2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学一模试卷

2024年浙江省杭州市拱墅区文澜中学中考数学一模试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）实数如，0,-1,1.5中无理数是（）

3

A.V3B.0C.-AD.1.5

3

2.（3分）若m>n,则下列不等式中正确的是（）

A.m-2<n-2B.1-2m<l-2nC.-^-nD,“-m>0

k

3.(3分)点A(2,在反比例函数yq的图象上，y的取值范围是（)

B

A-y<y<2-£<y<4C.l<y<4D.l<y<2

4.（3分）一个多边形的内角和是540°,这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

5.（3分）如图，在菱形ABCD中，NC=80°

C.60°D.50°

6.（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其

中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，盈三；人出七，每人出8钱,

会多出3钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为无人，物价为y钱，下面所

列方程组正确的是（）

A.（8x-3=yB俨+3=y

\7x-4=y\7x+4=y

/8x-3=yD」8x+3=y

'\7x+4=yI7x-4=y

7.（3分）如图，直角三角形ABC中,ZACB=90°,且相交于R已知AC=4(

F

AEB

A.2A/3B.473C.1-5/3D.

8.(3分)若m<n<0,且关于x的方程cu?-2ox+3-m=0(«<0)的解为x\,X2(xi<x2),

关于％的方程--2办+3-九=0(〃(0)的解为X3,X4(X3<X4).则下列结论正确的是

()

A.X3<X1<X2<X4B.X1<X3<X4<X2

C.X1<X2<X3<X4D.X3<X4<X1<X2

9.（3分）如图，点E是正方形ABC。对角线BD上一点，点尸在3C上且样=EC,AF,

若NEC尸=a,则（）

A.p-a=15°B.a+p=135°C.2p-a=90°D.2a+B=180°

10.（3分）关于二次函数-4“x-5（〃>0）的三个结论：

①对任意实数m,都有xi=2+m与X2=2-m对应的函数值相等；

②若3WxW4,对应的y的整数值有4个，则

3

③若抛物线与无轴交于不同两点A,B,且ABW6,则a》2.

其中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（本题有6小题。每小题4分，共24分）

11.（4分）因式分解：4/-/=.

12.（4分）从数-2,-1,3中任取两个.

13.（4分）已知xi、X2是方程尤?-2%-1=0的两根，则/+/=.

X1x2

14.（4分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点,

已知菱形的一个角（N。），点A,B,C都在格点上___________________.

15.(4分)如图，一次函数y=x+2的图象与双曲线y』在第一象限交于点A(2,a),连

x

16.(4分)如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，AB=AD,G”是直径，GH_LAC于

三、解答题(本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2x-l<x+l①

17.(1)解不等式组:

l-2x<3②’

(2)解方程：+1-

x-l2x~2

18.为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生

在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，绘制了

两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：

(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图.

(2)本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课

程的教室至少需要几间.

某校学生活动课程选课情况条形统计图某校学生活动课程选课情况扇形统计图

19.设一次函数y=at+3a+l（a是常数，aWO）.

（1）无论。取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标:

（2）若2/尤W4时，该一次函数的最大值是6,求a的值；

20.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,1）,B（-

3,1）,C（-1,4）.

（1）△ABC的外接圆的半径为.

（2）将△ABC绕点8顺时针旋转90°后得到△A18Q,请在图中画出△4BC1；

（3）在（2）的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长.

21.四边形ABCZ）中，点E在边AB上，连接。E

（1）如图1,若/A=/8=/DEC=50°,证明：△ADEs^BEC.

（2）如图2,若四边形4BCD为矩形，46=5,且AADE与E、B、C为顶点的三角形相

似，求AE的长.

22.某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°〜24。的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根

据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1,在点

C处安装一根可旋转的支撑臂CDAC=30cm.

（1）如图2,当NBAC=24°时，CD1AB-,

（2）如图3,当NBAC=12°时，求的长.（结果保留根号）

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=Am（如图①，改造

后的水池仍为长方形，以下简称水池1）.同时，再建造一个周长为12机的矩形水

池£以汨（如图②，以下简称水池2）.

A,------------------------------?--------M---水池2

水池1

图①图②

【建立模型】

如果设水池ABC。的边加长长度。M为尤（m）（尤>0）,加长后水池1的总面积为yi

（渥），则yi关于x的函数解析式为：yi—x+4（x>0）；设水池2的边所的长为x（加

（0<x<6）,面积为*（机2）,则y2关于x的函数解析式为：y2=-x2+6xC0<x<6）,

上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③.

图③

【问题解决】

(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EP长度的取值范围是(可

省略单位)，水池2面积的最大值是nr；

(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是,此时的x(加)

值是;

(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，尤(m)的取值范围是;

(4)在l<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；

(5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水

池简称水池3),则水池3的总面积”(“P)关于x(m)(x>0)的函数解析式为：*=

x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值

24.如图，己知CE是圆。的直径，点8在圆。上，过点2作弦的平行线与CE的延

长线交于点4

(1)若圆。的半径为2,且点。为弧EC的中点时，求线段CD的长度;

(2)在(1)的条件下，当。P=a时；(答案用含。的代数式表示)

(3)若且CD=12,求△BCD的面积.

D

2024年浙江省杭州市拱墅区文澜中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）实数0,-上，1.5中无理数是（）

3

A.V3B.0C.-AD.1.5

3

【解答】解：近是无限不循环小数，

故选：A.

2.（3分）若m>n,则下列不等式中正确的是（）

A.m-2<n-2B.1-2m<\-InC.———r>D.n-m>0

22

【解答】解：A.由机>小那么A错误.

B.由小>〃，推断出1-2m<7-2〃，故5符合题意.

C.由根>九，得故。不符合题意.

72

D.由根〉小那么。错误.

故选：B.

3.（3分）点A（2,1）在反比例函数的图象上，y的取值范围是（

A.y<y<2B.y<y<4C.l<y<4D.l<y<2

【解答】解：（Q0）,

X

:•当％>0时，y随X增大而减小,

(4,1)代入y=区，

X

・4=2，

X

将冗=3代入y=2得y=工,

x3

将冗=1代入y=2得y=7,

X

・・・1<%V4时，

A<y<2,

2

故选：A.

4.（3分）一个多边形的内角和是540°,这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【解答】解：设多边形的边数是％则

（a-2）780°=540°,

解得”=5,

.•.这个多边形是五边形，

故选：A.

5.（3分）如图，在菱形ABC。中，NC=80°

A.80°B.70°C.60°D.50°

【解答】解：.••菱形ABC。，

：.AB//CD,ZABD=ZCBD,

ZC+ZABD+ZCBD=180°,

VZC=80°,

•八“180°-80°…

•,ZABD=----------50，

故选：D.

6.（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其

中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，盈三；人出七，每人出8钱,

会多出3钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，下面所

列方程组正确的是（）

/8x-3=y/8x+3=y

I7x-4=y\7x+4=y

「（8x-3=y/8x+3=y

-17x+4=y'l7x-4=y

【解答】解：依题意得：（8x~3=y.

8x+4=y

故选：C.

7.(3分)如图，直角三角形ABC中，ZACB=9Q°,且相交于R已知AC=4()

【解答】解：・.・A。、CE是△A3C的中线，

Jb是△ABC的重心，

：.EF：CF=1：2,

令EF=x,则CF=3x,

；・CE=EF+CF=3x,

VZACB=90°,

：.CE=1.AB,

3

是AB的中点，

.\AE=CE=3x,

：.AF2=AE^-E产=8x3,

VAC2=CF2+A/^,

:.(2x)2+2X2=43,

，x=2^

.•人-----,

3

：.AB=2CE=6X=1M.

故选：B.

2

8.(3分)若m<n<0f且关于x的方程ax-2办+3-m=0(a<0)的解为xi,xi(xiVx2),

关于元的方程-2办+3=0(〃V0)的解为X3,X4(X3<X4).则下列结论正确的是

()

A.X3<X1<X2<X4B.X1<X3<X4<X2

C.X1<X2<X3<X4D.X3<X4<X1<X2

【解答】解：二•关于x的方程ax2-2〃x+4-加=0(a<0)的解为X7,xi(xi<%7),

「・抛物线》=〃冗2-2办+8与直线y=m的两交点的横坐标分别为X2(X2〈X2),如图，

•关于X的方程ax2-5〃X+3-〃=0(。<8)的解为X3,X4(X7〈X4),

二・抛物线尸依2-4办+3与直线y=〃的两交点的横坐标分别为X3,X4(%3<%4),如图,

.'•X2<X3<X4<X5.

故选：B.

9.(3分)如图，点石是正方形A8CD对角线3。上一点，点/在3C上且Eb=£C,AF,

若/ECF=CL,贝!J()

C.2P-a=90°D.2a+p=180°

【解答】解：・・•四边形ABC。是正方形,

：.AB=BC,NABE=NCBE=45°,

•：BE=BE,

：.AABE^ACBE(SAS),

：.AE=CEfNBCE=/BAE=a,

9：EF=CE,

：.ZEFC=ZECF=a,

,：NA尸5=0,

AZAFE=180°-a-p,

VZABF=90°,

：.ZBAF=90°-P，

'：AE=CE,EF=CE,

：.AE=EF,

AZEAF=/AFE,

：.a-(90°-P)=180°-a-p,

a+p=135°,

故选：B.

10.(3分)关于二次函数-4ax-5(a>0)的三个结论：

①对任意实数m,都有x\—1+m与X2—2-m对应的函数值相等；

②若3WxW4,对应的y的整数值有4个，则

3

③若抛物线与无轴交于不同两点A,B,且A8W6,则a》2.

其中正确的结论是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：抛物线的对称轴为：x=』"=6，

2a

・・xi+x22+m+2-m

•----------------二--------------------=y•

28

/.2+m与7-相关于对称轴对称.

，对任意实数m,都有xi=2+m与X8=2-m对应的函数值相等.

・••①正确.

当a>0时,若2cx44,

当％=3时，y=2a-12a-5=-3tz-8,

当％=4时,y=16a-16a-5=-2.

-3a-54y<-3.

・・・y的整数值有4个，

-9V-3〃-5《_8.

・••②正确.

设A（X8,0）,B（X2,2）,且X1〈X2.

X4,I2是方程数-7。1-5=0的根.

•••16aW36・

a

；.a>3或a<0（舍去）.

又••.抛物线与无轴有两个不同的交点，

A=16fl2+20a>2.

...°>0或；5<上（舍去）.

3

综上：1,

③不正确.

故答案为：A.

二、填空题（本题有6小题。每小题4分，共24分）

11.（4分）因式分解：4.V2-丫2=（2x+y）（2x-y）.

【解答】解：原式=（2x+y）（2尤-y）,

故答案为：（5x+y）（2x-y）

12.（4分）从数-2,-1,3中任取两个A.

一3一

【解答】解：画树状图如下：

开始

-2-13

/\AA

-13-23-2-1

和-31-3212

共有6种等可能的结果，其中其和为2的结果有7种，

其和为2的概率是2=』，

83

故答案为：旦.

3

13.（4分）已知尤1、X2是方程/-2x-1=0的两根，则/+/=6

X1x2

【解答】解：,；尤1、X2是方程x2-2xT=5的两根，

.".Xl+X2=3,X1*X2=-6,

；•/+/=（X1+X2）2-2x5X2=4+2=6。

xl+x6

故答案为：6.

14.（4分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点,

已知菱形的一个角（/0）,点A,B,C都在格点上返］.

~7~

【解答】解：如图，连接班，

设菱形的边长为“，由题意得/AE尸=30°,

.*.AE=2cos30°EC=a,

贝！JAC=8a,

AAE2+CE2=AC8,

AZAEC=90°,

AZACE=60°,

ZACE=ZACG=ZBCG=60°,

：.ZECB=1SO°,

；・E、C、3共线，

在RtAAEB中，sinZABC=-^=2^A=y^L.

ABV7a8

故答案为：迄

7

15.（4分）如图，一次函数y=x+2的图象与双曲线y工在第一象限交于点A（2,a）,连

X

接B4、PB,若5△期=9,则点尸的坐标为（0,-1）或（0,5）.

【解答】解：（1）一次函数y=x+2的图象与双曲线在第一象限交于点A（2,

，〃=3+2=4,

.•・%=8〃=8,

反比例函数的解析式为y兽；

X

y=x+3z_z

由|8，解得I"'或("I

y=yly=7ly=-2

：.B(-5,-2),

令x=0,则y=5,

：.C(0,2),

•5AMB=6,

"SAPAC+SAPBC,-(3+2)=9,

；.PC=4,

点尸的坐标是（0,-1）或（2.

故答案为：（0,-1）或（8.

16.（4分）如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，AB=AD,GH是直径，GH_LAC于

【解答】解：

AB=AD>

\NADB=/ACD,

：ZDAE=ZCAD,

AAED^AADC,

••-A-E二--A-D,

ADAC

；GH为。。的直径，GHLAC,

\AF=FC=^AC,

2

：AB=AD,AF^AB,

\AB=AD=AF,

\AC^4AD,

.AE_AD=1,

"AD'AC~2

VAE=5,

：.AD=6,

：.AB=6,AC=12,

：.EC=AC-AE=1,

9：AB=AD,

AB=AD，

ZACB=ZACD,

♦：/BDC=/BAC,

：.△OECs△ABC,

・

••—CD=—EC,

ACBC

BC'CD=AC'EC=12X9=108.

故答案为：108.

三、解答题(本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(1)解不等式组：［2X-1<X4^Q；

ll-2x<3②

【解答】解：(1)解不等式①得：x<2,

解不等式②得：x>-1,

原不等式组的解集为-6<x42；

(2)-+i，

x-62x-4

去分母得：2=2+2(x-1),

解得：乂工

X2

当TU■时，2(X-1)/8,

x2

原分式方程的解为X」.

x2

18.为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生

在“折纸龙"''采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，绘制了

两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：

（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图.

（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课

程的教室至少需要几间.

某校学生活动课程选课情况条形统计图某校学生活动课程选课情况扇形统计图

【解答】解：（1）18・36%=50（人），

选择“采艾叶”的学生人数为：50-8-18-10=14（人）,

补全条形统计图如图所示：

某校学生活动课程选课情况条形统计图

图1

（2）1000X_L=160（人），

50

答：开设“折纸龙”课程的教室至少需要2间.

19.设一次函数y=Q%+3〃+l（。是常数，〃W0）.

（1）无论〃取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标:

⑵若24W4时，该一次函数的最大值是6,求。的值；

【解答】解：（1）次函数y=ox+3〃+l=（x+7）〃+1,

当％=-3时，y=2,

・・.无论〃取何值，该一次函数图象始终过定点（-3；

（2）当时，此函数是增函数，最大值为7,

当％=4时，一次函数yi=4〃+3〃+l=8,

解得2壬，

a7

当。＜7时，此函数是，当尤=2时

当尤=2时，一次函数y7=2a+3a+7=6,

解得。=1（不合题意，舍去）,

综上所述，a萼

7

20.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,1）,B

3,1),C(-1,4).

△ABC的外接圆的半径为Y亘.

(1)

—2—

(2)将△ABC绕点2顺时针旋转90°后得到△4BC1,请在图中画出△ALBCI；

(3)在（2）的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长.

：.AB=2,AC=8,

在RtABAC中，BC=7AB2+AC2=782+38=V13，

/.△ABC的外接圆半径为Y亘，

2

故答案为：运；

2

（2）如图，68cl为所作图形；

42=

⑶vJBC=^2+3^i3-

•••"4弧长L=9°7rxy兀.A4］弧长L=9°兀X4=n.

1802180

，线段AC扫过的区域图形的周长=Y亘兀+兀+6.

2

21.四边形ABCD中，点E在边AB上，连接。E

(1)如图1,若NA=N2=NOEC=50°,证明：AADE^ABEC.

(2)如图2,若四边形A8CD为矩形，AB=5,且△AQE与£、B、C为顶点的三角形相

似，求AE的长.

【解答】(1)证明：：点E在边上，且NA=NDEC=5O°,

ZAZ)E=18O°-50°-ZA££>=130°-ZAED,ZB£C=180°-50°-NAED=

130°-ZAED,

：.ZADE=/BEC,

ZA=ZB,

・•・AADE^ABEC；

(2)如图2、如图3,

分两种情况：

设AE=x,

：AB=8,AD=BC=2,

当时，

•AD=AE

"BEBC，

•-•---2---_x—,

6-x2

解得尤1=7,无2=4；

△AQEs/XBCE时，

•AD=AE

"BCBE'

•----4-_---x---,

25~x

解得：x=6.5,

综上，AE的长为1或4或2.5.

22.某课桌生产厂家研究发现，倾斜12。〜24。的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根

据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1,在点

C处安装一根可旋转的支撑臂CO,AC=30cm.

(1)如图2,当NA4c=24°时，C£»_LAB；

(2)如图3,当NA4C=12°时，求A。的长.(结果保留根号)

(参考数据:sin24°-0.40,cos24°—0.91,tan24°-0.46,sinl2°兔0.20)

B,_________,

图1图2图3

【解答】解：（1）VZBAC=24°,CD±AB,

：.CD=ACsin24°=30X0.40=12CTM；

支撑臂CD的长为12cm；

（2）过点C作CELAB,于点E,

当/BAC=12°时，

AC30

.•.CE=30X0.20=6CMJ,

"：CD=12,

：.DE=6A/3-

AE=yj3Q4-Q2=12-76，

：.AD的长为（12&+6y粕-673.

5

23.【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m（如图①，改造

后的水池仍为长方形，以下简称水池1）.同时，再建造一个周长为12机的矩形水

池EFG7/（如图②，以下简称水池2）.

水池2

水池I

图①图②

【建立模型】

如果设水池ABCD的边加长长度。M为x（切）（x>0）,加长后水池1的总面积为yi

（m2）,则yi关于x的函数解析式为：yi=x+4（x>0）；设水池2的边£尸的长为x（加）

（0<尤<6）,面积为"（《?）,则>2关于x的函数解析式为：>2=-/+6工（0<x<6）,

上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③.

图③

【问题解决】

（1）若水池2的面积随所长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是3W尤<6（可

省略单位），水池2面积的最大值是9»?；

（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是C,E,此时的xGn）

值是1或4；

（3）当水池1的面积大于水池2的面积时,x（%）的取值范围是0cx<1或4cx<6；

（4）在l<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时尤的值；

（5）假设水池的边的长度为b（m）,其他条件不变（这个加长改造后的新水

池简称水池3）,则水池3的总面积”（加2）关于x（机）（x>0）的函数解析式为：*=

x+b（x>0）.若水池3与水池2的面积相等时，x（机）有唯一值

【解答】解：（1）,.>2=-X2+5X=-（尤-3）2+3,

又：-1<0,

抛物线的开口方向向下，当x》3时，

V0<x<6,

.•.当8Wx<6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小7.

故答案为：3W尤<6；5；

（2）由图象可知：两函数图象相交于点C,