2024高考数学一轮复习 导数（含答案）

2024高考复习导数题型分类解析

一.导数的概念

1.导数的概念：

函数y=f(x),假如自变量x在x0处有增量Ac,那么函数y相应地有增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0),

比值电叫做函数y=f(x)在x°到x0+Ax之间的平均改变率，即竺=。假如当Axf0时，包有

AxAxAx

极限，我们就说函数y=f(x)在点X。处可导，并把这个极限叫做f(x)在点X。处的导数，记作，(X。)

或旷I,,,即f(x0)=limAZ=limo

I。Ax->0AxAx->0

由导数的定义可知，求函数y=f(x)在点X。处的导数的步骤：

①求函数的增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0);②求平均改变率”二；

Ax

③取极限，得导数，(x0)=。

例1：若函数y=/(x)在区间(a,。)内可导，且Xoc(a,»则lim也上上也匚处的值为()

也一。h

A./'(%)B.2/1(%0)C.-2/1(%0)D.0

例2：若/'(%)=—3,贝Ulim"X。+0一于(x°—3h)=()

小。h

A.—3B.―6C.—9D.—12

2.导数的意义：①物理意义：瞬时速率，改变率

②几何意义：切线斜率k=lim/(%)——=/(%o)

A«-»0人Y〃—AY0

③代数意义：函数增减速率

例3：已知函数y(x)=/'cosx+sinx,则的值为

例4：已知/(%)=%2+3犷(2),贝|]/'(2)=

3.导数的物理意义：

假如物体运动的规律是S=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s'(t)o

假如物体运动的速度随时间的改变的规律是V=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v'(t)o

例5：一个物体的运动方程为S=l-/+/其中s的单位是米，f的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬

时速度是____________

例6：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看

作时间/的函数，其图像可能是()

ssss

c

0-------＞t0匕-------------Cr-------------------AtCr----------

A.B.C.D.

二：导数的运算

1.基本函数的导数公式：

①C'=0;(C为常数)②(x")③(sinx)'=cosx;④(cos%)'=-sin];⑤

@(axy=axIna;⑦；⑧.

例7：下列求导运算正确的是()

A.B.(log2x)==

X2

C.伊)=3log3eD.(xcosx)=-2xsinx

例8：若%(x)=sinx,力(x)=f0(x),/2(x)=力(x),……，fn+l(x)=fn(%),neN,则/2005(x)=_

真题：

1.已知/(x)=x(x+l)(x+2)(x+3)-(x+2006),贝U/'(。)为

练：已矢%(x)=sinx-cosx,力+G)是的导函数，艮乳(x)=工(x)，…，

fnM=fn(4nwN*,贝优Oi4(x)=------------

2：导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),

即：(M±V)'="±V.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以其次个函数,加上第一个

函数乘以其次个函数的导数，即：(uv),^uv+uv.

若C为常数,贝！|(CM)'=CM+CM=0+CM=CM.即常数及函数的积的导数等于常数乘以函数的导

数：(CM)'=CM.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数及分母的积，减去分母的导数及分子的积，再除以分

母的平方：(vWO)。

3.复合函数的导数

形如y=f[°(x)]的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：

分解一一＞求导一一＞回代。法则：y'|x=丫'够・u''或者外。(切=/'(〃)*/»♦

例10：(1)函数y=V+log2X的导数是

(2)函数x'e2x+i的导数是

例11：y=(1+COS2X)3；(2)

真题：

(2024年天津高考)已知函数/(x)=(2x+l)靖J'(x)为/(x)的导函数，则八0)的值为.

三：利用已知条件求原函数解析式中的参数

例12：己知多项式函数/(x)的导数//(%)=3/—4x,且/(1)=4,则/(x)=.

例13：已知函数/OOud+ad+Ox+c,它的图象过点A(0,—l),且在x=l处的切线方程为

2x+y-l=0,贝ij/(%)=.

四：切线相关问题

1.已知曲线上的点求切线方程

例14：曲线y=f—2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

例15：设函数f(x)=ox+—-一(a,bGZ),曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程为y=3.

x+b

(1)求/(X)的解析式

(2)证明：曲线y=/(x)上任一点的切线及直线x=l和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此

定值.

例：对正整薮，设曲物=炉(1-x施x=2处的切线与y轴的交点的纵坐标为，则

数歹“悬卜勺前〃项和为工=-

2.已知曲线外的点求切线方程

例16：已知曲线>=—,则过点P(l,-3),且及曲线相切的直线方程为.

例17：求过点(-1,-2)且及曲线y=2x-/相切的直线方程.

3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程

例18：曲线/(x)=x3+x-2在00处的切线平行于直线y=4x-1,则p()点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(—1,—4)D.(2,8)和(—1,-4)

例19：若曲线>=/的一条切线/及直线尤+4y—8=0垂直，则/的方程为()

A.4-X—y—3—0B.x+4y—5—0C.4-x—y+3-0D.x+4y+3=0

真题：

1.(2024年全国III卷高考)已知为偶函数，当x<0时，/(x)=e*—X,则曲线y=/(x)

在点(1,2)处的切线方程式.

2.(2024天津文)已知aeR,设函数f(x)="-ln尤的图象在点(1,/■⑴)处的切线为/,则/在y轴上

的截距为L

3.(2024新课标I文数)曲线在点(1,2)处的切线方程为.

4.【2024年北京卷第20题】已知函数/(x)=e*cosx-x.

(I)求曲线？=/(%)在点(0J(。))处的切线方程;

(II)求函数/(x)在区间上的最大值和最小值.

五：求函数的单调区间

1.无参数的函数求单调性问题

例20：证明：函数在区间(0,2)上是单调递增函数.

例21：确定函数/(x)=2d—6犬+7的单调区间.

真题：

1.(2024山东理)若函数e?(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,

则称函数具有M性质.下列函数中全部具有M性质的函数的序号为.①=2T

②/(x)=3r③/(x)=d©/(X)=X2+2

2.(2024天津理)已知奇函数/(%)在R上是增函数，8(幻=41(*).若。=8(-10825.1),b=g(20,8),

c=g(3),则a,A,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

3.(2024新课标I文数)已知函数/(x)=lnx+ln(2—x),则()

Ay=/(x)在(0,2)单调递增5y=/(x)在(0,2)单调递减

Cy=/(x)的图像关于直线1=1对称Dy=/(x)的图像关于点(1,0)对称

2.含有参数的函数的单调性

例22：已知函数/(x)=gx3+g(l—a)x2—ax,求函数7(%)的单调区间。

例23：已知函数/(x)=lnx—奴2+(2—a)x,探讨f(x)的单调性.

例25：【2024高考广东，理19】设。＞1,函数/(x)=(1+-a.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)证明：/(x)在(~oo,+oo)上仅有一个零点；

例26：【2024高考江苏，19]已知函数/(x)=d+。%2+伏。,。£氏).试探讨了(%)的单调性;

例27：已知/(x)=lnx—ax,探讨y=/(x)的单调性

真题:

(2024年全国I卷高考)若函数/(x)=x-gsin2x+asinx在(fo,+8)单调递增，则a的取值范围

是

(A)[-1,1](B)(C)(D)

六：结合单调性和极值求参数的取值范围

例28：已知函数/(乃=3^+2f-1在区间(私0)上是减函数，则机的取值范围是.

例29：已知函数/(工)=/三+/—x(机eR),函数在区间(2,内存在单调递增区间，则加

的取值范围.

例30：已知函数/■(£)=无3+必2+%+].€国，若函数〃尤)在区间内单调递减，则a的取值范

围.

例31：已知函数/'(x)=§x3+万(2一公尤2+Q—a)x(aNO).若/(X)在［o,口上单调递增，则a的取

值范围.

例32：已知函数/(x)=d+ax在R上有两个极值点，则实数”的取值范围是.

例33：已知函数/(x)=x2+ainx,若在1+«)上是单调函数，求实数。的取值范围

例34：假如函数/(x)=；(加一2)f+(〃-8)x+l(zn»0,0)在区间单调递减，则mn的最大值

为()

Q1

(A)16(B)18(C)25(D)—

2

真题：

4丫2-I-Z7V

【2024高考重庆】设函数/(x)=［

⑴若在尤=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=/(x)在点处的切线方程;

⑵若在［3,长。)上为减函数，求a的取值范围。

七：恒成立问题及存在性成立问题

1.转化为分别参数问题求最值问题

例35：已知函数/田=五"-lnx,(a>°),⑴若求函数/⑴的单调区间和极值⑵当

xe［l,2］时，不等式/(x)〉2恒成立，求实数a的取值范围

例36：已知函数/(%)=%3+2/+%.(1)求函数/(x)的单调区间和极值；(2)若Vxe(0,”),

恒成立，求实数a的取值范围

例37：已知函数f(x)=x3+ax-+6x+c在刚好x=1都取得极值，⑴求。力的值及函数/(%)的单调

区间⑵若对xe［-1,2］,不等式恒成立，求。的取值范围。

例38：己知函数/(x)=d图象上一点P(l,勿处的切线斜率为-3,

彳一6

g(x)=%3+〒％2_«+1垃+3«>0)当工€工4］时，不等式/(x)Vg(x)恒成立，求实数t的

取值范围。

例39：已知/(x)=d+9。，，当。>0时，若对Vxe［0,3］有/(x)K4恒成立，求实数a的

取值范围.

例40：已知函数/(%)=以3+-2_3x(。/eR),在点(1,7•⑴)处的切线方程为y+2=0.若对于区

间［—2,2］上随意两个自变量的值看,％2,都有|/(七)—/(々)区。，求实数c的最小值

例41：设函数〃x)=J^sin管.若存在"％)的极值点/满意/2+"(%)了〈机2,则m的取值范

围是()

A.6)D(6,OO)B.(-oo,T)u(4,oo)C.(-co,—2)D(2,oo)D.(-oo,—l)u(4,oo)

【2024高考新课标2,理21](本题满分12分)

设函数/(x)=emx+x2-mx.

(I)证明：/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+00)单调递增；

(II)若对于随意为9仪―U"都有|/(石)一/(%)归6-1，求加的取值范围.

2.分别不开的转化为根的分布问题

例42：已知％=1是函数"/-3(加+1)%2++1的一个极值点，其中根,〃£氏加〈0,当

工£［-1,1］时，函数y=/(x)的图象上随意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.

例43：己知函数y(x)=gx3+x2+mx2—机2工在［_1,“上为减函数，则m的取值范围为.

八：函数的极值最值问题

1.不含参数的极值最值问题

例44：下列函数的极值：

(1)y=x2-7x+6；(2)y-x2Inx.

45：函数f(xAxS+ax^+bx+c,曲线y=f(x)在点x=l处的切线为l:3x-y+l=0,若x=|■时，y=f(x)有极

值.(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在［-3,1］上的最大值和最小值.

2.含有参数的最值问题

例47：己知函数f(x)=x2e-"*(a>0),求函数在［1,2］上的最大值.

例48：已知/(%)=tax-ax,求函数在［1,2］上的最大值.

例49：设a〉0,且awl,函数/(x)=gx?—(a+l)x+alnx.求/(x)的极值点

设函数f(x)=-x(x-a)“xGR),其中aGR.(1)当a=l时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方

程；(2)当aHO时，求函数f(x)的极大值和微小值.

例50：已知f(x)=xlnx,.

(1)当a=2时，求函数y=g(x)在［0,3］上的值域；

(2)求函数/(无)在山+2］(/>0)上的最小值；

真题：

(2024新课标H理)若x=-2是函数/。)=(必+奴-l)e'T的极值点，则/(x)的微小值为

()A.-1B.-2e-3C.5e-3DA

3.导函数的图像及函数极值的关系

例52：f(x)的导函数//(*)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是()

y=/(x)的图象大致是()

例56：已知函数y

=f(x)的导函数y

=f'(x)的图象

如右，则()

A.函数f(x)

有1个极大值点，1个微小值点

B.函数f(x)有2个极大值点，2个微小值点

C.函数f(x)有3个极大值点，1个微小值点

D.函数/'(x)有1个极大值点,3个微小值点

例57：函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()

A.0<八2)<T(3)<f⑶-f⑵B.0</'(3)<f(3)-f(2)</⑵

C.0<f(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f⑵〈广⑵Vf'(3)

真题：

1.(2024浙江)函数y=/(无)的导函数"((无)的图象如图所示,

则函数y=/(无)的图象可能是(

2.【2024年新课标HI卷第7题】函数产l+x+学的部分图像大致为

x

九：零点问题(转化为最值问题)

例58：已知函数/(x)=x3-3«x2+36x的图象及直线12x+y—1=0相切于点(1,—11).

(1)求a1的值；

(2)若函数g(x)=/(x)+c有三个不同的零点，求c的取值范围.

例:59：已知函数/(x)=ad+6/+5,在％=±1处取得极值，且在x=0处切线斜率为-3.

⑴求函数/(x)的解析式.

(2)若过点A(2,m)可作曲线y=/(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

3

例61：已知函数/(无)=ax'-5(〃+2)%2+6%一3,曲线y=/(尤)及x有3个交点，求a的范围。

例62：已知函数/(x)=；Y—%px2,,且/(x)在区间(2,+oo)上为增函。(1)求实数左的取值

范围。(2)若函数/(x)及g(x)的图象有三个不同的交点，求实数上的取值范围.

真题：

1.(2024新课标HI文数)已知函数/(x)=12—2x+a(ei+erM)有唯一零点，贝！|a=

()B.—C.—D.1

32

2.（2024年北京高考）设函数〃力=兀3+/+国+c.

（I）求曲线y=/（x）.在点（0,/（0））处的切线方程；

（II）设。=匕=4,若函数/（九）有三个不同零点，求c的取值范围；

（III）求证：a?-3Z?>0是/（九）.有三个不同零点的必要而不充分条件.

九:优化问题：

1.设计产品规格问题

例63：如图在二次函数/（x）=4x-x2的图像及x轴所围成的图形中有一个内接矩形/及力,求这个内

接矩形的最大面积.

例64：圆柱形金属饮料罐的容积肯定时，它的高及底及半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

2.利润最大问题

例66：某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3Wa

W5）的管理费，预料当每件产品的售价为x元（9WxWll）时，一年的销售量为（12-x）2万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）及每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

例67：某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，假如降低价格，销售量可以增加，且

每星期多卖出商品件数及商品单价的降低值x(单位：元，0〈尤<21)的平方成正比，已知商品单价

降低2元时，一星期多卖出24件.

(1)将一星期的商品销售利润表示成x的函数

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大

十一：构造计算类题型：

例68：对于R上可导的随意函数/(x),若满意(x-l)/(x)»O,则必有()

A/(0)+/(2)<2/(1)B/(0)+/(2)<2/(1)

C/(0)+/(2)>2/(1)D/(0)+/(2)>2/(1)

例69：函数/'(x)在定义域R内可导，若/(x)=/(2—x),且当oo,l)时，(x—l)・/'(x)<0,

设。=f(0\b=fQJc=f(3),的。/,c的大小关系为.

例70：设f(x)、g(x)分别是定义在R(XH0)上的奇函数和偶函数,当x<0时，/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

>0.且g(3)=0.则不等式/(x)g(x)<0的解集是

例71：函数/(x)的定义域为R,/(—1)=2,对随意xeR,/'(x)>2,则/(x)>2x+4的解集

为.

例72：/(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数,且满意叶⑴+f(x)<0,对随意正数a、b,若a<〃，

则必有()

A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)C.af(a)<bf(b)D,bf(b)<af(a)

例73：已知/(x)-/'(x)>0对VxwH恒成立，则下列式子肯定正确的是()

A./(2014)>/(0)e2014,/(-2014)e2014</(0)

B./(2014)</(0)e2014,/(-2014)e2014>/(0)

C./(2014)=/(0)e2014,/(-2014)e2014=/(O)

D.不确定

【2024高考新课标2,理12]设函数/''(X)是奇函数/(x)(xeR)的导函数，/(—1)=0,当x>0时,

犷'(X)-/(x)<0，则使得/(x)〉0成立的工的取值范围是()

A.L(0,1)B.(-l,0)J(l,+«>)C.(-a),-l)|J(-1,O)D.(0,l)U(l,+«))

【2024高考新课标1,理12]设函数/(x)=eY2x-1)-ax+a,其中若存在唯一的整数%,使

得了(/)<0,则。的取值范围是()

333333

(A),1)(B),-)(C)[—,-)(D)[—,1)

2e2e42e42e

[2024高考福建，理10】若定义在R上的函数满意/⑼=-1,其导函数尸(x)满意

f'(x)>k>l,则下列结论中肯定错误的是()

A.B.C.D.

例：设函圾(x)在