重庆2023-2024学年八年级下学期数学试题（含答案解析）

重庆西西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期数

学试题4

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【分析】

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴

对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图

形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心,

进行逐一判断是解决问题的关键.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意.

故选：D.

2.已知代数式工卡在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.xwlB.xwOC.x>0且xwlD.xNO且xwl

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到X20且1-6HO,进

行计算即可得到答案.

【详解】解：根据题意得：xNO且1-470,

解得：xWO且尤片1,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式

有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，是解题的关键.

试卷第1页，共33页

3.已知四边形/3C。是平行四边形，对角线NC与8D交于点。，下列结论不正确的是

A.当/3=3C时，它是菱形B.当/C18。时，它是菱形

C.当=时，它是菱形

D.当/C=3D时，它是菱形

【答案】D

【分析】

由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【详解】解：A、•••四边形/5CD是平行四边形，AB=BC,

，平行四边形/BCD是菱形，故选项A不符合题意；

B、,•・四边形N3C。是平行四边形，AC1BD,

平行四边形A8CD是菱形，故选项B不符合题意；

C、如图，

四边形/BCD是平行四边形，

.-.AD//BC,

ZDAO=ZBCA,

NBAO=NDAO,

NBAO=NBCA,

AB=CB,

:•平行四边形/8CD是菱形，故选项C不符合题意；

D、・••四边形/BCD是平行四边形，AC=BD,

，平行四边形是矩形，故选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识,

熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键.

4.估算(50+3百十6的结果()

试卷第2页，共33页

A.在6和7之间B.在7和8之间C.在8和9之间D.在9和10之间

【答案】A

【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可.

【详解】，：6也+3生）+卡

=5A/^"++3y/5+y/5

=Vio+3,

1.3<A/TO<4，

A6<V10+3<7,

故选A.

【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，熟练掌握除法运算，正确进行无

理数的估算是解题的关键.

5.已知一次函数>V随着x的增大而减小，且粕<0,则在直角坐标系内它的

大致图象是（）

【答案】A

【分析】

利用一次函数的性质进行判断.

【详解】解：：一次函数y=h+b,了随着X的增大而减小,

.•.左<0,

又•：kb〈0,

b>0,

「•此一次函数图象过第一，二，四象限.

故选：A.

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【点睛】本题考查了一次函数的性质.k>0,图象过第一，三象限；k<Q,图象过第

二，四象限.b>0,图象与了轴正半轴相交；b=0,图象过原点；b<0,图象与了轴

负半轴相交.

6.如图，在平面直角坐标系中，若将绕点。逆时针旋转90%得到△04",那

么8(6,2)的对应点"的坐标是()

【答案】C

【分析】

本题考查了坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求

得线段长度是解题的关键.过8作于C,过夕作8力，x轴于。，构建

NOB'D@B0C,即可得出答案.

【详解】解：如图，过8作8CLCM于C,过夕作B'DLx轴于。，

ZBC0=ZB'DO=90°,

Z2+Z3=90°,

由旋转的性质可知，ZB'OB=90°,OB=OB1,

.-.Zl+Z2=90o,

.•./1=N3；

在AOB'D和力OC中，

Z=/3

<NBCO=NB'DO=90°

OB=OB'

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：.NOB'BOC

:.B'D=OC,OD=BC,

又•••8(6,2),即8C=2,OC=6,

B'D=6,OD=2,

.•㈤(-2,6).

故选C.

7.菱形4BCD,/B=60。，E,F分别是CB,CD上两点，连接/E,AF,跖，且NE”=60。，

如果/8/E=a,则下列说法错误的是()

A.ZCEF=aB.ZFAD=60°-a

C./EFC=60。—aD.ZAFD=90°-a

【答案】D

【分析】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接/C,

由菱形性质得“3C是等边三角形，则可证明△以£丝尸，有AE=4F,则得△/所

是等边三角形，则可对各选项作出判断.

【详解】

解：如图，连接NC,

..•四边形/BCD是菱形，

AB=BC,

"：Z5=60°,

“8C是等边三角形，

/.AB=AC,ABAC=60°,

ZBAE+ZEAC=60°；

'：ZEAF=60°,

：.ZEAC+ZCAF=60°,

：.ZBAE=ZCAF=a；

,/AB//CD,

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ZACF=ZBAC=60°f

：.NB=ZACF=60。；

在△切石与VC4尸中，

'/BAE=ZCAF

<AB=AC,

AB二ZACF

：.ABAE^CAF(ASA)f

：.AE=AF,

■:ZEAF=60°,

・・・△/£/是等边三角形，

ZAEF=60°,

・・・ZCEF+乙4EB=180°-60°=120°,

NBAE+ZAEB=180°—120。=60°,

・・・/CEF=/BAE=a,

故选项A正确；

AD//BC,

：./BAD=/BCD=180。—=120°,

・・・/FAD=/BAD-/BAE-ZEAF=60。—a,

故选项B正确；

・・•/EFC=180。—ZCEF-/BCD=60。—a,

故选项C正确；

/D=/B=60°,

.・・ZAFD=180。—/FAD-ZD=180°-(60°-a)—60。=60。+a,

故选项D错误；

故选：D.

8.如图所示，在直角坐标系中，已知点4(-3,0),5(0,4),对ACMB连续作旋转变换，

依次得到三角形①、②、③、④，L,若连续作旋转变换，则第2023次旋转后的三

角形的直角顶点的坐标为()

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【分析】本题考查了坐标与图形变化一旋转，观察不难发现，每三次旋转为一个循环组

依次循环，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求

出一个循环组旋转过的距离，即可得解，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并

且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题

的关键.

【详解】解：:/（TO）,5（0,4）,

AB=A/32+42=5，

由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，三角形④的直角顶点的坐标为

（12,0）,

这样旋转6次直角顶点是（24,0）,再旋转一次到三角形⑦，直角顶点仍然是（24,0）,L,

题中旋转变换规律是每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角

形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合，

,.12023+3=674-1,

A674x12=8088,再翻转一次，直角顶点不变，

...第2023次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（8088,0）,

故选：B.

9.如图，在平行四边形/BCD中，AB=\2,ZABC=60°.BE平分ABC,交边AD

于点E,连接CE,若AE=2ED,则CE的长为（）

BC

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A.10B.6C.6A/3D.3娓

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、

含30。直角三角形的性质、勾股定理等知识.由平行四边形的性质可得乙D=N/3C=60。，

CD=AB=12,AD//BC,由平行线的性质可得N/E2=NC8E,由角平分线的定义可

得乙4BE=NCBE,从而得至UN4BE=NAEB,推出/E=4B=12,DE=6,过点E作

EF,CD于点、F,由直角三角形的性质和勾股定理可得。尸=＜。£=3,EF=3也,

CF=9,即可得到答案.

【详解】解：••・四边形/是平行四边形，

/.ZD=ZABC=60°,CD=AB=\2,AD〃BC,

ZAEB=ZCBE,

BE平分NABC,

/.ZABE=ZCBE,

NABE=ZAEB,

AE=AB=\2,

vAE=2ED,

DE—6,

如图，过点E作EF_LCD于点、F,

则N£FC=NEFD=90。,

ZDEF=90°-ND=90°一60°=30°,

:.DF=LDE=3,

2

EF=^DE2-DF2=A/62-32=3百，CF=CD-DF=12-3=9,

:.CE=yJcF2+EF2=(3时=^08=6枢，

故选：C.

10.对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称

为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1,2,3进行“差绝对值运算”，得到：

试卷第8页，共33页

|l-2|+|2-3|+|l-3|-4.

①对-2,3,5,9进行“差绝对值运算”的结果是35；

②x,5的“差绝对值运算”的最小值是二；

22

③a,b,c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；

以上说法中正确的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】

①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；

②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；

③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可

判定.

【详解】解：①对-2,3,5,9进行“差绝对值运算”得：

=5+7+11+2+6+4

二35,

故①正确；

②对x,-1,5进行“差绝对值运算”得：

x+—+lx-5|+---5

2112

5।15

—XH---+X—5H-----

2112

x+|+|x-5|表示的是数轴上点x到-g和5的距离之和，

x+g+|x-5|的最小值为■|+5=g,

.”，-1,5的“差绝对值运算”的最小值是：y+y=15,故②不正确;

对a,6,c进行“差绝对值运算”得：

|6Z-/?|+|4Z-c|+|Z7-c|,

当。一人20,a-c>0,b—c>0,

|a—Z?|+[a—c|+|Z7—c|

=a-b+a-c+b-c

试卷第9页，共33页

二2。一2c；

a—b>0,a-c>0,b-c<0f

|a—Z?|+|tz—c|+0—c|

=a-b+a-c-b+c

=2a-2b；

当Q-Z?20,a-c<0,b-c>0,

卜一耳+卜一,+0-c|

=a-b-a+c+b-c

二0;

当〃一620,a-c<0fb-c<0,

147—Z7|+—c|+|'一d

=a-b-a+c-b+c

=2c-2b；

当a-c<0,b-c<0,

卜一耳+|a-c|+0-c]

——ci+h—a+c—bc

——2Q+2c；

当。一bWO,a-c>0,b-c>0,

\u—Z?|+—c|+0—c]

——ci+6+a—c+6—c

=26—2c；

当a-Z)«O,a-c>0,b-c<0,

一耳+,一4+0-4

——ci+6+a—c—b+c

=0;

当。一a-c<0fb-c>0,

—Z7|+14—c|+0—c|

=-a+b-a-\-c+b-c

=—2a+2b；

a,b,。的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种,

试卷第10页，共33页

故③不正确，

综上，故只有1个正确的，

故选：B.

【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值

运算，整式的运算是解题的关键.

二、填空题

11.16的算术平方根是.

【答案】4

【详解】解：;（±4）2=16

.'.16的平方根为4和-4,

A16的算术平方根为4,

故答案为：4

12.点尸在一次函数了=-3尤+2的图象上，且点尸到x轴的距离为3,则点P的坐标

为.

【答案】］别或修-3）

【分析】

此题主要考查了考查一次函数图象上的点的坐标的特点.用到的知识点为：点到x轴的

距离等于此点的纵坐标的绝对值；点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析

式.与x轴的距离等于3,那么点的纵坐标为±3,代入一次函数可得其横坐标.

【详解】

解：•・・点P到x轴的距离为3,

，点尸的纵坐标为±3,

当y=3时，x=-i；

当尸-3时，x=|,

则P点的坐标为：［一03］或

故答案为：［一；，3］或

13.如图，菱形N5CD中，ZA=108°,的垂直平分线交对角线3。于点尸，垂足为

N,连结CP,则度.

试卷第11页，共33页

D,C

【答案】72

【分析】连接/尸，根据菱形的对角线平分一组对角求出//DP,根据线段垂直平分线

上的点到线段两端点的距离相等可得AP=CP,再根据等边对等角可得尸

然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出N/P2再根据菱形的

对称性可得ZCPB=/APB

【详解】解：如图，连接/P,

在菱形/BCD中，N4DC=72。，

ZADP^IZADC=yX70°=36°,

,:NP是AB的垂直平分线，

：.AP=CP,

：./ADP=/DAP=36。,

：.ZAPB=ZADP+ZDAP=36°+36°=72°,

由菱形的对称性得，ZCPB=NAPB=72°.

故答案为：72.

【点睛】此题考查菱形的性质，掌握性质是解题关键

14.如图，在“中，ZABC=90°,8c=48,P为8c内一点，且尸/=3,PB=2,

ZBPC=135°,则AABC的面积为.

试卷第12页，共33页

A

［答案］5+2V2

2

【分析】把APBC绕点BC逆时针旋转90。得到△&)”,根据旋转的性质可得△尸2。是

等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出产。，NPDB=45°,然后判断出

NPDA=9。。，AP/。与△/DC是直角三角形；在直角三角形△尸/。中，根据勾股定理

求出工。,在直角三角形△/ZX;中，根据勾股定理求出NC,再求出AB，最后根据面积公

式求出即可.

【详解】解：如图,

把APBC绕点BC逆时针旋转90。得到ABDA,

根据旋转的性质可得△尸2。是等腰直角三角形,

BD=BP=2,ZADB=ZCPB=135°,

PD=血PB=272，ZBDP=45°

ZPDA=ZADB-ZBDP=135°-45°=90°

AD2=PA2-PD2-（2A/2）2=1,

AD=1

在直角三角形△/DC中

AC2^AD2+DC2=P+（2V2+1『=10+4/2

AB2==^1-=5+2A/2

试卷第13页，共33页

=5=2

22

5+2行

故答案为:

-2--

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性

质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键.

15.如图，在矩形/BCD中，AB=6,/。=5,点尸在边4D上，点。在边上，且

AP=CQ,连接CP,QD,则PC+”的最小值为.

【答案】13

【分析】连接AP,在比1的延长线上截取/£=/8=6,连接尸£,CE,PC+QD=PC+PB,

则PC+QD的最小值转化为尸C+P2的最小值，在BA的延长线上截取/召=48=6,贝U

PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,根据勾股定理可得结果.

【详解】解：如图，连接2P,

在矩形中，AD//BC,AD=BC,

'：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

四边形DPBQ是平行四边形，

：.PB//DQ,PB=DQ,

则PC+QD=PC+PB,贝！IPC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,

在BA的延长线上截取AE=AB=6,连接PE,

'JPALBE,

...总是3E的垂直平分线，

：.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

连接CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

试卷第14页，共33页

;BE=2AB=12,BC=AD=5,

CE=^BE2+BC2=yJn2+52=13.

J.PC+PB的最小值为13.

故答案为：13.

【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两

点之间线段最短的知识是解答此题的关键.

三、解答题

16.如图，将一张长方形纸片/8CD沿着对角线5。向下折叠，顶点/落在点/处，A'D

交8C于点E,BC的垂直平分线分别交3DBC,点尸，G,H,连接CF,CH,若

AD=8,AB=6,则G〃的长为.

【分析】根据翻折得到A'B=AB=CD=6,ZA'BD=AABD=ZCDB,

NBEA'=NDECZA'=NDCE=9Q°,^A'BE^CDE,则有H£=C£,BE=DE,在

7

RtVOCE中利用勾股定理得到=连接£〃，根据勾股定理求出H”,然后解题

4

计算即可.

【详解】解:由题可知=48=CD=6,ZA'BD=NABD=ZCDB,ZBEA'=/DEC

ZA'=ZDCE=90°,

^A'BE^CDE,

：.A'E=CE,BE=DE,

设CE=f,贝!J3E=8-

在RtVDCE中,CE?+CD-=DE2,

.•"2+6?=（87）2,解得t=Z,

7

/.A'E=-=CE,

4

1/HF是BC的垂直平分线，

BG=CG=4,

试卷第15页，共33页

79

・・・GE=CG—CE=4——=—,

44

连接E".设=x，则3〃=6-x,

在RtMG〃中，GH2=BH2-BG2=（6-x^-16,

49

在RtZU'E〃中，EH2=A'E2+A'H2=x2+—

16

7«i49

在RtAEGH中,GH?+GE?=EH?,即：（6—x）—16H----=x2H-----

1616

【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质，翻折的性质，掌握勾股定理是解题的关键.

四、填空题

%-—（4«-2）<—

17.若关于x的一元一次不等式组，；2的解集为xv%且关于的分式方

3x-lc

-----<x+2

[2

4。一3

程^一「厂=1有非负数解，则满足条件的所有整数。的和为_____.

2y-ll-2j;

【答案】8

【分析】

本题主要考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解以及解分式方程.

由关于x的一元一次不等式组的解集为xVa,可得。<5,由关于y的分式方程有非负

数解，可得。2-2且。片-1,从而满足条件的所有整数a,再求它们的和即可得出答案.

x-；（4a-2）①

【详解】

3x—1_

-------<%+2（2）

,2

解不等式①，得

解不等式②，得x<5,

试卷第16页，共33页

:关于X的一元一次不等式组的解集为,

・・cz<5,

:该分式方程有非负数解，

・••当y=；a+l时，2y-lw0且

:.aN-2JLaw-1,

—2V。＜5且a——11

，满足条件的所有整数a为：-2,0,1,2,3,4,

它们的和为：-2+0+l+2+3+4=8.

故答案为：8

18.如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成/义3,其中A与B都是两位数,

A与3的十位数字相同，个位数字之和为8,则称数"为“八喜数”，把数M分解成

W=/x5的过程，称为“八喜分解”.例如572=22x26；22和26的十位数字相同，

个位数字之和为8,故572是“八喜数”.把一个“八喜数”M进行“八喜分解"，即

M=AxB,A与B之和记为尸（M）,A与3之差记为0（M）,令，当G（M）=

被8整除时，则满足条件的M的最大值与最小值的差是.

【答案】3528

【分析】

本题考查了因式分解的新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一

次方程的应用，关键是准确理解“八喜数”含义,能把N和8用含。和6的式子表示出来.设

/的十位数为。，个位数为6,则2为10。+8-6,根据G（M）能被8整除求出a的可能的

值，再由。的值求出6的值，即可得出答案.

【详解】

解：设/的十位数为a,个位数为b,

贝iJ/=10a+6,B=10a+S-b,

A+B=20a+8,—J5|=|2Z,—8|,

能被8整除,

\A-B\

试卷第17页，共33页

.204+84（5。+2）

=8k,左为整数,

"\2b-S\~2|Z）-4|

5a+2=(,-4])4左=4左(6-40

，5a+2是4的倍数,

满足条件的a有2,6,

48,

若。=2,则区二®=8后后为整数,

-4|是3的因数，

—4=—3,-1,1,3,

，满足条件的6有I,3,5,7,

：.A=2],8=27或/=23,2=25或/=25,8=23或/=27,8=21,

NxB=567或575,

128。，,

若。=6,则防两怎左为整数，

•..Q-4|是8的因数，

.•.^-4=-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,又自然数州的个位数字不为0,

满足条件的6有2,3,5,6,

A=62,8=66或/=63,8=65或N=65,8=63或N=66,B=62,

：.Nx8=62x66=4092或4095,

综上，M的值为567或575或4092或4095.

所以M的最大值与最小值的差=4095-567=3528.

故答案为：3528.

五、解答题

19.计算：

试卷第18页，共33页

12x

⑶

(4)U+2+^-2m+6

m2-4m+4

【答案】（1）2

⑵5-36

⑶一土

/八加2-5加+6

⑷

【分析】

此题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解此题

的关键.

（1）先算二次根式的乘除，零指数幕，利用二次根式的性质化简，再合并即可；

（2）先算负整数指数幕、零指数幕，利用二次根式的性质化简和绝对值，再合并即可;

（3）根据分式的减法法则计算即可；

（4）根据分式的混合运算法则计算即可.

【详解】（1）解：原式=3行一2应+1-（逝一1）

=3亚-2亚+1-亚+1

=2；

（2）解：原式=2+1-2■+2-6

=5-36;

x—\2x

⑶解：原式=(x+D(x-l)一(x+D(x-l)

x~\—2.x

二一(x+l)

1

7^1

（加+2）（加—2）52(m+3)

⑷解：原式=

二m-2(m-2)2

m2-9(m-2)2

m-22(m+3)

试卷第19页，共33页

(m+3)(m-3)(m-2)2

m-22(m+3)

(m-3)(m-2)

一2

_m2-5m+6

-2•

20.学习了矩形的判定后，小蒋对等腰三角形底边上的高和底角顶点到顶角外角平分线

的距离的数量关系进行了拓展性研究.请根据他的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作等腰三角形45。的外角/C4"的角平分线ZN,再过点。作

于点H.(只保留作图痕迹)

已知：如图，三角形45C中，AC=AB,4。是底边5c上的高，AN平分/CAM,

。〃，力"于点”.求证：AD=CH.

：./CAN='/CAM

2

VAC^AB,4D是底边8c上的高

.•.或ZADC=90°

又•?Z.BAC+ZCAM=180°

/.ZDAH=^(ZCAB+ACAM)=(2)

又；CHLAN于点、H

四边形/DC"为矩形

/.AD=CH

小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征.请你依照题意完成下面命题：等腰

三角形底边上的高等于④.

【答案】作图见解析；①NCAD；②90。；③ZAHC；④底角顶点到顶角外角平分线的

试卷第20页，共33页

距离；

【分析】

按照作角平分线的方法、作垂线的方法进行即可；读懂推理过程，完成填空即可

【详解】解：作图如下：

证明：•:AN平货ZCAM,

：.ZCAN=-ZCAM,

2

AC=AB,是底边8c上的高，

NCAD=-ZCAB,NADC=90°,

2

又,?ZBAC+ZCAM=180°,

/.ADAH=+ZCAM)=90°,

又；CHLAN于点、H,

：.ZAHC=90°,

四边形/DC"为矩形

/.AD=CH

小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征.请你依照题意完成下面命题：等腰

三角形底边上的高等于底角顶点到顶角外角平分线的距离.

故答案为：①NC4D；②90。；③ZAHC；④底角顶点到顶角外角平分线的距离

【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线与垂线，等腰三角形的性质，矩形的判定与

性质等知识，证明矩形是关键.

21.如图，在RtA/L8C中，ZBAC=90°,。为的中点，E为/。的中点.过点A作

/尸〃3c交CE的延长线于点尸，连接

试卷第21页，共33页

(1)求证：四边形尸为菱形；

(2)若/B=8,菱形4D5F的面积为40,求/C的长.

【答案】(1)详见解析

⑵/C=10

【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定

与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键.

(1)利用平行线的性质可得44%=4CD,AFAE=ZCDE,利用中点的定义可得

AE=DE,从而证明且ACDE,然后利用全等三角形的性质可得4F=CD,再根

据。是8c的中点，可得4尸=BD,从而可证四边形/打。是平行四边形，最后利用直

角三角形斜边上的中线可得8。=AD,从而利用菱形的判定定理即可解答；

(2)利用(1)的结论可得S菱形ADBF=2S,ABD;再根据点D是BC的中点，可得S"BC=2sA超。，

进而可得S菱形WBF=S.ABC，然后利用三角形的面积进行计算即可解答.

【详解】(1)证明：

乙4FC=ZFCD,NFAE=ZCDE,

•••点E是/。的中点，

/.AE=DE,

:AFAE%CDE(AAS),

AF=CD,

••・点。是BC的中点，

BD=CD,

AF=BD,

，四边形4FaD是平行四边形，

■：ABAC=90°,D是BC的中点，

:.AD=BD=-BC,

2

，四边形4D8尸是菱形；

(2)解：；四边形歹是菱形，

试卷第22页，共33页

,•S菱形33R-2S“BD，

•・•点。是BC的中点，

,•S^ABC=2S4ABD，

••S菱形四§尸=S公ABC=40,

-AB-AC=40,

2

-x8-^C=40,

2

AC=10,

的长为10.

22.重庆市涪陵区是中国规模最大、最集中的榨菜产区，享有中国“榨菜之乡”的美誉.已

知3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜

干的进价共260元.

(1)请分别求出每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价.

(2)某特产店计划用不超过5600元购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干共150件，且鲜脆榨菜

丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的在销售过程中，每件鲜脆榨菜丝的售价为50元,

每件麻辣萝卜干的售价为42元.为了方便顾客选择喜欢的口味，特产店拿出一件鲜脆

榨菜丝和一件麻辣萝卜干作为样品让顾客免费品尝(此样品不再销售给顾客).若剩下

的特产全部都卖完，该特产店应如何进货，可使利润最大？最大利润为多少元？

【答案】(1)每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价分别为40元、30元.

(2)购进鲜脆榨菜丝90件，麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为1598元.

【分析】

本题考查了二元一次方程组的应用*一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据

题干中的等量关系正确列式是解题关键.

(1)设每件鲜脆榨菜丝的进价为x元，每件麻辣萝卜干的进价为了元，根据题意列二

元一次方程组求解即可；

(2)设利润为w,鲜脆榨菜丝的数量为。件，则麻辣萝卜干的数量为(150-a)件，先

根据题意列一元一次不等式组，求出。的取值范围，再根据题意列出卬关于。的一次函

数，利用一次函数的性质求最值即可.

【详解】(1)解：设每件鲜脆榨菜丝的进价为x元，每件麻辣萝卜干的进价为了元，

试卷第23页，共33页

3x+4y=240x=40

由题意得:解得:

5x+2y=260y=30

答：每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价分别为40元、30元.

(2)解：设利润为w,鲜脆榨菜丝的数量为。件，则麻辣萝卜干的数量为(150-。)件,

.3

心一(150—Q)

由题意得：2')，

40a+30(150-a)<5600

解得：90<a<110,

•.•w=(50-40)(a-l)+(42-30)(150-a-l)=-2a+1778,

-2<0,

；.坟随a的增大而减小，

.•.当”=90,150-a=60时，w有最大值，最大值为-2x90+1778=1598元，

即购进鲜脆榨菜丝90件，麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为1598元.

23.如图，四边形NBCD中，4D〃BC,NB=90。,4B=3,BC=24D=4.点、P从C出发,

沿着折线A4运动，到达点A停止运动.设点P运动速度为2,时间为x,连接。P,

记△。尸C的面积为了，请解答下列问题：

7

6

5

4

3

2

1

d1234567*

(1)直接写出了关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；

4

(3)结合图象，当的面积不大于四边形/BCD面积的9•时，直接写出x的取值范

围.(结果保留一位小数，误差不超过0.2)

>>=3x(0<x<2)

【答案】⑴_<7)

y——2?x+10[2<xK—I

(2)图见详解，在0V尤V2,y随x的增大而增大(有理即可)

4

(3)当的面积不大于四边形/BCD面积的§时，x的取值范围为OVxWl.3或

34x43.5.

试卷第24页，共33页

【分析】（1）当点尸在5C上时，y=-AB-CP=-x3x2x=3x,当点尸在上时，

22

y=^AD+BC）xAB-QAD-AP^BC-BP^,进而可求解；

（2）根据（1）中表达式画函数图象即可，在0Wx42,y随x的增大而增大（有理即

可）.

441

⑶S△的四边形皿=5X5（2+4）x3=4,当点尸在8C上时，>=3x44,当点P

在上时，y=-2x+10<4,进而可解答；

【详解】（1）解：当点P在BC上时，y=；/8VP=1x3x2x=3x,

当点P在上时，y^AD+BC）xAB-^AD-AP^BC-BP^,

即y=；（2+4）x3-1x4-（2x-4）+1x2-（3-2x+4）=-2x+10,

y=3x（0<x<2）

y——2.x+1of2<xj

（2）根据（1）中表达式画函数图象如下:

在0Wx42,歹随x的增大而增大.

4

<S41

PC-9-四边形458=方（2+4卜3=4,

4

当点尸在5C上时，歹=3%<4,即

4

0Wx<一,

3

当点尸在43上时，j^=-2x+10<4,即x23,

7

3<x<-,

2

4

・・・当4DPC的面积不大于四边形力BCD面积的⑹时，工的取值范围为0W%W1.3或

3<x<3.5.

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确写出函数关系式是解本题的关键.

试卷第25页，共33页

24.如图，在平面直角坐标系中，直线了=百》+9分别交x轴、V轴于点A、点B,直

(1)求直线的解析式；

(2)如图2,过点A的直线交线段8c于点W,且满足A48M与ZUCM的面积比为4:5,

点£和点尸分别是直线4W和x轴上的两个动点，当CE+C尸的值最小时，求出点M坐

标及CE+CF的最小值.

⑶如图3,在(2)的条件下，将点M沿着射线03方向平移2个单位得到点AT,将BOC

沿着射线M4方向平移2个单位得到AB'。'。，若点。是直线上的一个动点，当

△W'O0是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点。的横坐标.

【答案】(1)直线3c的解析式为：了=_罕x+9

⑵点M的横坐标为：2百；CE+C尸的最小值为：y

(3)点。的横坐标为：孚或一竽或一学

【分析】

(1)通过直线的解析式求出点B的坐标，已知C坐标，用待定系数法求出直线

的解析式；

(2)"2W与的高相等，底边之比等于面积之比，BM：MC=4：5,通过成比

例线段可求点“坐标；经计算可得射线恰好是/"C的角平分线，在射线上

截取/C',C'点到无轴的距离，即为CE+C尸的最小值；

(3)由平移的性质可知直线和直线//斜率相同，可求出点。'和点AT坐标，由。

在直线43上，设。点坐标为","+9),当MM或〃'='时，是以

为腰的等腰三角形，用点到点距离公式代入，即可求解.

【详解】(1)•••点3是直线y=^x+9与V轴的交点，设点B坐标为(0,6),

试卷第26页，共33页

Z)=V3xO+9=9,

二点3坐标为：（0,9）,

设直线3c的解析式为y=h+b,

•••直线BC经过点8（0,9）和点《手,o1,

9=0xk+6

：」0=W+b

[2

'k—巫

解得3

b=9

故直线3c的解析式为：y=-^Hx+9.

3

⑵；,

AABM与/\ACM的面积比为4:5,

:.BM：MC=4：5,

过点M分别作x轴和了轴的垂线，分别交x轴和了轴于点G、点7/,

根据平行线成比例线段可得：OG：GC=BH:HO=BM：MC=4:5,

又g=9,OC=—，

2

OH=5,OG=273，

•・•点M的坐标为：（2>/3,5）,

,•,点A是直线y=gx+9与x轴的交点，设点A坐标为（。,0）,

/.0=73xa+9，解得：a=-3垂)

•・•点A坐标为：”6,0）,

又•.•点M佃回,5）,点C

试卷第27页，共33页

LZ5—0

•••直线”的斜率如二百，直线的斜率3M=26-

3，

g竽+3孙苧

ABAC=60°,ZM4c=30°,

NBAE=ZCAE，

在射线A8上取点C',使得/C'=/C,连接C'E,过点C'作x轴的垂线，交x轴于点/,

AC=AC

在△（2/£■和VC4E中，＜ZCAE=ZCAE,

AE=AE

.•.△CNE均G4E（SAS）,

:CE=CE,C'A=CA,

C'lc'T

上_尸=sin60°=

t-./-j.-―[*,口sinZ.BAC——

由二角函数可得，C'A15V32,

2

解得：CI=?45

25

:.CE+CF=C'E+EFNCI=—

4

45

故点M的横坐标为：26；CE+CF的最小值为:

T

由平移的性质可得，00'//AM,B'O'//BO,O'C//OC,M'M//OB

AOO'K=60。，点W坐标为（26,7卜

试卷第28页，共33页

由三角函数可得，sin/00'V=焉OK

=sin60°=—,

22

O'K竺:cos6