2022北京西城区高二下学期期末数学试题和答案

2022北京西城高二（下）期末数学一、选择题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．若a，b，c成等差数列，则()A．2b=a+c2．函数B．2b=acC．b2=a+cD．bD．2=在x2处的瞬时变化率为（B．﹣4）A．﹣2C．3．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为()1438125A．B．C．D．84．已知函数f(x)=sinx+x，f(x)为f(x)的导函数，则()A．f(x)f(x)2sinx+=B．f(x)+f(x)=2x−=−C．f(x)f(x)2sinxD．f(x)−f(x)=2x5．在等比数列a}中，a=4，a=1，则a=()n153A4B．4C．2D．26．若等差数列a}满足a0，a+a0，则当a}的前n项和最大时，n=()n8710nA77．设函数f(x)=axB．8C．9D10的图象过点(，3+bx2+4x的极小值为−8，其导函数yf(x)=如图所示，则f(x)=()2A．−x3−x2+4xB．−x3−2x+x22+4x+4x3C．−x3+4xD．2x38．在等比数列a}中，a=8，a=−1．记T=aa1，2，，则数列n}(B．有最大项，无最小项D．无最大项，无最小项)n14n12A．有最大项，有最小项C．无最大项，有最小项9．数列a}的通项公式为a=n2−2n(n=．若an}为递增数列，则的取值范围是()nn33A．，+)B．(,+)C．(，D．(−,)2210．设P为曲线y=ex上一点，Q为曲线y=lnx上一点，则||的最小值为()2A．B．1C．2D22二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。lnx5分）设函数f(x)=，则f（1）=．x125分）已知随机变量X的分布列如下：X012pP0.40.4则p=；D(X)=．135分）若曲线y=a−x+bx在x=2处的切线方程为y=(e−x+4，则a=；b=．145分）已知a}是公比为q的等比数列，其前n项和为S．若S=5S，则q=．nn42155分）已知正方形ABCD的边长为1．取正方形ABCD各边的中点A，B，C，D，作第2个正方形1111ABCD；然后再取正方形ABCD各边的中点A，B，C，D，作第3个正方形ABCD；，依此方法一1111111122222222直继续下去．给出下列四个结论：①从正方形ABCD开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列；②从正方形ABCD开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列；③从正方形ABCD开始，所有这些正方形周长之和趋近于8；④从正方形ABCD开始，所有这些正方形面积之和趋近于2．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16分）已知函数f(x)=(x−e（Ⅰ）求f(x)的极值；x．（Ⅱf(x)在区间[−1，2]上的最大值和最小值．17分）在等差数列a}中，a=3，a=7．n24（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若b−a}是公比为2的等比数列，b=3，求数列b}的前n项和S．nn1nn18分）某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近00个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）:选择餐厅（早餐，午餐）(,)(,B)(B,)(B,B)甲乙3020202540151040假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．（Ⅰ）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；（ⅡX为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E(X)；（Ⅲ）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．19分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是C(x)=10000+20x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是1−x3+3x+290x,0x1202S(x)=30．x120（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？20分）已知函数f(x)=x−lnx．（Ⅰ）判断f(x)在区间上的单调性，并加以证明；（Ⅱa0，若f(e−)x对x+)恒成立，求a的最小值．21分）已知a}是公差不为0的无穷等差数列．若对于a}中任意两项a，a，在a}中都存在一项a，使nnmnni得a=aa，则称数列a}具有性质P．imnn（Ⅰ）已知a=3n，b=n+2(n=1，，，判断数列a}，b}是否具有性质P；nnnn（Ⅱ）若数列a}具有性质P，证明：a}的各项均为整数；nn（Ⅲa=20，求具有性质P的数列a}的个数．1n参考答案一、选择题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1a，b，c成等差数列，得b−a=c−b，由此能求出结果．【解答】解：a，b，c成等差数列，b−a=c−b，整理得2b=a+c．故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】利用导数的定义求解．【解答】解：（x）＝﹣，由导数的定义可知函数在＝2处的瞬时变化率为2）＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．34次，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为：1138p=C42()2−)2=．22故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．4【解答】解：f(x)=sinx+x，f(x)=x−sinx，f(x)+f(x)=2x，A错误，B正确；f(x)−f(x)=2sinx，C、D错误．故选：B．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5【解答】解：在等比数列a}中，a=4，a=1，n153=aa=4，且a，a，a同号，151352则3=2．故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6an}8项为正数，从第9项开始为负数，由此能求出结果．【解答】解：等差数列a}满足a+a0，n710a+a=a+a0，89710，a0，a−a=d0，998等差数列an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，当n}的前n项和最大时n的值为8．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．=2+bx+4，根据所过的点可得b=3a+1，结合图象求出极小值点并代入f(x)求参7f(x)ax数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设．=2+bx+4，【解答】解：由题设，f(x)ax则f(2)12ab40，故b3a+1，−==−+==2+a+x+4=ax+2)(x+2)，所以f(x)ax2令f(x)0，可得x=−2或x=−=，a由图知a0且x=−2处有极小值，所以−8a+4b−8=−8，即a=−1，b=−2，经验证满足题设，=−故f(x)故选：B．x3−2x+4x．2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属基础题．8a}的公比，即可得a}的通项公式，由此可得T的表达式，分n为偶数和奇nnn数两种情况讨论，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列an}的公比为q，41112若a=8，a=−1，则q3==−，解可得q=−，14812则n1=qn1=8(−)n1=(n124−n，n(nn(7−n)故T=aa122，22nn(7−n)分析可得：当n为偶数时，n为正，当n=4时，2最大，此时n取得最大值，2n(7−n)当n为奇数时，n为负，当n=3时，2故选：A．最大，此时n取得最小值，2【点评】本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式，属于基础题．9n1−n=(n+−2(n+−n+2n=2n+1−20，变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，数列n}的通项公式为n22=n2−2n(n=，则n1n(n−=+2−2(n+=+−0，+−n22n2n122n+1变形可得：，233又由n=1、2、3，必有，即的取值范围为(−,)；22故选：D．【点评】本题考查数列的函数的特性，涉及数列的单调性，属于基础题．10y=x对称，求||的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，再由点到直线的距离公式求解．【解答】解：曲线y=e与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，x故可先求点P到直线yx的最近距离d，设曲线y=e上斜率为1的切线为y=x+b，，由e=1，得x=0，故切点坐标为，即b=1，=xx12d==，212+122|PQ|的最小值为2d=2故选：C．=2，2【点评】本题考查互为反函数的函数图象的对称性以及导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，考查化归与转化思想，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。f(x)，再求f（1．lnxx−lnx1−lnx1−1【解答】解：f(x)=故答案为：1=，f（）==1x2x21【点评】本题考查函数求导运算，属于基础题．12p，然后求解期望和方差即可．【解答】解：由题意可得：0.4+p+0.4=1，可得p=，所以E(X)=00.4+10.2+20.4=1，所以D(X)0.4(0=−2+0.2−2+0.4(2=0.8．−2故答案为：0.2；0.8．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及方差的求法，是基础题．13x=2处的导数值等于切线的斜率，且函数在x=2处的函数值相等，列方程组求解a与b的值．【解答】解：由y=a−x+bx，得y=ea−x−xea−x+b，曲线y=a−x+bx在x=2处的切线方程为，y=(e−x+42ea−2b2(e+4+=−，解得a=2，b=e．ea−2−ea−2+b=e−1故答案为：2；e．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．1−q1−q4)1−q)1−q214n项和公式可得=5，解可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列a}中，若S=5S，其公比q1，n421−q1−q4)1−q)1−q2则有=5，解可得q=2，故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．15n项和公式和极限思想判断周长、面积之和的极限值．【解答】解：由题意，第1个正方形边长为1，则周长为，面积为1；212第2个正方形边长为，则周长为22，面积为；211第3个正方形边长为，则周长为2，面积为；24221n12第n个正方形边长为()n1，则周长为4()n1，面积为()，22周长、面积均依次成等比数列，①错误，②正确；24−(n)]22所有正方形周长之和为=4(2+−(n)]，故周长之和无限接近于4(2+2)，③错误；221−211−()n12所有正方形面积之和为故答案为：②④．=−()n]，故面积之和趋近于，④正确．121−2【点评】本题考查了等比数列前n项和公式和极限思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16Ⅰ）求出导函数f(x)，由导数与单调性的关系求出单调区间，从而可得极值；（Ⅱ）由（1f(x)在区间[1，2]上的单调性，计算极值与区间端点处的函数值，从而可得最值．−）f(x)=ex+(xe=−xx，当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，当x0时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)的极小值为f(0)=−1，无极大值．（Ⅱ）由（1f(x)在[1，0)上单调递减，在(0，−2]上单调递增，2f(0)=−1，f(=−，f（2）=e2，e所以最大值为e2，最小值为1．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于基础题．1+d=317Ⅰ）直接利用等差数列的性质建立方程组，求出首项和公差，进一步求出数列的通项公1+d=7式；（Ⅱ）利用分组法的应用求出数列的和．）等差数列a}中，a=3，a=7，n24设首项为1，公差为d，a=a+d=3所以21，解得1=1d=2，a=a+d=741故n=1+2(n−=2n−1；（Ⅱ）由于b−a}是公比为2的等比数列，b=3，nn1故nn=32−n1，整理得n(2n+32=−n1，(2−n所以Sn+3+5+...2n3(2=+−+0+21+...+2n1)=n2+3=n2+32−．n321−【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18Ⅰ）由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算概率；（Ⅱ）得出X的可能值是3，4，计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．（Ⅲ）直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，午餐选择B餐厅用餐的概率，比较即得．60）由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为，概率为P==0.6；100（Ⅱ）易知X的可能值是3，4，4060P(X=2)=P(X==P(X=4)==0.24，10010040406060+=0.52，1001001001006040=0.24，100100X的分布列为XP2340.240.520.24E(X)=20.24+30.52+40.24=3．（Ⅲ）甲在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为1==0.4，254559乙在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为2=所以乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐．=0.4，【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．19(I)利用W(x)=S(x)−C(x)求出利润函数即可；(II)利用导数求W(x)在0x120上的最大值，由一次函数单调性求x上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量．1−x3+3x+270x−10000,0x1202【解答】解：(I)由题意，利润W(x)=S(x)−C(x)=30．15400−20x,x1(II)由（1当0x120时，W(x)=−x3+3x2+270x−10000，3011所以W(x)=−x2+6x+270=−(x−90)(x+30)，令W(x)=0，则x=90或x=−30（舍)，1010故x(0,90)，W(x)0，即W(x)递增；x，W(x)0，即W(x)递减；所以W(x)的极大值也是最大值为W=14300当x时，W(x)递减，此时最大值为W=13000综上，使商品的利润最大，产量为百件．【点评】本题考查函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．20Ⅰf(x)求导，利用导数的正负判断函数的单调性；1（Ⅱ）先判断出0e−x1，0xa1，结合（Ⅰ）中f(x)的单调性，将f(e−x)对x+)恒成立，等价exx转化为a对x+)恒成立，令g(x)=−，利用导数求出g(x)的最大值即可得解．lnx）f(x)在区间上单调递减，证明如下：1x−1因为f(x)=1−=，且x，xx所以f(x)0，所以f(x)在区间上单调递减．1（Ⅱ）因为x+)，所以0e−x1，e又因为当a0，x+)时，0xa1，由（Ⅰf(x)=x−lnx在区间上单调递减，所以f(e−等价于e−x)对x+)恒成立，x对x+)恒成立，x等价于lne−令g(x)=−x对x+)恒成立，即alnx+1对恒成立，x+)nxx，x+)，则g(x)=，lnx2lnx令g(x)=0，得xe，=所以当xe)时，g(x)0，g(x)单调递增，当x(,+)时，g(x)0，g(x)单调递减，e所以g(x)max=g（e）=−=−e，lne所以e−，所以a的最小值为e．−【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．21Ⅰ）根据数列an}具有性质P的定义即可求解；（Ⅱ）设数列a}的公差为d，由题意，存在a使得a=aa，同理，存在a使得a=aa，两式相减，根据等niinn1jjnn+2差数列的定义即可得证；（Ⅲ）由题意结合（）知a}的各