江苏省兴化顾庄等三校2023-2024学年中考四模数学试题含解析

江苏省兴化顾庄等三校2023-2024学年中考四模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，将一块含有30。角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果Nl=30。，那么N2的度数为

（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

2.一个多边形的每个内角都等于120°,则这个多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

3.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a用）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（-1,0）.下列结论：①ab<0,

②b2>4a,③0Va+b+c<2,④OVbVl,⑤当x>-l时，y>0,其中正确结论的个数是

4个C.3个D.2个

4.如图中任意画一个点,落在黑色区域的概率是（）

1

一C.TID.50

2

-4中，最大的是（）

A.7TB.0C.V17D.-4

6.-2的倒数是（）

1

C.-D.2

2

NE尸3=58。，则下列说法错误的是（）

C.ZFHG=61°D.FG=FH

8.二次函数y=—f+2x+4的最大值为（)

A.3B.4

C.5D.6

9.一次函数y=（m—l）x+（m—2）的图象上有点M（Xi，yJ和点N^E）,且x^x?,下列叙述正确的是（）

A.若该函数图象交y轴于正半轴，则％＜丫2

B.该函数图象必经过点（-L-1）

C.无论m为何值，该函数图象一定过第四象限

D.该函数图象向上平移一个单位后，会与x轴正半轴有交点

10.一sin60。的倒数为（）

A.-2B.-C.一正D.

233

11.如图，一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡的坡度为（）

50m

12.若点A（1+m,1-n）与点B（-3,2）关于y轴对称，则m+n的值是（）

A.-5B.-3C.3D.1

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-X2+4X与x轴交于点A,点M是x轴上方抛物线上一点，过点M作MP±x

轴于点P,以MP为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ的最大值为.

9

14.如图，P(m,m)是反比例函数y=—在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边APAB,使AB落在x轴

15.如图，把正方形铁片O45C置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0),点尸(1,2)在正方形铁片上，

将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则

正方形铁片连续旋转2017次后，点尸的坐标为.

X第一次第二次

。4①②X

16.如图，等边三角形A3C内接于。O,若。。的半径为2,则图中阴影部分的面积等于.

RF

17.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则干的值是一

18.已知关于x的一元二次方程x?+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，△ABC三个定点坐标分别为A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2).

VA

请画出△ABC关于y轴对称的△AiBiG；以原点O为位似中心，将AAiBiG放大

tx

为原来的2倍，得到AA2B2c2,请在第三象限内画出AAzB2c2,并求出SAA1B1C1：SAA2B2C2的值.

20.(6分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已

知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.

若苗圃园的面积为72平方米，求X；若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的

苗圃园

面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

21.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+c经过A、B、C三点，已知点A(-3,0),B(0,

3),C(1,0).

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点，(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为F,交直线AB于

点E,作PDLAB于点D.动点P在什么位置时，APDE的周长最大，求出此时P点的坐标.

/XD\\

Aj/rV

/J-3F~~1\x

22.(8分)已知：AB为。O上一点，如图，A3=12,BC=46BH与。O相切于点B,过点C作BH的平行线

交AB于点E.

H

(1)求CE的长；

(2)延长CE到F,使EF=6，连结BF并延长BF交。O于点G,求BG的长;

(3)在(2)的条件下，连结GC并延长GC交BH于点D,求证：BD=BG

23.(8分)主题班会上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：

A.放下自我，彼此尊重；B.放下利益，彼此平衡；

C.放下性格，彼此成就；D.合理竞争，合作双赢.

要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟.根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图

表中提供的信息，解答下列问题：

观点频数频率

Aa0.2

B12」0.24

C8b

D200.4

(1)参加本次讨论的学生共有人；表中。=,b=

(2)在扇形统计图中，求。所在扇形的圆心角的度数；

(3)现准备从A,B,C,。四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点。(合理竞

争，合作双赢)的概率.

24.（10分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题

AZ）AD

在锐角AABC中，NA、NB、NC的对边分别是〃、b、c,过A作AD_LbC于。（如图⑴），则sinB=——,sinC=—,

cb

becacib.

即AD=csinb,AD=bsinC于是csinb=bsinC,即-----=-----,同理有：-----=-----，-----=-----,所以

fsinBsinCsinCsinAsinAsinB

a_b_c

sinAsinBsinC

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述

结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.

根据上述材料，完成下列各题.

图（1）图（2）图（3）

（D如图（2）,AABC中，ZB=45°,ZC=75°,5c=60,则NA=；AC=；

⑵自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻.某

次巡逻中，如图（3）,我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30。的方向上，随后以40海里/时的速度按北

偏东30。的方向航行，半小时后到达5处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75。的方向上，求此时渔政204船距钓鱼

岛A的距离A5.（结果精确到0.01,76-2.449）

25.（10分）如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=1.点尸是斜边AB上一点，过点尸作43交边AC或

8c于点M.又过点尸作AC的平行线，与过点M的PM的垂线交于点N.设边AP=x,A与△ABC重合部分

图形的周长为

（1）AB=.

（2）当点N在边3c上时，X—.

（1）求y与x之间的函数关系式.

(4)在点N位于上方的条件下，直接写出过点N与△ABC一个顶点的直线平分AABC面积时x的值.

26.(12分)综合与实践-猜想、证明与拓广

问题情境：

数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图1,正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关

于直线AE的对称点为点F,直线DF交AB于点H,直线FB与直线AE交于点G,连接DG,CG.

猜想证明

(1)当图1中的点E与点B重合时得到图2,此时点G也与点B重合，点H与点A重合.同学们发现线段GF,与

GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：;

(2)希望小组的同学发现，图1中的点E在边BC上运动时，(1)中结论始终成立，为证明这两个结论，同学们展开

了讨论：

小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…

小丽：连接AF,图中出现新的等腰三角形，如AAFB,…

小凯：不妨设图中不断变化的角NBAF的度数为n,并设法用n表示图中的一些角，可证明结论.

请你参考同学们的思路，完成证明；

(3)创新小组的同学在图1中，发现线段CG〃DF,请你说明理由；

联系拓广：

(4)如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“，ZABC=a,其余条件不变，请探究NDFG的度数，并直

接写出结果(用含a的式子表示).

—4x—2

27.⑴分)先化简：—然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

如图，因为，Zl=30°,Zl+Z3=60°,所以N3=30。，因为AD〃BC,所以/3=N4,所以N4=30。，所以

Z2=180o-900-30o=60°,故选D.

2、C

【解析】

试题解析：•••多边形的每一个内角都等于120。，

,多边形的每一个外角都等于180°-120°=100,

边数n=310°4-10°=l.

故选C.

考点：多边形内角与外角.

3、B

【解析】

解：,二次函数y=ax3+bx+c(a=3)过点(3,3)和(-3,3),

/.c=3,a-b+c=3.

①•・•抛物线的对称轴在y轴右侧，

b

•••x-------,x>3.

2a

•・•a与b异号.

/.ab<3,正确.

②•・•抛物线与x轴有两个不同的交点，

Ab3-4ac>3.

Vc=3,

b3-4a>3,即b3>4a.正确.

④•・•抛物线开口向下，・・・aV3.

Vab<3,Ab>3.

Va-b+c=3,c=3,.*.a=b-3.Ab-3<3,即bV3./.3<b<3,正确.

③Ta-b+c=3,/.a+c=b.

/.a+b+c=3b>3.

Vb<3,c=3,a<3,

:.a+b+c=a+b+3<a+3+3=a+3<3+3=3.

.\3<a+b+c<3,正确.

⑤抛物线y=ax3+bx+c与x轴的一个交点为（-3,3）,设另一个交点为（X3,3）,则X3>3,

由图可知，当-3VxVx3时，y>3；当x>X3时，y<3.

・••当x>-3时，y>3的结论错误.

综上所述，正确的结论有①②③④.故选B.

4、B

【解析】

抓住黑白面积相等，根据概率公式可求出概率.

【详解】

因为，黑白区域面积相等，

所以，点落在黑色区域的概率是

2

故选B

【点睛】

本题考核知识点：几何概率.解题关键点：分清黑白区域面积关系.

5、C

【解析】

根据实数的大小比较即可得到答案.

【详解】

解：•.•16C17V25,.•.4VJI7<5,...JITATr〉。〉一4,故最大的是&7,故答案选C.

【点睛】

本题主要考查了实数的大小比较，解本题的要点在于统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被

开方数的大小.

6、B

【解析】

根据倒数的定义求解.

【详解】

-2的倒数是-工

2

故选B

【点睛】

本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握

7、D

【解析】

根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到正确的结论.

【详解】

解：ABCD,NEFB=58。，

.,./EGD=58°,故A选项正确；

FH平分/BFG,

..4FH=/GFH,

又ABCD

ZGFH=/GHF,

.•.GF=GH,故5选项正确；

NBFE=58°,FH平分/BFG,

N3EF/=g（180。一58。）=61。，

ABCD

・•.NBFH=/GHF=61。，故。选项正确;

4GHw^FHG,

.•.FGwFH,故D选项错误；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.

8、C

【解析】

试题分析：先利用配方法得到y=-(x-1)2+1,然后根据二次函数的最值问题求解.

解：y=-(x-1)2+1,

Va=-1<0,

当x=l时，y有最大值，最大值为1.

故选C.

考点：二次函数的最值.

9、B

【解析】

利用一次函数的性质逐一进行判断后即可得到正确的结论.

【详解】

解：一次函数y=(m—l)x+(m—2)的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，则m—1>0,m—2>0,若x［〉*2,

则丫1〉丫2，故A错误；

把x=—l代入y=(m—l)x+(m—2)得，y=-l,则该函数图象必经过点,故B正确；

当m>2时，m-l>0,m—2>0,函数图象过一二三象限，不过第四象限，故C错误；

函数图象向上平移一个单位后，函数变为y=(m-l)x+(m—1),所以当y=0时，x=—1,故函数图象向上平移一

个单位后，会与x轴负半轴有交点，故D错误，

故选B.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活

应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

10、D

【解析】

分析：-sin60。=-电，根据乘积为1的两个数互为倒数，求出它的倒数即可.

2

详解：-sin60。=-乌

2

f_V3r26

X

71

一曲的倒数是-2叵

故选D.

点睛：考查特殊角的三角函数和倒数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

11、A

【解析】

试题解析：•••一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,

，这个斜坡的水平距离为：,J1302-502=10m,

这个斜坡的坡度为:50：10=5：1.

故选A.

点睛：本题考查解直角三角形的应用•坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义.坡度是坡面的铅直高度h和水平

宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=hm的形式.

12、D

【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计

算可得.

【详解】•・•点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称，

/.l+m=3>1-n=2,

解得：m=2>n=-1,

所以m+n=2-1=1,

故选D.

【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关

键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、4

【解析】

V四边形MNPQ是矩形，

，NQ=MP,

.•.当MP最大时，NQ就最大.

,/点M是抛物线y=-九2+4》在x轴上方部分图象上的一点，且MP±x轴于点p,

当点M是抛物线的顶点时，MP的值最大.

,•*y--x2+4x=-（x-2）2+4,

二抛物线y=—必+4%的顶点坐标为（2,4）,

二当点M的坐标为（2,4）时，MP最大=4,

，对角线NQ的最大值为4.

I49+3有

■14、-------•

2

【解析】

如图，过点尸作于点H,

9

・••点P（机，m）是反比例函数尸一在第一象限内的图象上的一个点,

x

9=m2,且机>0,解得，m=3./.PH=OH=3.

V/\PAB是等边三角形，・・.ZB4H=60°.

二根据锐角三角函数，得4"=若.二03=3+6

19+3\/3

:.SAPOB=~OB>PH=.

22

15、（6053,2）.

【解析】

根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.

【详解】

第一次Pl(5,2),第二次P2(8,1),第三次P3(10,1),第四次P4(13,1),第五次P5(17,2),...

发现点P的位置4次一个循环，

：2017+4=504余1,

P2017的纵坐标与Pi相同为2,横坐标为5+3x2016=6053,

/.P2017(6053,2),

故答案为(6053,2).

考点：坐标与图形变化-旋转；规律型：点的坐标.

4

16、一71

3

【解析】

分析：题图中阴影部分为弓形与三角形的和，因此求出扇形AOC的面积即可，所以关键是求圆心角的度数.本题考查

组合图形的求法.扇形面积公式等.

360°

详解：连结OC,♦.,△ABC为正三角形，/.ZAOC=^—=120°,

,*,sAOB=sAOC,:.图中阴影部分的面积等于S扇形4℃

22

.„n/vr120^--24Bn42如凭t由4

・•S扇形AOC=----------=--------------------=一"即S阴影二—71cm2•故答案为一71・

360360333

点睛：本题考查了等边三角形性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出NAOC的度数，主要考

查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.

17、昱

3

【解析】

试题分析：VZBAC=ZACD=90°,AAB/7CD.

BEAB

/.△AABE^ADCE.，一=——.

ECCD

\•在RtAACB中NB=45。，/.AB=AC.

ACr-

,：在RtACD中，ZD=30°,:.CD=---------=J3AC.

tan30°

.BE_AB_AC_73

EC-CD-^AC-T'

18、-1.

【解析】

试题分析：：关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,

A=2—-4,1•(—a)=0a=—1.

考点：一元二次方程根的判别式.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)见解析；(2)图见解析；

4

【解析】

(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点Ai、Bi、G的位置，然后顺次连接即可.

(2)连接AiO并延长至A2,使A2O=2AIO,连接BiO并延长至B2,使B2O=2BIO,连接CiO并延长至C2,使C2O=2CIO,

然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答.

【详解】

解：(1)△AiBiCi如图所ZK.

(2)AAzB2c2如图所示.

,.•△AiBiCi放大为原来的2倍得到△A2B2c2,.••△AIBICIS^AZB2c2,且相似比为

2

SAA1B1C1：SAA2B2C2=(—)2=­.

24

20、(1)2(2)当x=4时,y最小=88平方米

【解析】

(1)根据题意得方程解即可；

(2)设苗圃园的面积为y,根据题意得到二次函数的解析式y=x(31-2x)=-2x2+31x,根据二次函数的性质求解

即可.

解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(31—2x)米.依题意可列方程

x(31-2x)=72,BPx2-15x+36=l.

解得xi=3(舍去)，X2=2.

⑵依题意，得肥31—2烂3.解得

15,,225

面积S=x(31—2x)=—2(x——)2H——(6<r<4).

①当1时5，S有最大值，S最大=2一25；

22

②当x=4时，S有最小值，S最小=4x(31—22)=88

“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据

二次函数的性质求解即可.

21、(1)y=-x2-2x+l；(2)(-----,—)

24

【解析】

(1)将A(-1,0),B(0,1),C(1,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式;

(2)先证明AAOB是等腰直角三角形，得出NBAO=45。，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的

周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+l,则可设P点的坐标为(x,-X2-2X+D,E点的坐标为(X,

393

x+1),那么PE=(-x2-2x+l)-(x+1)=-(x+—)2+—,根据二次函数的性质可知当x=--时，PE最大，△PDE的周

242

3

长也最大.将*=--代入-X2-2X+1,进而得到P点的坐标.

2

【详解】

解：(1),抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(0,1),C(1,0),

9a-3b+c=0

二｛c=3,

a+b+c=0

a=-l

解得｛b=-2,

c=3

抛物线的解析式为y=-x2-2x+l；

(2)VA(-1,0),B(0,1),

.•.OA=OB=1,

--.△AOB是等腰直角三角形，

.,.ZBAO=45°.

；PFJ_x轴，

...NAEF=90°-45°=45°,

又；PD_LAB,

/.△PDE是等腰直角三角形，

，PE越大，APDE的周长越大.

设直线AB的解析式为y=kx+b,则

-3k+b=0k=l

'解得忆3

b=3

即直线AB的解析式为y=x+L

设P点的坐标为（X,-x2-2x+l）,E点的坐标为（x,x+1）,

39

贝!|PE=(-X2-2X+1)-(x+1)=-x2-lx=-(x+-)2+-,

24

3_

所以当x=--时，PE最大，APDE的周长也最大.

2

当x=-----时，-X?-2x+l=-(-----)2-2x(------)+1=—,

2224

即点P坐标为时，APDE的周长最大.

24

【点睛】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角

形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中.

22、（1）CE=4C；（2）BG=8应；（3）证明见解析.

【解析】

（1）只要证明△ABCS4CBE,可得生=竺，由此即可解决问题；

CEAC

BGBE__________

（2）连接AG,只要证明可得不;二钎，由BE=&4后一屿面=4,再求出3尸，即可解决

ABBF'

问题；

（3）通过计算首先证明CF=FG,推出NFCG=NFGC,由C尸〃50,推出NGCF=NBDG,推出NBDG=N5GZ>

即可证明.

【详解】

解：（1）：BH与。。相切于点B,

VBH/7CE,

.•.CE±AB,

TAB是直径，

.\ZCEB=ZACB=90°,

VZCBE=ZABC,

.".△ABC^ACBE,

.BCAB

••一,

CEAC

''AC=y/AB2-BC2=476>

.♦.CE=40.

(2)连接AG.

VZFEB=ZAGB=90°,ZEBF=ZABG,

/.△ABG^AFBE,

.BGBE

••一,

ABBF

VBE=(4后=4,

-BF=VBE2+EF2=3V2，

.-G_4

12—3亚，

，BG=8&.

(3)易知CF=40+0=50,

.,.GF=BG-BF=5V2.

,,.CF=GF,

.".ZFCG=ZFGC,

VCF/7BD,

.,.ZGCF=ZBDG,

/.ZBDG=ZBGD,

.".BG=BD.

H

本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题

的关键.

23、(1)50、10、0.16；(2)144°；(3)

2

【解析】

(1)由B观点的人数和所占的频率即可求出总人数；由总人数即可求出a、b的值，

(2)用360。乘以D观点的频率即可得；

(3)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解

【详解】

解：(1)参加本次讨论的学生共有12+0.24=50,

则a=50x0.2=10,b=8-r50=0.16,

故答案为50、10、0.16；

(2)D所在扇形的圆心角的度数为360°x0.4=144°；

(3)根据题意画出树状图如下：

开始

ABCD

/N/N/N

RCDACDARDARC

由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D(合理竞争，合作双赢)的概率有6种，

所以选中观点D(合理竞争，合作双赢)的概率为二=4.

122

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24、(1)60,2076;(2)渔政船距海岛A的距离A5约为24.49海里.

【解析】

(1)利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；

(2)在AABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可.

【详解】

(1)由正玄定理得：ZA=60°,AC=20V6;

故答案为60。，2076;

(2)如图:

依题意，得BC=40x0.5=20（海里）.

VCD/7BE,

.,.ZDCB+ZCBE=180°.

；NDCB=30°,/.ZCBE=150°.

VZABE=75°,.,.ZABC=75°,

，NA=45。.

在△ABC中，一一匹,

sinZACBsinA

即⑦=』，

sinZ60°sin45°

解得AB=10指之24.49（海里）.

答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里.

【点睛】

本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根

据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点.

454545

25、(1)2；(2)—；(1)详见解析；(4)满足条件的x的值为上或上.

345943

【解析】

(1)根据勾股定理可以直接求出(2)先证明四边形HLMN是平行四边形，再根据三角函数值求解(1)分情况根据t

的大小求出不同的函数关系式(4)不同条件下：当点G是AC中点时和当点。是AB中点时，根据相似三角形的性质

求解.

【详解】

解：(1)在Rt_ABC中，AB=VAC2+BC2=732+42=5,

故答案为2.

(2)如图1中，PAMN,PNAM,

二四边形PAMN是平行四边形，

图1

PN3

当点N在BC上时，sinA=——=—,

PB5

5

3=3

5—x5

4545

(1)①当01小一时，如图1,|PM二一x,AM=—x

3433

45

I/,y=PN+MN+PM=x+—x+—x—^x.

33

图2

y=4x-EN-NF+EF

544

=4x-EN——EN+—EN=4x—-EN,

333

5334J

EN=PN-PE=-X--(5-X)=—X-3

3515

,yW+4

45

412

PM+-PM=—PM,

55

3

PM=-(5-x)

90

y=-x+9

5

(4)如图4中，当点G是AC中点时，满足条件

G

B

C

图4

PNIIAG

,PNBP

"~AG~~BA

5

—x<

.3_5—x

..--——-------

35

2

45

二.X——

59

如图2中，当点D是AB中点时，满足条件.

.MN_CM

,,布一石

.5

3—x

x

.,.-_-----3---

53

2

45

X——

43

综上所述，满足条件的x的值为4上5或上45.

5943

【点睛】

此题重点考查学生对一次函数的应用，勾股定理，平行四边形的判定，相似三角形的性质和三角函数值的综合应用能

力，熟练掌握勾股定理和三角函数值的解法是解题的关键.

(X

26、(1)GF=GD,GFLGD;⑵见解析;(3)见解析;(4)90°-—

2

【解析】

(1)根据四边形ABCD是正方形可得NABD=NADB=45。，ZBAD=90°,点D关于直线AE的对称点为点F,即可证

明出NDBF=90。，故GF_LGD,再根据NF=NADB,即可证明GF=GD；

(2)连接AF,证明NAFG=NADG,再根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD,ZBAD=90°,设NBAF=n,

ZFAD=900+n,可得出NFGD=360。-NFAD-NAFG-NADG=360。-(90°+n)-(180。-n)=90。，故GFJ_GD；

(3)连接BD,由(2)知，FG=DG,FG±DG,再分别求出NGFD与NDBC的角度，再根据三角函数的性质可证

明出ABDFs/iCDG,故NDGC=NFDG,贝!JCG〃DF；

(4)连接AF,BD,根据题意可证得NDAM=90。-N2=90。-Nl,ZDAF=2ZDAM=180°-2Z1,再根据菱形的性

质可得NADB=NABD=',故NAFB+NDBF+NADB+NDAF=(ZDFG+Z1)+(ZDFG+Zl+-a)+-a+(180°

222

-2Z1)=360°,2ZDF