天津市南开中学2024届高三下学期模拟检测数学试卷

南开中学2024届高三模拟检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试结束后，请交回答题卡．第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，，则P是q的（）条件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（）A． B．C． D．4．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．5．已知正方体的外接球的体积为，点E为棱AB的中点，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．6．双曲线和抛物线的公共焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标为6，则（）A．16 B．12 C．10 D．87．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态。图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（）A．图（1）的平均数＝中位数＝众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的平均数＜中位数＜众数8．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则m的取值范围为（）A． B． C． D．9．数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（）A．， B．，C．， D．，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10．若直线与圆交于A，B两点，则______．11．在的展开式中，的系数为，则实数a为______．12．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为；求______．13．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病服用t50未服用50合计8020100在本次考察中，依据小概率值的独立性检验，得出“药物有效”的结论，则t的最小值为______（其中且'）（参考数据：，）附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．已知正△4BC的边长为，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，，，．（1）若，则______．（2）△AMN与△ABC的面积之比的最小值为______．15．已知函数若函数有唯一零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知，，（1）求c的值：（2）求的值；（3）求的值．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，CD⊥AD，，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，．（1）若点E是边AB的中点，点F是边PC的中点，求异面直线BC，EF所成角的余弦值：（2）求平面PAC和平面PAD的夹角的余弦值：（3）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥平面PCD？若存在，求的值？若不存在，说明理由．18．（本小题满分15分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的直线，与椭圆分别交于点M，N．①求证：直线MN过x轴上的定点；②求△OMN的面积S的最大值．19．（本小题满分15分）已知函数．（1）如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．20．（本小题满分16分）设集合，其中．把集合A中所有的数从小到大排列成数列，数列的前n项和为．例如：当时，，，，，…，．（1）写出，，并求；（2）判断88是否为数列中的项．若是，求出是第几项：若不是，请说明理由；（3）若2024是数列中的某一项，求，及的值．2024届南开中学高三数学校模拟参考答案一、选择题123456789BBCADACDB二、填空题10． 11． 12． 13．4614．； 15．三、解答题16．解：（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，故．17．解：（1）取AD中点O，连接OP，OB因为，所以PO⊥AD因为平面PAD⊥平面ABCD，平面平面因为平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以，PO⊥OB因为CD⊥AD，，，所以，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB⊥AD如图建立空间直角坐标系O-xyz，则，，，，，，，．设异面直线BC，EF所成角为，，，则．（2），．设平面PAC的法向量为，则即令，则，．所以．因为平面PAD的法向量，设平面PAC与平面PAD的夹角为，则．（3）设M是棱PC上一点，则存在使得．设，则，．所以．所以，，．所以．所以．因为AP⊥PD，AP⊥CD，，CD，平面PCD所以PA⊥平面PCD．所以是平面PCD的一个法向量，若BM⊥平面PCD，则．所以，因为方程组无解，所以在棱PC．上不存在点M，使得BM⊥平面PCD．18．解：（1）离心率为，，，，，则，椭圆C的方程为：（2）①由（1）得，，直线，的方程分别为：，由，得，可得，，由，可得，可得，，，直线MN的方程为：，可得直线MN过定点，②设MN的方程为：，由得，设，，则，，的面积令，，则，，且函数在递增，当，即时，S取得最大值．19．解：（1）因为，所以，因为1和是的两个极值点，所以1和是方程的两根，故，解得，即，所以，因为时，，当时，，所以在区间，上单调增，在区间上单调减，所以，解得，所以．（2）当时定义域为R，又，令，解得或，①若，则当时，，当时，．故在区间，单调递增，在上单调递减；②若，则恒成立，所以在区间单调递增；③若，则当时，；当时．故在区间，单调递增，在上单调递减．综上可得：当时在区间，单调递增，在上单调递减；当时在区间单调递增；当时在区间，单调递增，在上单调递减．（3）当时，，由题意得：，即，①，即，②由①、②可知，，③因为，，，，所以有两个实数根，，且，当时，，当时，，故是的极大值点，是的极小值点，由题意得，，即，两式同向相加得：，④注意到，，，代入④得，由③可知，，则，，所以，，所以，所以，当且仅当，即，又，所以，时成立，所以，从而．20．解：（1）因为，此时，，，．（2）当时，，，88是数列中的项，比它小的项分别有，，，个，有，，，个，有，，，个，所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项．（3），是数列中的项，故，则当时，，方法-：比它小的项分别有以下7种情况