专题06 等腰(等边)三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略（原卷版）

专题06等腰(等边)三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略考点一等腰三角形的定义考点二根据等边对等角求角度考点三根据等腰三角形中三线合一求解考点四格点图中画等腰三角形考点五直线上与已知两点组成等腰三角形的点考点六求与图形中任意两点构成等腰三角形的点考点七等腰三角形的性质与判定考点八等边三角形的性质与判定典型例题典型例题考点一等腰三角形的定义例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【变式训练】1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对考点二根据等边对等角求角度例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，则的大小为（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【变式训练】1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（

）A． B．4 C．6 D．52．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．考点三根据等腰三角形中三线合一求解例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为_____．【变式训练】1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．考点四格点图中画等腰三角形例题：（2022·陕西·西安工业大学附中七年级阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知AB是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．8 B．7 C．6 D．4【变式训练】1．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，其中每一个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求在网格内作图．(1)在图1中作以AB为底的等腰△ABC，满足点C在格点上；(2)在图2中作以AB为腰的等腰△ABD，满足点D在格点上，且△ABD的面积为3．2．（2021·浙江温州·八年级期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．

要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．考点五直线上与已知两点组成等腰三角形的点例题：（2022·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（

）A．2个 B．4个 C．5个 D．7个【变式训练】1．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，）．M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2022·福建三明·八年级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为和，在坐标轴上确定一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（

）个A．4 B．6 C．8 D．10考点六求与图形中任意两点构成等腰三角形的点例题：（2022·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练】1．（2021·北京市丰台区怡海中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有_________个．2．（2021·湖北武汉·八年级期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为___．考点七等腰三角形的性质与判定例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．(1)求证：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．【变式训练】1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．【变式训练】1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝°；(2)当∠BAD＝____°时，△ABD≌△DCE？请说明理由；(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．(1)若的周长为18cm，求的长；(2)若，求的度数．考点八等边三角形的性质与判定例题：（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．(1)求证；(2)连接，若，，求的长．【变式训练】1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．(1)求证：△OCD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若，则∠CAD的度数为（）A．60° B．50° C．45° D．40°2．（2021·河北·香河县第四中学八年级期中）如图所示，△ABC是等边三角形，且AB=BD，则∠ADC等于(

)A．120° B．135° C．145° D．150°3．（2022·陕西·西安工业大学附中七年级阶段练习）等腰三角形的两边a、b满足，则这个三角形的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．13或174．（2021·四川凉山·八年级期中）如图，点D、E分别在等边三角形ABC的边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．60° B．55° C．45° D．30°5．（2022·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个二、填空题6．（2022·陕西·西安爱知初级中学八年级阶段练习）若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为________．7．（2022·浙江丽水·八年级期中）已知等腰三角形的周长20cm，一边长为8cm，则它的腰长是__________．8．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝________度．9．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MNBC，若AB=5，△AMN的周长等于12，则AC的长为______．10．（2020·浙江·八年级期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．三、解答题11．（2021·河北·香河县第四中学八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=AD=DC，∠B=60°，求∠C，∠BAC的度数．12．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．(1)求证：AB＝AC；(2)若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．13．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC．(1)如图①，若BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∠A＝40°，求∠D的度数；(2)如图②，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，AD，且∠BDC+2∠BDA＝180°，∠ABD＝60°，求证：DC+BD＝AB．14．（2022·山东泰安·七年级期末）△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．(1)如图，当时，判断△APB的形状并说明理由；(2)在点P的运动过程中，当△APQ的形状是等腰三角形时．请求出∠BQP的度数．15．（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图①，若∠BAC=60°，AB=AC=2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；(2)若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．16．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE<AB）．连结EF．(1)求证：EF⊥BC．(2)将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D．①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．17．（2022·四川达州·八年级期末）综合与实践：已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线