，在xe(G,+s)单减，且/(初四=/(G)=g知设/。)=乙则方程

1

"(创29—时⑶+—二。有4个不同的实数根等价于方程

8

11

/9_加/十一=0在(0,)上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.

82

【详解】

—■X2

-2xelnxe(l-21nx),

依题意,人):「一

令/'(x)=0,解得lnx=g,x=&,故当xe(0,C)时，/，(x)>0,

当xe(G,+oo),r(x)<0,且/(五)=生巫」,

e2

11

故方程r9-加+7=0在(0,-)上有两个不同的实数根,

82

1

A>0m92——>0

2

(%_〉01m1

故-----+—>0

824

0<4+72<1

0<m<1

草2>0

解得加eg,；).

故选：C.

【点睛】

本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：

⑴构造法：构造函数g(x)(g'(x)易求，g'(x)=0可解)，转化为确定g(E)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数

的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解；

⑵定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端

点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①③④

【解析】

对于①中，当尸点与4点重合，。与点G重合时，可判断①正确；当点P点与A点重合，BP与直线耳。所成的角

最小为60，可判定②不正确；根据平面06。将四面体即尸。可分成两个底面均为平面08。，高之和为P。的棱锥,

可判定③正确；四面体BDPQ在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.

【详解】

对于①中，当p点与4点重合，。与点G重合时，BP±DQ,所以①正确；

对于②中，当点P点与4点重合，与直线与c所成的角最小，此时两异面直线的夹角为60，所以②不正确；

对于③中，设平面两条对角线交点为。，可得平面08。，

平面08。将四面体3DPQ可分成两个底面均为平面0BD,高之和为PQ的棱锥，

所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；

对于④中，四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，

四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为正，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，

2

故四面体3DPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面

直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.

1

14、—

55

【解析】

由组合数结合古典概型求解即可

【详解】

从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共（3,4,5）,（6,8,10）,（5,12,13）三种，所以,

八31

所求概率为

故答案为白

【点睛】

本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.

15、+4>/2

【解析】

先求出抛物线产=2四的准线方程，然后根据点4（4,/句到准线的距离为6,列出4+^=6,直接求出结果.

【详解】

抛物线y2=2px的准线方程为x=

由题意得4+'=6,解得。=4.

2

■:点A（4,in）在抛物线/=2四上，

*"•tn"=2x4x4，•**m=+4^2，

故答案为：±4也.

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

【解析】

7_

当〃=1时，由2s1=5a「7=2ai，解得4=耳，当〃22时，2s“=5a“-7,2S,i=5/_1-7,两式相减可得

2an=5an-，即5a„_,=3ati,可得数列｛an｝是等比数列再求通项公式.

【详解】

7

当九=1时，2s1=5%-7=2%,即

当〃之2时,2Sn=5an—72sAi=5an_x—7,

两式相减可得=5。”一5。"_],

即=3%,

75

故数列｛凡｝是以1为首项，§为公比的等比数列,

【点睛】

本题考查数列的前几项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；(2)67元，见解析.

【解析】

(1)根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；

(2)X的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.

【详解】

(1)由题得

片_200(40x40-80x40)2

5.556>5.024,

-120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.

(2)由题意可知X的可能取值为40,60,80,1.

1113

p(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=-x60%=—,

p(x=80)=30%+(x60%=|,P(X=90)=10%/.

则X的分布列为

X4060801

1321

p

5107io

1321

所以，EX=40x-+60x—+80x-+90x—=67(元).

510510

【点睛】

本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分

析，数学运算的能力，属于中档题.

18、见解析

【解析】

222—

已知条件+F方+一3=2,需要证明的是白行+广^+1彳40，要想利用柯西不等式，需要

1+x21+/1+z21+x1+/1+Z2

222y222y22、

」+上zX(xZ

+二的值，发现1++1+y=3-+l+y2+1+z'=1,则可以用柯西不等式.

1+x2l+y2[1+x22

【详解】

X2y2+上

1+x2+5=2,

l+y21+z

…------yH-----7H-----y=1------7+1-----7+1-----不—1.

1+xl+y1+z1+xl+y1+z

由柯西不等式得，

(x2y2z2Y111xyz

11+%2.Jl+z2j[l+%2.J1+z2j(]+九2.J1十

(、2

XyZ

-------------1--------------1-------------

2

11+%21+/1+ZJ

-----------7^-----5<42.

1+xl+y1+z

【点睛】

本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.

19、（1）①丁=1；②8079；（2）|-℃,2--J

ke-1

【解析】

4—xr（x）/「；+4,

(1)①1=1时，/(x)=In-----Fx-1利用导数的几何意义能求出函数f（X）在（2,/（2））处的切

x

线方程.

4-r12S079

②由f(x)=In—+X-1,得/•(元)+〃4-x)=2,由此能求出S=/(-)+/(-)+...+/(—)的值.

x2020202020202020

(2)根据若对任意给定的x°e(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的毛。=L2),使得《玉)=g(x0)成立，得到

函数《X)在区间(0,e]上不单调，从而求得。的取值范围.

【详解】

4—x

(1)a=l,/(%)=In-------l-x-1

x

:./(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(0<x<4)

•••r(x)=-.•.八2)=0,•••“2)=1,

4XX

所以切线方程为y=L

4—xx

②/(%)=In-------i-x-1,/(4-x)=ln-------i-4-x-l

x4-x

・・・/(%)+/(4—©=2,(0v兄V4).

令龙=上,则/(1)+/(4--)=2,(z=l,2,,4n-l).

nnn

因为S“=/d)+/(2)++/(4--)+/(4-l)@,

nnnn

1221

所以S.=/(4—)+/(4—)+•••+/(-)+/(一)②，

nnnn

由①+②得2Sn=2(4〃一1),所以Sn=4n-l,(neN*).

所以邑020=8079.

(2)g'(x)=/T—相修=(1—x)}\当xe(0,l)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当xe(l,e]时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减•••g(0)=0,g⑴=1，g(e)=^>0

所以，函数g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].

2

因为户2,‘⑴.2q2=(2-a)(x-/,xe(0,e]

XX

22

故0<------<e〃<2—①

2-a9e9

此时，当x变化时以%)、《％)的变化情况如下:

2(2]

X(0,J)

2-a2-。

t\x)—0+

“X)单调减最小值单调增

22

=—2In—---,%(e)二

2—a

对任意给定的％e(O,e］,在区间(0,e］上总存在两个不同的七。=1,2),

使得K%)=g(%)成立，当且仅当，满足下列条件

方『)402

。一21n<0

<2-a即《2—CL

(2-tz)(e-l)-2>l

令/z(a)=6z-21n----,aG[-OO,2—J,

h'(a)=1-2[ln2-ln(2-a)]，=1-----=,

2—aci—2

2

当。£(—8,0)时，〃(Q)>0,函数饵。)单调递增，当QW(0,2——)时，h\a)<Q函数依。)单调递减所以，对任意

ef

22

ae(-oo,2——),有h(a)</z(0)=0,即②对任意aG(-00,2——)恒成立.

ee

3

由③式解得：a<2-----.④

e-1

综合①④可知，当ae[-oo,2)时，对任意给定的为e(O,e],

在［0,e)上总存在两个不同的%；(z=l,2),使/(%)=g(x0)成立.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性,

会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件.不等式恒成立常转化为函数最值

问题解决.

20、(1)曲线C的直角坐标方程为ay(a>0),直线/的普通方程为x+y—l=0；(2)«=1

【解析】

⑴由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)把/的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得彳+今=4啦+啦a,他=8+2。，可得到

1MMTt—oiPMrlPNkG，根据因为|。闾，|PN|成等比数列，列出方程，即可求解.

【详解】

（1）由题意，曲线C的极坐标方程可化为22cos2。=。2sin。,（。＞0）,

又由＜.z可得曲线。的直角坐标方程为了=金（。＞0）,

y-psmO

\9代

x=2------1

2

由直线/的参数方程为L。为参数），消去参数/，得x+y-1=0,

10

y=-Id----1

[-2

即直线I的普通方程为x+y-1=0；

[?凡

x=2---1

（2）把/的参数方程,2代入抛物线方程中，得广―（40+耳）/+（8+2a）=0,

IV2

y=-1H----1

[2

由A=2/+8a＞0，设方程的两根分别为6,K,

则4+芍=4&+0。＞0,柩2=8+2a〉0,可得乙〉0,,＞0.

所以|肱Vg/1T2I，归时=取

因为|肱V|,|PN|成等比数列，所以（4—,2）2=V2,即（4+,2）2=5窜2，

则+=5（8+2a）,解得解得a=l或a=—4（舍），

所以实数。=1.

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答

中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础

题.

21、（1）证明见解析

⑵同

6

【解析】

（1）取AC中点歹，连接ED,EB,得可得FA=FB=FC,

可证。F4&NB,可得DFLFB,进而D-，平面ABC,即可证明结论;

(2)设瓦G,“分别为边AB,CD,的中点，连DE,EF,GF,FH,HG,可得Gb//A£>,GH//BC,EF//BC,

可得NR汨(或补角)是异面直线AO与所成的角，可得即，AB,NDEF为二面角C—。

的平面角，即NDEF=60，设AD=a,求解AFGH,即可得出结论.

【详解】

(1)证明:取AC中点凡连接ED,EB,

由ZM=DC,则DBJ,AC,

AB±BC,则以=用=尸。，

7T

故DFAm,DFB,ZDFB=ZDFA=-,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.•.OF，平面ABC,又D尸u平面AC。，

故平面ABC_1_平面ACD

(2)解法一:设G,H分别为边8,8。的中点，

里FGIIAD,GHIIBC,

ZFGH(或补角)是异面直线AD与所成的角.

设E为边的中点，则即/ABC,

由ABLBC,知所，AB.

又由(1)有D尸，平面ABC,，。A3,

EFZ)/=平面。

所以NDEF为二面角C—AB—D的平面角，.•./£>石尸=60，

设。4=。。=。3=之则。歹=4£>/010=幺

2

在RtADEF中,EF^--—^—a

236

从而GH=^BC=EF=^a

26

在RVBDb中，FH=-BD=-,

22

又BG=LAD=0,

22

从而在.FGH中,因FG=FH,

LGHH

cosAFGH=------=—

FG6

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为立

6

解法二:过点尸作械，AC交AB于点M,

由(1)易知/CEO,9两两垂直，

以P为原点，射线刊0,天。,尸。分别为x轴，

y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系歹-孙z.

不妨设A£>=2,由Cr>=AD,NC4D=30°,

易知点A,C,。的坐标分别为A