上海市奉贤区2023-2024学年高考压轴卷数学试卷含解析

上海市奉贤区2023-2024学年高考压轴卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/'(x)=F—"AW"(。〉0),若函数g(x)=/(x)—4国有三个零点，则。的取值范围是()

5-x.x>a

A.(0,1)..[5,+oo)B.(0,g)」5,+oo)

C.(1,5]D.(1,5]

，、，1

2.已知数列｛%｝中，q=2,an=1(n>2),则，4018等于()

an-\

11

A.-B.---C.—1D.2

22

“\九+4,x<7八，

3.已知函数，(x)=l厂6,是R上的减函数，当4最小时，若函数y=/(x)-左—4恰有两个零点，则

实数上的取值范围是()

A.(一;，0)B.(—2，g)

C.(-1,1)D.(1,1)

4.已知|:|=6，|勿=2,若。，(。―司，则向量o+b在向量b方向的投影为()

1717

A.-B.-C.——D.--

2222

5.已知正方体ABC。-AgGR的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CQ,的中点，给出下列四个命题:

②直线尸G与直线4。所成角为60°;

③过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；

④三棱锥3-跳’G的体积为g.

其中，正确命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处

开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便

领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米….所以,

阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）

7.函数y=2Nsin2x的图象可能是

8.某程序框图如图所示，若输出的S=120,则判断框内为（）

A.k>7?B.左>6?C.k>5?D.k>4?

9.已知条件p：a=—l,条件4：直线x—分+1=。与直线x+—1=0平行，则夕是^的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

2彳_2一彳

10.函数>=£----的图像大致为（）.

|x-cosx

A.B.

11.已知。+初/是上匚■的共朝复数，则。+匕=()

1-z

11

A.—1B.-----C.-D.1

22

12.如图，四边形A5CO为正方形，延长CD至石，使得DE=CD,点尸在线段上运动•设=+

则1+丁的取值范围是()

A.[1,2]B.[1,3]C.[2,3]D.[2,4]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知x为实数，向量a=(2,—1),b=(l,x),且;,[，贝!][2。+勿=.

14.已知集合4={1,4},6={a—5,7}.若AcB={4},则实数a的值是,

15.函数/(x)=电3的极大值为.

X

16.如图，两个同心圆。的半径分别为2和夜，为大圆。的一条直径，过点3作小圆。的切线交大圆于另一

点C,切点为点P为劣弧6c上的任一点(不包括用。两点)，则AM《BP+CP)的最大值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=x+aA/7+lnx（"为常数）

（I）当a=—5时，求/（尤）的单调区间；

（II）若/（%）为增函数，求实数”的取值范围.

x=l+cosa

18.（12分）已知在平面直角坐标系犬0y中，曲线。的参数方程为《（。为参数.0<。〈2万）.以坐标原点

y=sma

7T

。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=§（夕eR）,曲线C与直线/其中的一个交点

为A,且点A极径R/0•极角

（1）求曲线C的极坐标方程与点4的极坐标；

（2）已知直线旭的直角坐标方程为x-百>=0,直线机与曲线C相交于点3（异于原点。），求AAO3的面积.

19.（12分）已知4>0,。>0,函数/（x）=|x+a|+|2x-4的最小值为L

（1）证明：2a+b=2.

（2）若。+262以6恒成立，求实数f的最大值.

20.（12分）如图，在四棱锥尸—A5CD中，平面ABC。，AD1AB,AB//CD,AB=AD=AP=-CD=2,

2

E为PC的中点.

（1）求证：班1平面PC。；

（2）求二面角A—PB—C的余弦值.

21.（12分）已知函数/（x）=比X一:④？+x（aeR）,函数g（x）=-2x+3.

（I）判断函数尸（%）=/（乃+。华（为的单调性；

（II）若—2<a<—1时，对任意西，尤211,2],不等式|/（石）一/（工2）归/恒（%）-8（%2）|恒成立，求实数f的最小值.

22.（10分）在AABC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若asinB=6bcosA.

(1)求角4

(2)若AABC的面积为26,a=5,求AABC的周长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.

【详解】

作出丁=%2一彳和y=5—x,丁=可X的图像如下所示：

函数g(x)=/(x)—4国有三个零点，

等价于丁="X)与V=4Vl有三个交点，

又因为。>0,且由图可知，

当xWO时y=/(x)与y=4|R有两个交点A,O,

故只需当%>0时，y=/("与丁=4忖有一个交点即可.

若当x>0时,

ae(O,l)时，显然□=口(口)与口=4|口有一个交点口，故满足题意;

a=l时，显然口=□(口)与口=4|口没有交点，故不满足题意；

ae(l,5)时，显然口=匚(口)与口=4旧|也没有交点，故不满足题意；

时，显然y=/(x)与y=4忖有一个交点C,故满足题意.

综上所述，要满足题意，只需ae(0,l)[5,+8).

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.

2、A

【解析】

分别代值计算可得，观察可得数列｛4｝是以3为周期的周期数列，问题得以解决.

【详解】

解：,.•q=2,an=1-------(n>2),

a

n-i

,11

-22

%=1—2=—1,

«4=1-(-1)=2,

,11

522

•••,

数列｛4｝是以3为周期的周期数列，

2018=3x672+2,

一〃2018=〃2=]，

故选：A.

【点睛】

本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.

3、A

【解析】

首先根据/(x)为R上的减函数，列出不等式组，求得所以当。最小时，a=g,之后将函数零点个数转

化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.

【详解】

。一1＜0

由于〃尤)为R上的减函数，则有，0＜。＜1,可得gwa＜l,

1)+4

所以当a最小时，a=—,

2

函数丁=/(%)—依—4恰有两个零点等价于方程f(x)=kx+4有两个实根，

等价于函数y=/(x)与丁=履+4的图像有两个交点.

画出函数/(尤)的简图如下，而函数,=履+4恒过定点(0,4),

数形结合可得k的取值范围为-£＜人＜0♦

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数

求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.

4、B

【解析】

（。一可，|二|=6，I"=2=。2=3,再由向量a在向量b方向的投影为四坦化简运算即可

由aJ_

网

【详解】

，.•aJ_(a一q.，.a•(a—〃)=a—ci-b—3—ct-b—0,:•a，b=3，

.............................................2

向量a+6在向量方向的投影为|a+b\cos(^a+b,bj=("=:

故选：B.

【点睛】

本题考查向量投影的几何意义，属于基础题

5,C

【解析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可.

【详解】

如图；

连接相关点的线段，。为的中点，连接EFO,因为歹是中点，可知4。，。尸，可知BQ，平面所

即可证明与。，斯，所以①正确；

直线FG与直线4。所成角就是直线AB与直线A.D所成角为60。；正确;

过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图:

是五边形EHFGI.所以③不正确;

如图：

AB

三棱锥3-跳’G的体积为:

由条件易知F是GM中点,

所以匕-EFG~^B-EFM~^F-BEM，

2+3115

SSX2X2X1X3X1

而SBEM口梯形ABMD-AABE-AEDM=-^----=-^

^-£flM=7x(xl=1.所以三棱锥5—屏G的体积为g,④正确;

3266

故选：C.

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积,直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中

档题.

6、D

【解析】

/]y-1

根据题意，是一个等比数列模型，设%=100,7=0.1,由a=0.1=100x——，解得〃=4,

“10

再求和.

【详解】

根据题意，这是一个等比数列模型，设q=100,7=—,an=0.1,

/]y-1

所以切=0.1=100x——

uoj

解得〃=4,

((1yA

1001--

所以s_刍(「。)_IWJ_io4-1.

41-q1I90

1----

10

故选：D

【点睛】

本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.

7、D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(x)=2Msin2x，

因为xeR,/(-x)=2卜.sin2(-x)=一2区sin2x=-f(x),所以f(x)=2凶sin2x为奇函数，排除选项A,B;

jr

因为xe(—,兀)时，/(%)<0,所以排除选项C,选D.

2

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

8、C

【解析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表:

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

【解析】

先根据直线X-ay+1=0与直线x+«2y-l=0平行确定«的值，进而即可确定结果.

【详解】

因为直线X—胡+1=0与直线》+。23；_1=0平行，

所以4+4=0，解得a=0或。=一1；即0a=0或。=一1；

所以由。能推出q；q不能推出

即。是q的充分不必要条件.

故选C

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

10、A

【解析】

本题采用排除法：

由/=-于［I)排除选项D；

由尤>0,且X无限接近于0时，/(“<0排除选项B；

【详解】

对于选项D：由题意可得，令函数/(%)=y=1

-cosX

57r27-2万57r

57r

~2

5兀

.故选项D排除

5乃5万

(5式、22—22

对于选项C：因为/［万)=—五一〉°,故选项C排除；

~2

对于选项B：当％>0,且x无限接近于0时,W—cosx接近于—1<0,2'—2r>0,此时/(九)<0.故选项B排除；

故选项:A

【点睛】

本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;

属于中档题.

11、A

【解析】

先利用复数的除法运算法则求出"的值，再利用共期复数的定义求出”+瓦，从而确定a,b的值，求出

1-z

【详解】

1+z_(1+7)2

口—(l+z)(j)一»i

a+bi=~i9

.•・a=0,b=-1,

/.a+b=-1,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共朝复数的概念，是基础题.

12、C

【解析】

以A为坐标原点，以AB,4。分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.

【详解】

以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABC。的边长为1,

E

则％0),E(-l,l),设PQ,1)(O</<1),则《,l)=x(LO)+y(-M),所以，=X—y,且y=l,

故x+y=f+2e[2,3].

故选：C.

【点睛】

本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系,

是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5

【解析】

由a=(2,—1),b=(1,x),且二工，，得。力=2—x=O,解得尤=2,则2a+。=2(2,-1)+(1,2)=(5,0),贝!!

|2a+Z>|=^52+02=5.

14、9

【解析】

根据集合交集的定义即得.

【详解】

集合A={1,4},B={a-5,7},AnJB={4},

a—5=4,则a的值是9.

故答案为：9

【点睛】

本题考查集合的交集，是基础题.

1

15、

e

【解析】

先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数/(X)的极大值.

【详解】

lyiy—1

函数/(%)=------，X£(0,+8),

X

「,/、1-(Inx-1)2-lrvc

•••f(%)=-----$——二——，

XX

令/'。)=。得，%

.・.当xeQe?)时，rU)>0,函数/Xx)单调递增；当xe(e2,+oo)时，/'(x)<。，函数/\x)单调递减,

22

,当尤=e时，函数/(x)取到极大值，极大值为/(e)=也二=-4.

ee

故答案为：—.

e"

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域

优先法则的应用.

16、4710-8

【解析】

以。为坐标原点，A3所在的直线为x轴，的垂直平分线为V轴，建立平面直角坐标系，从而可得4(-2,0)、

B(2,0),C(0,2),然后利用向量数量积的坐标运算可得AM.(3P+CP)=12cose-6+4sin。-2,再

根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.

【详解】

以。为坐标原点，A3所在的直线为X轴，的垂直平分线为y轴，

建立平面直角坐标系，

则4(—2,0)、3(2,0),

由03=2,0凹=近，且

所以NBOM=45,所以M(U),即AM=(3,1)

又平分BC,所以/5。。=90,则。(。,2),

设P(2cos82sin,

则3P=(2cosd-2,2sin6),CP=(2cos^,2sin^-2),

所以3P+CP=(4cosd-2,4sin6»-2),

所以AM・(5P+CP)=12cose_6+4sine—2=J144+16sin(e+0)—8

(.31)

=4\伍sin(e+e)-8,

所以+CP）的最大值是4何-8.

故答案为：4a-8

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）单调递增区间为10,；）,（4,”）；单调递减区间为（II）[—4,+8）.

【解析】

（I）对函数/（九）进行求导，利用导数判断函数/（%）的单调性即可；

（II）对函数/（%）进行求导，由题意知,/（力为增函数等价于/（九）20在区间（0,+。）恒成立，利用分离参数法和

基本不等式求最值即可求出实数。的取值范围.

【详解】

（I）由题意知，函数y=/（£）的定义域为（0,+。），

当。=—5时，八x）=2x-56+2=（26-1）（石-2）,

2x2x

令八x）=0,得％=：,或%=4,

所以/'（九），/（九）随x的变化情况如下表:

X4(4,+co)

同）4

/’(%)+0—0+

9।

/(%)递增-----ln44递减-6+ln4递增

4

.••/(X)的单调递增区间为，(4,收)，单调递减区间为.

a12%+〃4+2

(II)由题意得/(x)=l+20在区间(0,+。)恒成立,

2G*x2x

即-a＜在区间(O,+8)恒成立.

1=2,当且仅当人=二，即％=1时等号成立.

7x

所以-=4,所以。的取值范围是［-4,+8).

7人7min

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围；考查运算求解能力和

逻辑推理能力；利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

18、(1)极坐标方程为夕=2cos。，点A的极坐标为1,1(2)73

4

【解析】

(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可;

(2)只需算出A、B两点的极坐标，利用5=3幺4图11(%-%)1计算即可・

【详解】

%=1+cosa

(1)曲线C：<(戊为参数，0＜。＜2»)

y=sma

0(%一1)2+丁2=1012+丁2=2%022=2pcos0o2=2cos。，

JT

将。二1代入，解得小。=1,

即曲线C的极坐标方程为Q=2cos夕,

点A的极坐标为L?

(2)由(1),得点A的极坐标为L?

由直线加过原点且倾斜角为?，知点3的极坐标为

6

5AABo=|xlx^xsin7171

~3~~6

一7

【点睛】

本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础

题.

9

19、(1)2；(2)一

2

【解析】

分析：(1)将/(力=卜+4+|2]-4转化为分段函数，求函数的最小值

(2)分离参数，利用基本不等式证明即可.

b

详解：(I)证明：—a〈一

2

-3x-a+b,x<-a

；•/(%)=,

—x+a-\-b,—a<x<—9显然/(x)在1—°o,——I上单调递减，在上单调递增，

b

3x+a-b,x>—

bb1

所以“力的最小值为了—1,即2〃+/?=2.

(II)因为a+2)2幻Z?恒成立，所以02r恒成立,

ab

cx1f2a2Z?9

3一」2a+b)-—\5+—+一|>—

abba2\b22

当且仅当。=人=彳2时，a+2b取得最小值9三，

3ab2

99

所以。＜7,即实数/的最大值为一.

22

点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解

很关键，属于中档题.

20、(1)见解析；(2)-走

3

【解析】

⑴取PD的中点尸，连接人工",根据中位线的方法证明四边形ABEF是平行四边形.再证明”J_P。与COJ_4产

从而证明”，平面PC。,从而得到跖1平面PC。即可.

⑵以AD,AB,AP所在的直线为羽％z轴建立空间直角坐标系，再求得平面CPB的法向量与平面APB的法向量进而

求得二面角A-PB-C的余弦值即可.

【详解】

(1)证明：如图，取的中点口,连接人工".

又E为PC的中点，则所是一PCD的中位线.所以跖//CD且跖=；CD.

又AB//CD且AB=』CD,所以EE//AB且即=A3.所以四边形AB跖是平行四边形.

2

所以BE/MF.因为AZ)=AP,歹为PD的中点，所以AF，PD.

因为AD，AB,AB//CD,所以AD，CD.因为PA，平面ABCD,所以Q4，CD.

又A。c=A，所以CD，平面R4D.所以C£>_LAb.

又PDcCD=D,所以AF，平面PCD.又BEHAF斯以BE1平面PCD.

(2)易知A。,A5,AP两两互相垂直，所以分别以AD,AB,AP所在的直线为阳％z轴建立如图所示的空间直角坐标

系：

因为AB=AO=AP=工CD=2,所以点4(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0).

2

则PB=(0,2,-2),AP=(0,0,2),3C=(2,2,0).设平面CPB的法向量为n=(x,y,z),

,\n-PB={x,y,z)-(0,2,-2)=2y-2z=0[z=y,

由，，得，，

n-BC=(%,y,z)■(2,2,0)=2x+2y=0[x=-y

令y=l,得平面CM的一个法向量为〃=(-l/])；显然平面APB的一个法向量为根=(1,0,0)；

设二面角A—as—c的大小为凡则cose=TL=Q°e(L/)=_走.

|m||7i|lxy/33

故二面角A-PB-C的余弦值是一且

3

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题，需要用到线线垂直与线面垂直的转换以

及法向量的求法等.属于中档题.

21、（1）故函数丁=/（力在［0,：］上单调递增，在1上单调递减;（2）?.

【解析】

试题分析：

（I）根据题意得到b（力的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性.（II）分析题意可得

/(%)+火(/)＜/(石)+%(%)对任意一2＜〃0-1，1＜百＜々＜2恒成立，构造函数

—f(%)+tg(x)—lux—ux^+(1—2。元+3/,则有//(x)——cix+(1—2%)V0对任意a£[-2,—1],xG[1,2]

2x

恒成立，然后通过求函数的最值可得所求.

试题解析:

][3

(I)由题意得/(%)二—+(1—Q)尤+]Q,X£(0,+OO),

,，/、1—。必+(]—Q\X+1(-ox+l)(x+l)

・・Ff(x)=——ax+