椭圆-2021年高考数学一轮复习测评卷（新高考专用）（解析版）

一、单选题（共60分，每题5分）

丫2

1.命题“三加£77\曲线--FJ/?=1是椭圆”的否定是（）

m

22

A.\/meN,曲线二+9=1是椭圆B.\/m^N,曲线二+;/=1不是椭圆

mm

22

C.0meN*，曲线工+y2=l是椭圆D.m/neN*，曲线土+丁=1不是椭圆

mm

【答案】B

【解析】因为特称命题的否定是全称命题，

22

所以命题FmeN,曲线上+y2=1是椭圆”的否定是VmeN,曲线上+y?=1不是椭圆,

mm

故选:B.

22

2.已知椭圆C:土+乙=1,点则点A与椭圆C的位置关系是（）.

95

A.点A在椭圆C上B.点A在椭圆C内C.点A在椭圆C外D.无法判断

【答案】B

代入椭圆得到—半，平t

【解析】当X=1时,

故点A（l,l）在椭圆内

故选：B

X2

3.己知椭圆一+22=l（a〉6〉0）,K，B分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AK交

a~b2

椭圆于另一点尸,若I尸耳|=|则，则椭圆的离心率为（）

71A1

B.-R/2D.-

322

【答案】A

【解析】解：如图,

点尸在椭圆上,所以|「耳|+|尸闾=2a,

由|P凰=|上4|=|「6|+|然隹|=a,代入上式得,附卜$,|P周三

防「+用「-附「

在△APK，cos/PAF]=

21gliM

又cosNPAE=1—2sin2/OA4=-,所以sin/OAf；=—

313

即sinZOAF,=—=e=，

1a3

4.黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起

2

人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率6=避二1•的椭圆称为“黄金椭圆”，则

2

以下四种说法中正确的个数为（）

22

①椭圆j+—4=1是“黄金椭圆；

2V5+1

22

y

②若椭圆二+—1，（^^/^（^的右焦点/伍⑼且满足步二公，则该椭圆为“黄金椭圆

ab2

V2y1

③设椭圆—1,（。>/?>0）的左焦点为足上顶点为8,右顶点为A,若NABP=90。，则该椭圆

ab2

为“黄金椭圆”；

④设椭圆，工+4=1,（。＞占＞0）的左右顶点分别A,B,左右焦点分别是耳，工，若|至山闾，

ab

阳可成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”；

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①/=6+1，b-=2,故6=、1—4=叵口■是“黄金椭圆”；

Va22

②/=ac即4―故e?+e—1=0,则e=避二1或《=也二1（舍），是“黄金椭圆”；

22

③由NABE=90°可知(a+c)2=4+方2+b2+。2,化简可知e2+e_]=o,贝麋=咛4或e=^二1

（舍），是“黄金椭圆

④若|前|,闺闾，闺可成等比数列，则（2c）2=（a—c）（a+c）,则6=半，不是“黄金椭圆.

故选：C

5.椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，出；硬修？=&『'，则该椭圆的离心率e的范围

是（）

A.T1,1）B.匡]c.D.今

【答案】B

【解析】设P（羽y）则OP=（无,y）,AP=（x—a,y）.又由于NOPA=90°,所以。PAP=0即可得

a

（x—+y2=[j],所以点P在以OA为直径的圆上.及椭圆与该圆有公共点.C+r=C

22消去y

%+厂-1

L3一i

得f仅2一4）+/工—=o.由于过点A所以有一个根为a,另一个根设为x,则由韦达定理可得

/«3后

%+〃=—z5~T,又因为0<x〈a.所以解得e〉.故选B.

b2-a2c22

22

6.已知《、B为椭圆=+当=1（。〉6〉0）的两个焦点，过工作椭圆的弦A3,若的周长为16,

ab

椭圆离心率6=且，则椭圆的方程为()

2

22227222

A,土+JB.二+匕=1C.三+匕=1D.。匕=1

43164162163

【答案】C

【解析】根据椭圆的几何性质有以=|明|+忸闾=2a.因为AA43的周长为16,所以

|阴+仙用+|%|=16.而|叫=,可+|3闾，所以|4用+|4引+|3用+|和|=4"=16,解得。=4.因

为椭圆的离心率6=£=且，所以c=2g，从而02=4,所以椭圆方程为三+2二=1，故

a2164

选D

7.如图，在边长为10的正方形内有一个椭圆，某同学用随机模拟的方法求椭圆的面积.若在正方形内随

机产生2000个点，并记录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则椭圆区域的面积约为()

A.34B.66C.68D.132

【答案】A

【解析】设椭圆区域的面积为S.

由题知，正方形的面积5正=10x10=100,

若在正方形内随机产生2000个点，并已录落在椭圆区域内的点的个数有680个，则满足」"=幽",

1002000

解得5=0.34x100=34.

故选：A.

8.能够把椭圆C：三+匚=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f(x)称为椭圆。的“亲和函数”,

48

下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是()

A./(x)=x'+x:

B./(x)=ln|—

D十JC

C./（x）=sinx+cosx

D.f（x）=ex+e-z

【答案】B

【解析】椭圆的中心为原点，选项B中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数。

9.已知点A（—2,。），5（2,0）,2（%,%）是直线丁=1+4上任意一点，以A5为焦点的椭圆过点P,记

椭圆离心率e关于M的函数为e（x°）,那么下列结论正确的是

A.e与％---对应B.函数e（x（））是增函数

C.函数6（/）无最小值，有最大值D.函数e（x（））有最小值，无最大值

【答案】C

【解析】由题意可得c=2,椭圆离心率e=2.

a

故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大.

PAPg

由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a,Q=ll+ll

由于|PA|+|PB|有最小值而没有最大值，

即a有最小值而没有最大值,故椭圆离心率e有最大值而没有最小值,故C正确，且D不正确.当直线y=x+4

和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a,

故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确.

由于当xo的取值趋于负无穷大时，|PA|+|PB|=2a趋于正无穷大；

而当xo的取值趋于正无穷大时，|PA|+|PB|=2a也趋于正无穷大，

故函数e（xo）不是增函数，故B不正确.

故选C.

10.给出下列两个命题：命题?：空间任意三个向量都是共面向量；命题，若a〉0,b>0,则方程

ax2+乃2=1表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（）

A.pzqB.pyqc.（可）八<7D.（^/?）vq

【答案】D

【解析】命题p:空间任意三个向量都是共面向量，为假命题;

当。=/?>0时，方程勿2=1表示圆，故q为假命题;

故0A4,pvq,（可）Aq为假命题，（rp）\/q为真命题.

故选：D.

尤2

11.已知椭圆C：a+V=l，A（2,0），点P在椭圆。上，且。尸，B4,其中。为坐标原点，则点P的

坐标为（）

（22⑥（262）（22向（2752）

A.-,±-^B.+-C.——，士D.一一—,±-

33333333

【答案】A

【解析】由题意得，设P（x,y）,由。尸，B4,则。PLPA,所以

OP=（X,y）•（2—%,—y）=%（2—x）—丁=0,与椭圆方程J+丁2=j联立，解得％=|,y=±当,

即点尸的坐标为士,土壬,故选A.

33

\7

12.已知椭圆1_+?=1的焦点为耳，工，椭圆上的动点尸的坐标为（4,4）,且/耳P耳为锐角，则力的

取值范围是（）.

【答案】A

22

【解析】由椭圆三+、=1的两个焦点分别为耳（—6,。）,耳（6,0）,

设尸（%,为）,由/耳「鸟为锐角时，则尸E•朋=片一5+常>0，

22222

又由点尸在椭圆、■+（=：!上，可得£+号=1,即其=9（1-?

代入可得9(1—皆)一5+y〉0,整理得此＜不，即―4小

又由当先=0时，此时/耳「耳=。(不符合题意，舍去)，

所以”的取值范围是

故选：A.

二、填空题(共20分，每题5分)

22

13.已知椭圆c：L+2L=i,片,F2分别为椭圆的两焦点，点p椭圆在椭圆上，且|%|=3,则AP片工

1612

的面积为.

【答案】6

【解析】

怛月|+|?笈|=2。=8.」尸耳|=8_3=5；|片玛|=2o=4

•••PF21FXF2.■,S=-\PF2\\PFi\=-x3x4=6

14.已知椭圆土+匕=1及以下3个函数：①/(x)=x；②〃x)=sin无；③/(x)=xsinx,其中函数图

169

象能等分该椭圆面积的函数个数有个.

【答案】2

【解析】•••①/(x)=x为奇函数，作出其图象,

由图可知“X)=》能等分该椭圆面积；

同理，②/(x)=sinx为奇函数，能等分该椭圆面积;

③〃x）=xsinx为偶函数，其图象关于》轴对称,

在y轴右侧为«0,%）时,f（x）＞o,

只有xe（匹4）时/（力＜0,故不能等分该椭圆面积.

故答案为：2.

22

15.己知椭圆=耳、B分别为椭圆的左、右焦点，点P。,—I）为椭圆内一点，点。在椭圆上,

则|PQ|+1。制的最大值为.

【答案】5

【解析】|P@+|Q周=|尸@+（4—|。即）=4+（|尸0]—坦闻）44+|尸同=4+1=5,

故答案为：5.

16.一般地，我们把离心率为避二1的椭圆称为“黄金椭圆”.对于下列命题：

2

22

①椭圆土+＜=1是黄金椭圆;

1612

②若椭圆二+上=1是黄金椭圆，贝b九=66—6；

12m

③在AA3C中，B（-2,0）,C（2,0）,且点A在以5c为焦点的黄金椭圆上，则AABC的周长为6+2百；

r2y2

④过黄金椭圆二+=1（。〉6〉0）的右焦点/（。,0）作垂直于长轴的垂线，交椭圆于A3两点，则

ab2

22

⑤设耳，鸟是黄金椭圆C:工+'=1（。〉6〉0）的两个焦点，则椭圆C上满足NRPFz=90°的点P不存

ab~

在.

其中所有正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）

【答案】③④⑤

1J5-1

【解析】对①，a=4,c=2,e=—,①不正确；对②，若焦点在x轴上，则“二=‘土’，解得

2V122

m=6y/5-6,若焦点在》轴上，则J*2―-,解得根=61^+6，②不正确；对③，c=2,

yjm2

c/5-12a+2c=6+2石，③正确;对④,|阴=里=4a2-c2

=2；=（6-1"④正确；对⑤,

a2aa

,।,।m+n=2a2

设1所卜刈P闾』，则｛而:疗+后,mn=2/-2c之,而I=_£,所以mn=2a-2

2a

=（、/?—1）〃，与m+“二？。联立无实数解.因此椭圆石上满足=90。的点尸不存在，⑤正确，故

答案为③④⑤.

三、解答题

17.（10分）已知椭圆M：二+==1（。〉5〉0）的焦距为2,点。（0,6）在椭圆M上，过原点。作直

a~b’

线交椭圆M于A、3两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作左轴的垂线，垂足为“，点C是线段AH

的中点，直线交椭圆M于点P,连接AP

（1）求椭圆M的方程及离心率；

（2）求证：AB±AP.

Y-C1

【答案】（1）椭圆M的方程为二+乙=1,离心率e=—=—；（2）见解析

43a2

【解析】（1）由题可知：2c=2/=6,又储=^+02

所以c=l,a=2

r2v2C1

故椭圆”的方程为土+匕=1,离心率e=—=—

43a2

（2）设点A（x,%）,3（-%,-乂）,P（x0,yQ）

由点C是线段AH的中点，所以c[x],年）

2222

由工+里=1①，二+二=1②

4343

2_2

则②-①：为2f,3

5f4

由瓦C,P三点共线，所以凝c=«BP

L="=含，%="

2x14x1x0+%]

则普="=入=与7

4x,%玉3（%+xJ

kAB-kAP=^-%—X=4（%+y）.%-X

X]/一玉3（X0+%1）Xo-%1

即八

所以A3LAP

18.（12分）已知中心在原点。，左焦点为4（-1,0）的椭圆C的左顶点为A,上顶点为3,6到直线A5

的距离为立|。5|.

（1）求椭圆C的方程;

2222

（2）若椭圆C]：二+二=1（〃2〉〃〉0）,椭圆G：二方+与=4（2>0,且力wl）,则称椭圆。2是

mn"m"n"

椭圆G的4倍相似椭圆.已知。2是椭圆。的3倍相似椭圆，若直线,=辰+人与两椭圆。2、。交于四点

（依次为P、Q、R、S）,且PS+RS=2QS,试研究动点E（左/）的轨迹方程.

f4/2

【答案】（1）土+工=1；（2）竺竺=1.

4393

22

【解析】（1）设椭圆G方程为：与+工=1（。〉人〉0）n直线A3方程为二+2=ln4（—1,0）到直

ab—ab

线A5距离d=।上”=且十=>。2+方=7（0—1）2,又/=储一in「=2,5=唐=椭圆g的方

J/+/7

2222

程为K=l；（2）椭圆C]的3倍相似椭圆。2的方程为会+亍=1，设Q、H、P、S坐标,将尸奴+6

代入椭圆G方程n（3+4左2）/+8助x+4〃-12=0=>△]=48（4产+3—匕2）〉0,（*）和

8kb4〃—12,,r------—473（4左2+3—表2）日工用一位

XXx）

石+工2=-3+4）F'12=~3+4^r=>I--r21=+2--4^2=3+4A，2-----，同理可得

8kb4^2-36,,4j3（12/+9-/）曰在小读

X.+X,=----------------7,%3%4=--------------r，IM-尤41=----------；------=>X[+々=&+%，可得线段P3、

343+442343+4423413+4/1234

QR中点相同n|PQ|=|RS|nPS+RS=2QSnPQ=QRn|PS|=3|QR|n

|%%|=31X]—々In5/^2/+?―/）=§*4{3（4女2=设左？+9=4步满足（*）式n动

3+4左23+4公

4b24“2

点E（k,b）的轨迹方程为——（=1.

22

试题解析：（1）设椭圆G方程为：左+方=1（。〉6〉0）,

所以直线A5方程为二+2=1.

-ab

...4（—1,0）到直线A3距离d=中一如=电。,整理得/+〃=73—1）2,

y/a2+b27

又82=/—1,解得a=2,b=上,

22

所以椭圆G的方程为:+g=L

⑵椭圆G的3倍相似椭圆c2的方程为^-+^-=1,

设。、R、P、S各点坐标依次为（X1,%）、（了2，y2）、（X3，丁3）、（/，y4），

将y=辰+5代入椭圆G方程，得（3+4k2）x2+8kbx+4/—12=0,

A=（8妨8―4（3+4左2）（4活_12）=48（4左?+3—〃）＞o,（*）

8kb4/—12

此时,Xy+%2=一%1^2二--------------

3+442123+4女2

453(4左2+3—/)

|王一光21=+%2)2—4%无2=

3+4F

将丁=辰+人代入椭圆。2方程，得（3+4左2）Y+8划次+4/—36=0,

8kb4/-36

%/3(12/+9—/)

,,I%3—%41=

3+4产

.•.石+々=%+%4,可得线段PS、QR中点相同，所以|PQ|=|RS|,

由尸S+RS=2QS,可得PQ=QR,所以|PS|=3|QR|,可得|演—/1=3I%—4|,

.4j3(12/+9—/)4,3(44+3—9?)

"3+4——*3+4/即12/+9=4/满足(*)式,

Ah24G2

故动点E（k,b）的轨迹方程为p——；=1.

2222

19.（12分）已知椭圆耳：鼻+七=i（〃〉b〉0）,若椭圆月2：j+-^―=1(^>/?>0,m>1),则

abmamb

称椭圆E2与椭圆片“相似”.

(1)求经过点(、历,1),且与椭圆4：1+产=1“相似”的椭圆外的方程;

(2)若加=4,椭圆月的离心率为巨，尸在椭圆月2上，过尸的直线/交椭圆月于A，8两点，且

2一

AP=AAB-

①若3的坐标为(0,2),且;1=2,求直线/的方程;

②若直线OP,的斜率之积为-4，求实数2的值.

2

22

【答案】(1)—+^=1;(2)①y=±x+2，②2=-.

42-102

2222

【解析】⑴设椭圆石2的方程为工+匕=1，结合椭圆过点(72,1)可得椭圆E］的方程为］+］=1.

2mm

⑵由题意设椭圆耳:x2+2y2=2b2,椭圆纥-X2+2y-=8/,设4%,%),*/，%)，尸(如为)，

①方法一：联立直线方程与椭圆方程可得(1+2K)/+8"=O,则

'—8k2-4左2、(8k2+12左21,代入椭圆后2可得20r+4左2—3=0,解得左=土我,

A,P

J+2k2'l+2k\J+2产’1+2/J10

直线/的方程为＞=土画x+2.

-10

22

方法二：由题意得6=2,则椭圆片：/+2/=8,E2-.X+2y=32,

设A(x,y),5(0,2),则P(—x,4—y),联立椭圆方程可得左=±尊，则直线/的方程为

y=±®+2.

-10

②方法一：由题意得焉+2y；=8/,x；+2y；=2〃,考+2y；=2〃，结合AP=2AB，则

XQ+(X—1)X]'%+(X-1)%)

+2=2",

7

S

整理计算得到关于2的方程：4+（2-1）-9=22,2=-.

2-Jlb

方法二：不妨设点尸在第一象限，直线OP:y=^（左＞0）,与椭圆方程联立可得则

41+25

2也bk12bkb

'则'=而隶’结合

yQ=r-——,直线OP,04的斜率之积为-一，计算可得%=一/——q

71+2^2,1+242

AP=AAB>可得8)2+(4—1)2・2〃=2^2/,即4+(X—=2?,2=|

试题解析:

22

⑴设椭圆的方程为三+上=代入点（点,得

E21,1）m=2,

2mm'7

22

所以椭圆E2的方程为?+、=1.

⑵因为椭圆片的离心率为正，故储=2尸，所以椭圆与：/+2/=2〃,

2

又椭圆E2与椭圆片“相似”，且机=4,所以椭圆心：炉+2/=8/,

设A&，乂），8（孙％），尸（如为），

①方法一：由题意得b=2,所以椭圆g:炉+2/=8,将直线/:y=Ax+2,

代入椭圆耳：—+2/=8得（1+2左2）9+8依=0,

-8左2-4k2

解得X]=]+2左2，々=°,故％=市正办=2,

'—8k2-442、

所以A

J+2/'1+242,

'8k2+1242、

又AP=2A8，即5为4尸中点,所以P

J+242'1+2左2,

2\2

8k(2+1242

代入椭圆反：/+2/=32得I+2=32,

1+24211+242)

即20左4+4左2_3=o,即(10左2—3)(2左2+1)=0,所以左=±噜,

所以直线/的方程为y=±Y3°x+2.

10

22

方法二：由题意得6=2,所以椭圆与：炉+2/=8,E2-.x+2y=32,

设A（x,y）,B（0,2）,则P（-羽4-y）,

x2+2y2=81后

代入椭圆得《f+2(4-»=32'解得尸5’故.丁

所以一嘤，

所以直线/的方程为y=±Y30x+2.

-10

②方法一：由题意得需+2y：=8b2,X12+=2b2,xf+=2b2,

即1%西+2%%=0,

X。X]/

XQ+(4—1)石

2

AP=XAB>则(％—玉,%—%)=九(%2一%，%—X),解得<

%

2

\2\2

XQ+(X—1)玉XTM

所以+2'%+()2b2,

、^工-

则x；+2(2-1)玉玉+。T『%；+2y；+4(2—1)为%+2(彳-if才=2A2b2，

(片+2y；)+2(2—1)(5%+2y°y)+(%—l)2(考+2寸)=2A2b2,

所以8〃+(4—ip.2)2=242/,BP4+(1-1)2=22,所以X=g.

方法二：不妨设点P在第一象限，设直线OP:y=Ax（左＞0）,代入椭圆七2：/+2/=8/,

141b2立bk

解得/=则y=

J1+2左20g2k2

直线OP,QA的斜率之积为―L，则直线。l:y=—工工，代入椭圆耳：必+2/=2/,

22左

2bkb

=—^==T，则%=/——十

41+2/,1+242，

XQ+(2—1)再

2

AP=AAB,贝U(Xo—%，yo—X)=X(X2—X，y2—X)，解得,

%+(%-1)%

%

2

所以]\+(XT)x[+2f%+("1)叶=2bL

则片+2(2_1)/玉+(x_]『X；+2y；+4(2_1)为M+2(2T)2寸=2彳2",

(龙：+2y：)+2(2—1)(尤0石+2%%)+(/1—1)(xf+2y1)=2A2b~,

2bk2222

所以8/+2(2—1)[2®.L}+2乎bk.b[+^-l)-2b=2Ab,

(Jl+2左2(y/l+2k2)g2k2Vl+2^2J

UP8Z?2+(2-l)2-2Z72=22V,即4+(2—=%，所以x=g.

20.(12分)如图，正方形ABCD内接于椭圆，正方形EFGH和正方形UHK中的顶点E、H、I在椭圆上，顶

点K、H、G在边AB上，顶点J在边HE上，已知正方形ABCD与正方形EFGH的面积比为4：1求正方形UHK

与正方形EFGH的面积比（精确到0.001）.

【答案】0.144:1

22「一

【解析】设椭圆的方程为二+2=1正方形ABCD的边长为2m.则2m,2

a2b2L2j

下十万

2

①x4-q消去。得〃=”5m.

4

0x4-力消去。得“2=5m2•

24V2

于是，椭圆的方程可以写为x二+土二=1,③

5m25m2

[HZ、

设正方形UHK的边长为t.则/[根+/,万+%I.

将点/的坐标代入式©得（加+/）2+4（5+4

5m25m2

即5t2+6初—3加=0.解得I=3*2限m（负值舍去）.

5

2

于是，正方形UHK的面积为d=[-3+2==0』442加

I5J

故正方形IJHK与正方形EFGH的面积比为0.144:1.

22

21.（12分）设椭圆C：3+与=1（。＞匕＞0）,左、右焦点分别是可、工且闺周=2石似可为圆

ab

心,3为半径的圆与以F2为圆心,1为半径的圆相交于椭圆C上的点K

（1）求椭圆C的方程；

22

（2）设椭圆E：二+'—=1,「为椭圆。上任意一点,过点「的直线》=履+机交椭圆后于4,8两点,射

4a之4b②

线尸0交椭圆E于点。

lod

①求画的值；

②令/记=''求△AB。的面积/（'）的最大值.

尤20Q广

【答案】（1）—+v2=l（2）①工=2②6