数学教材中数学核心素养的模拟实现：特征及其教育价值

【摘要】数学教材中的模拟方法是一种再现抽象对象具体内容的处理方式，多采用物理方法，通过实物、模型等模拟具体情境，将抽象的事物直观化、具体化，让学生经历数学概念、定理、公式、思想方法的形成过程。研究者通过分析数学教材中模拟方法的分类及特征，并对模拟方法的教育价值进行讨论，认为模拟方法能发展数学核心素养，丰富认知结构，模拟方法的信息技术实现支持“做中学”。【关键词】数学；模拟方法；实物模型；教育价值一、问题提出数学是一门具有高度抽象性特点的学科，这种抽象脱离了对象的具体内容，而只保留了数量关系与空间形式。如，从一个苹果、一棵树中抽象出数字“1”，从天上的圆月、水中的涟漪中抽象出“圆”。中学数学中的抽象内容多是从可感知的具体情境中抽象而来的。这些抽象内容让不少学生觉得数学难学难懂，往往是由于未能将所学内容与所见实际或已有认识建立起联系，未能认识到抽象对象的清晰表象，认为一些数学对象是凭空产生、虚无缥缈的。学生以学习间接经验为主，虽不必处处亲身经历，但也需要一定的实践经验和认知基础，才能领悟“虚幻”之实。数学教材是课程标准下的产物，肩负着用合适的载体、多样的手法把数学核心素养更好地表达出来的神圣使命。通过对数学教材的研究发现，数学教材采用了物理模拟方法凸显数学核心素养的手法。本文通过分析高中数学教材对数学核心素养的模拟实现，解析其特征，揭示其教育价值，为教师更好地使用教材提供参考。模拟方法更多地以数值模拟法的形式出现在电气工程、机械工程等领域中，是用计算机模拟特定问题，可视为用计算机做实验。在数学教学中，王向东等［1］认为：“数学实验是人为地、模拟地创设有利于观察与思考的条件，从而把数学对象的本质与规律暴露出来的一种方法。”数学实验可以通过物质或技术工具对数学对象的模拟而展开。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调数学与生活以及其他学科的联系，注重提升学生应用数学解决实际问题的能力［2］。而联系与应用正是模拟方法的优势所在。数学核心素养可以通过数学实验、物理模拟等手法，体现数学与其他学科的交叉融合，拓展学生的视野，其教育教学价值需要进一步挖掘。二、数学核心素养的模拟实现数学核心素养体现了数学发展、数学教学过程中的种种冲突与张力。数学教材中的模拟方法是一种再现抽象对象具体表象的处理方式，使抽象对象与易于认识的现实事物、现象联系起来。其多采用物理方法，通过实物、模型等模拟数学概念、定理、公式、思想方法的形成过程，把以抽象的符号语言形式表达的数学概念、定理、公式、思想方法等以相对具体的形式呈现，从而丰富学生的直接经验和感性认识，使学生在认知结构中找到根植新观念的认知生长點，以此作为认识数学、学习数学的基础。（一）凸显“数学抽象—直观想象”张力的模拟由于数学具有抽象性的特征，因此，教师在数学教学中不能以抽象讲抽象，还要发展学生的直观想象能力，数学抽象和直观想象是相辅相成的，两者相得益彰。案例1用单摆模拟正弦曲线从历史上看，三角函数的引入是天文学研究的需要，三角函数定义经历了从锐角到钝角再到任意角三角函数的推广。正弦曲线是三角函数的典型代表。正弦曲线不仅是周期曲线，还有一些特征点，尤其是它的拐点。曲线在拐点处的切线斜率达到最大或最小值时，使得拐点前后的曲线有不同的凹凸性。如此特殊的曲线究竟从何而来？正弦曲线的这些性质如何体现？正弦曲线离学生的视野有多远？这些都是在教学中需要考虑的。立足学生实际的教学，必然会考虑正弦曲线与学生学习心理的距离。事实上，正弦曲线也蕴藏于生活实际之中，单摆简谐振动的轨迹，即其时间—位移图象正是正弦曲线。单摆简谐振动的周期性反映在正弦曲线的周期性上。曲线的拐点对应单摆运动到最低点处的情形，此时单摆的运动速度最快。运动速度的变化反映在曲线的切线斜率上。因此，单摆简谐振动能很好地模拟正弦曲线的形成过程，结合物理情境能清楚地解读正弦曲线的特点，使学生对正弦曲线的认识直观而清晰，而非仅限于静态的图形。通过实物模拟，学生不仅看到了正弦曲线的生成过程，还感受到它的意义。而意义的追求是数学应用和数学教学的活力所在。案例2用椭圆规模拟椭圆生成古希腊人从圆锥面或圆柱面被平面所截的截口上发现了椭圆，阿波罗尼奥斯给出了椭圆的截线定义，并推导出椭圆焦半径的性质。后人利用椭圆的焦半径性质作出椭圆，给出椭圆的轨迹定义。荷兰数学家舒腾的椭圆规之一是“两钉一线”的模型，如图2（a）。椭圆的焦半径性质寓于“两钉一线”的模型中，“两钉”即两定点，“一线”即定长。“两钉一线”既给出了椭圆的轨迹定义，又揭示了椭圆的特征——椭圆上的点到两定点的距离之和为常数。除此之外，舒腾还制作了另外两种椭圆规，如图2（b）、（c）。［3］点A是滑槽KL的中点，BA=BD，A，B可转动，D不可转动，则D在滑槽上运动时，点B的轨迹是圆，点E的轨迹是椭圆。这两种作图法的原理相同，可视为对不同的圆作压缩变换所得。事实上，BD所在直线上除B（轨迹是圆）、D（轨迹是线段）两点外，其他点的轨迹都是椭圆。这种作法反映了线段、圆与椭圆可相伴而生，借助信息技术还可以看到三者之间的转换。案例3用书本模拟线面位置关系判定线面平行的关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行，这一发现需以大量感性经验为基础，并要在诸多线面平行与线面不平行实例的分析、辨认过程中概括出其关键属性。将书本平放在桌面上，翻动书的封面，则与书脊平行的封面的外边缘线与桌面平行。借助书页中平行的对边模拟线面平行判定中的两条平行直线，桌面外本的封面的外边缘线与桌面内的书脊所在直线始终平行，封面的外边缘线也始终平行于桌面，进而自然而然地将线面平行与线线平行联系起来。此外，将书本立在桌面上，还可模拟线面垂直的定义。书页的下边缘线在桌面上，它们都与书脊所在直线垂直，而书脊所在直线也与桌面垂直。（二）凸显“逻辑推理—数学运算”互补的模拟逻辑推理和数学运算之间的冲突、对立、融合推动着数学不断向前发展。《几何原本》体现了逻辑推理的重要作用，《九章算术》彰显了数学运算、算术思维的强大力量。因此，逻辑推理和数学运算是数学的两翼，使数学翱翔在人类探索未知世界的天空中。案例4用电路模拟命题逻辑在形式逻辑推理中，人们关心命题的两种状态——真与假；在电路中，开关只有接通与断开两种状态，灯泡只有亮与不亮两种状态。将开关状态与灯泡状态的这种二元特性与命题真假相对应，用“开关接通、灯泡亮”模拟命题为真，用“开关断开、灯泡不亮”模拟命题为假。用开关的串联、并联和反相模拟逻辑连接关系“且”“或”“非”，则各式各样的复合命题都能用电路图进行模拟，命题真假的判断也可归结为灯泡亮与不亮。关于命题a、b的命题a且b（a[?]b）、a或b（a[?]b）、非a（ac），可由图4中的电路图模拟。视觉化的开关电路与言语化的命题逻辑中，非此即彼的二元特性是它们的共性，抛弃它们的具体表象，只保留这种二元特性，布尔代数便产生了。案例5用多米诺骨牌模拟数学归纳法案例6用容器盛沙模拟计算球的体积案例7用摸球实验模拟二项式定理案例8用不等臂天平称两次模拟基本不等式基本不等式表示对任意两个正实数分别取算术平均和几何平均后，运算结果的必然性——两正实数的算术平均数不小于其几何平均数。古巴比伦的祭祀利用“和差术”，从代数角度推导出基本不等式。赵爽在注解《周髀算经》时利用弦图，从几何角度推导出基本不等式。教材中出现的用不等臂天平称两次则是对基本不等式的另一种思考。将物体放在左盤称得物体质量为a，将物体放在右盘称得物体质量为b，为估计物体的实际质量，常取算术平均[a+b2]，而利用杠杆原理则得实际质量为[ab]。两种平均虽有差异，但其间存在着“恒不等”关系。不等臂蕴含着[a≠b]，当且仅当在等臂天平中，即a=b时，才有[a+b2]=[ab]。（三）凸显“数学建模—数据处理”关联的模拟数学建模是数学联系现实世界与数学世界的桥梁，数据处理是其中重要的一环，两者是不可分割的整体。因此，数学建模和数据处理体现了模型化与数据驱动之间的内在联系。案例9用撒豆实验模拟计算圆周率在一个正方形区域中均匀撒豆，统计落入正方形的内切圆中的豆子数与落入正方形中的豆子数之比，当豆子数足够大时，这一比值就十分接近正方形的内切圆面积与正方形面积之比，由此可得圆周率的近似值。这种方法通过构建随机过程，利用几何概型，将圆周率的计算这一确定性问题转化为撒豆过程中豆子所落入的区域这一随机性问题，而圆周率蕴藏在撒豆这一随机过程的概率之中。这是蒙特卡洛方法——撒豆法，它通过建立随机过程或概率模型，进行随机试验获取数据来估计概率模型的参数或数字特征，而这一参数或数字特征就是所求问题的解。案例10用高尔顿板实验模拟正态曲线正态曲线是蕴藏于客观事实之中的客观规律，在大量不确定因素的影响下，许多随机变量的分布最终都指向正态分布。这体现了正态分布在混乱中维持着秩序的惊人规律，这一规律可通过高尔顿板实验再现。在高尔顿板实验中，小球遇到每一个钉子后向左或向右落下是一个随机因素，小球落到底板上的位置受这些随机因素共同影响。各个槽中的小球堆积高度反映了小球落入各个槽中的频数分布规律。将球槽编号，建立随机试验结果与一些自然数的一一对应关系，则构造了一个描述这个随机试验的离散型随机变量，其分布列用频率来近似。可以发现试验中小球的堆积形状与小球落入球槽的频率分布直方图相似，因此从小球的堆积形状可以发现这个随机变量的分布列特点。随着小球数量的增加，频率分布直方图的形状越来越像正态曲线。高尔顿板实验再现了正态曲线的形成过程，并揭示了随机性中蕴含着的规律性——受大量作用微小的因素影响的随机变量服从或近似服从正态分布。三、数学核心素养模拟模型的特征分析数学核心素养不只是一个名词，其还有丰富的内涵。这些内涵要用教学的手法揭示出来，以体现其教育特征和教育价值。（一）物化的直观中蕴含着抽象——数学学习方式多样化物理模拟突出是数学对象的本质特点。在单摆的摆动中，当摆角足够小时（小于5°），无论摆长长度如何变化，单摆的时间-位移图象始终反映出周期性变化规律。在“两钉一线”的椭圆规中，无论笔尖移至何处，笔尖到“两钉”的距离之和始终相等。在线面平行判定的模拟中，在封面外边缘线与书脊平行的条件下，无论怎样翻动书本的封面，封面外边缘线始终与桌面平行。它们的共同点是通过实物、模型的直观演示，突出变化中的不变性，创设在感知事物的形态与变化过程中发现事物本质属性的条件，从具体背景中抽象出一般规律和结构。这样的模拟方法有利于理解一些数学概念及其性质。模拟的突出特点是揭示了教学是如何处理直观想象与数学抽象之间的辩证关系的。抽象性是数学的特点，是数学具有广泛应用性的基础，但也正是数学的抽象性使得数学与生活、学生的实际有点远，使学生学习起来有点吃力。通过实物模拟，充分发挥感官的观察、分析、思辨作用，使学生的学习从具体的经验走向思辨。而学会数学地思考，去掉各种具体的物理属性，正是数学抽象的力量所在。故欲习得数学抽象，必先从实物、直观入手。这是一种认识的辩证统一。上述模拟案例，更新了我们的认识。不唯符号、书本中蕴含的知识，模型、实物中也隐藏着天地之机。因此人们常说“读万卷书不如行万里路”，认知分布理论深刻地揭示了这一观点。学习方式不仅仅只有书中学这一种，例中学、做中学也是有效的学习方式。“动眼观察、动手操作”实验式的具身学习理论在数学教学中也应有一席之地。（二）逻辑和运算支配着事物的运行——数学学习内容明确化逻辑推理和数学运算是数学的力量所在。高中数学教材为了提高学生的逻辑推理能力，编写了“简易逻辑”这一章内容。从实际的教学情况来看，有的学生认为逻辑太抽象了，比其他知识更难学。数学是要讲推理，但更要讲道理。通过“开关接通或断开与灯泡亮或不亮的联系”类比复合命题的真假判断逻辑，“在第一块骨牌倒下的条件下，前一块骨牌倒下与后一块骨牌倒下的联系”类比归纳递推的逻辑，学生能从这些显而易见的事实悟出推理之“理”，接受起来就容易多了。乌申斯基曾说，逻辑不是别的东西，而是现实世界里的事物和现象的联系在我们头脑中的反映。而在数学中，从“事物”到“现象”，即从既定事实到新的结论，要经历逻辑推理的过程。这样的模拟方法有利于数学定理、公式等的学习。数学运算和逻辑推理水乳交融。张景中院士指出逻辑推理是抽象的计算，数学运算是具体的推理。数学中的公式是推理的产物，是逻辑计算化后的产物。三个容器中的细沙体积间的联系，揭示了圆柱、半球和圆锥体积之间的关系；摸球方法与摸球结果之间的关系，揭示了二项式定理的内涵，更蕴涵着母函数的萌芽；对不等臂天平称两次的结果取算术平均或取几何平均的联系，是基本不等式反映的恒不等关系。上述三种模拟的共同点是通过实物、模型的模拟，揭示现实世界里的事物和现象联系中的量化关系，而且这种量化关系竟然是如此的显然，数学公式无非是用符号把这种显然表达出来了。通过推理、计算获得事物之间的数量关系是数学研究的内容，进而可转化为数学教学的内容和任务。（三）沟通确定性数学与随机性数学——数学语言表达多样化建立概率模型，进行随机试验，估计概率模型的参数；构造离散型随机变量，借助实物，再现随机过程，将随机试验结果直观化，模拟随机变量的分布。以上内容的共同点是通过建立适当的数学模型，经历随机过程的模拟，进而帮助学生解决问题或发现规律。这样的模拟方法有利于概率统计相关内容的学习。概率统计的教与学是一大难点，其原因在于随机性数学与确定性数学的特点迥异。教学要想方设法跨越这条鸿沟，沟通两者之间的关联。教师应通过一些具体的模型来模拟随机现象，使学生经历随机过程，感受数据变化的随机性，有利于提高学生对数学建模、统计建模及数据处理的认识和理解。数学通过数学建模、统计建模来表达对现实世界的诉求，体现了随机性数学与确定性数学的关联。在教学中，教师通过数学建模、统计建模活动，使学生感受到用数学语言表达现实世界的有效性和多样性。四、数学核心素养模拟方法的教育价值（一）模拟方法发展学生的数学核心素养数学核心素养是对数学教育所要培养的人的描述，是数学教育目标的具体化。数学教育的目标可以描述为会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。数学的眼光，体现为数学抽象，而直观想象是数学抽象的基础或进阶。数学的思维，体现为逻辑推理，数学运算也属于逻辑推理。数学的语言，主要是指数学模型，此外，数据分析在大数据时代也逐渐成为一种新的数学语言［4］。用数学“观察、思考、表达”世界反映的是数学源于现实世界，并指向实际应用的观点。从现实世界抽象而来的数学对象，最终又可用来解释现象、表达世界。对现实世界的数学抽象使得研究对象更具一般性，而一般性又使得数学的应用更具有广泛性。这说明数学核心素养的形成与发展离不开现实世界与数学学习的双向联系。孙晓天［5］认为，数学核心素养中“联系”是关键，“联系”的两头，一头是数学，另一头是真实的世界和现实生活。没有了“联系”，从哪里抽象，拿什么建模，凭什么推理，换言之，人们津津乐道的那些数学素养几乎全都断了由头，差不多可以免谈。模拟方法能化抽象为具象，也能帮助学生借助具象上升到抽象，发展学生的数学眼光；模拟方法把实物、模型中的数量关系具体地呈现出来，发展学生的数学思维；模拟方法本身就是一种建模方法，提供了联系现实世界与数学学习的一种途径，发展学生的数学语言。总而言之，模拟方法有助于发展学生的核心素养。（二）模拟方法丰富学生的认知结构数学多元表征理论提出可以用言语表征或视觉表征的多种表征形式表征同一个数学对象，言语表征包括文字、符号等，视觉表征包括实物、模型等。多元表征理论的实质就是对信息进行多角度、多视角的解释，使学生建立新旧知识固着点的同时，便于调用原有认知结构中的信息使其对新信息进行加工从而建构知识。从表征的视角看，数学概念、定理、公式、思想方法的表述是以言语表征的形式，实物、模型等的呈现则是以视觉表征的形式。模拟方法即是从言语表征和视觉表征的不同表征形式来认识数学对象，模拟的过程更是建立起数学对象的言语表征和视觉表征的各种不同表征形式之间联系的过程。如用单摆简谐振动模拟正余弦曲线，单摆简谐振动这一物理情境赋予正余弦曲线更丰富的内涵，使得对它的解读可以基于物理视角。单摆简谐振动是一种内涵丰富的视觉表征，它与另一种视觉表征——不加说明的正余弦曲线及言语表征“y=sinx/y=cosx”相互参照、联系，同时原有认知结构中的生活常识、物理知识、数学知识等与它们发生作用，形成丰富的认知结构，进而理解抽象对象。模拟方法具有跨学科的性质，调动了学生认知结构中的多种知识储备，横向沟通知识间的联系，丰富了学生的认知结构。认知结构的稳定性、可利用性及有意义性是学生进一步学习的基础