安徽省示范高中2020高一自主招生考试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页安徽省示范高中2020年自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.1．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（

）A．段① B．段② C．段③ D．段④2．某情报站有、、、四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种，如果第1周使用种密码，那么第3周也使用种密码的概率是（

）A． B．0 C． D．3．已知点，是二次函数图象上的两个不同的点，则当时，其函数值（

）A．2017 B．2018 C．2019 D．20204．已知关于的方程的两个实数根为，，且，则的值为（

）A． B．4 C．或4 D．65．如图入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则（

）

A． B． C． D．7．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（

）

A． B． C． D．8．一个容器盛满酒精，第一次倒出10升后，用水加满，第二次倒出6升后，再用水加满，这时容器内的酒精与水的体积之比为7：13，则这个容器的容积为（

）A．18升 B．20升 C．24升 D．30升9．如图，在轴上方，平行于轴的直线与反比例函数和的图象分别交于、两点，连接，过点作交轴于点，若平行四边形的面积为12，则（

）

A．12 B．-12 C．6 D．-610．如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接、、，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则为等边三角形；④若，则.其中正确的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．分解因式：.12．如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则.13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为、、、，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，重复操作依次得到点，则点的坐标为.

14．盒子里有36个红球和白球，甲、乙、丙各拿了其中的12个（都含有红球与白球）.已知甲拿的红球数是乙的白球数的2倍，乙拿的红球数是丙的白球数的2倍.又知红球的总数是奇数，则盒子里白球的个数一共有.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍.已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元.(1)若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择?(2)若学校准备恰好用3000元的现金购买条长、中、短跳绳，求的最大值.16．解方程：17．如图①是一个小箱子放在桌面上的示意图，这部分可弯曲，在弯曲时形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为，线段，均与圆弧相切，点，分别为切点，小箱子盖面与桌面平行，此时距离桌面14cm，已知的长为10cm，的长为25.2cm.

(1)如图①，求弧的长度（结果保留）；(2)如图②，若小箱子打开后弧所对的圆心角度数为60°，求小箱子顶端到桌面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：）18．已知点和直线，则点到直线的距离证明可用公式计算.例如：求点到直线的距离.解：因为直线，其中，.所以点到直线的距离为：.根据以上材料，解答下列问题：(1)求点到直线的距离；(2)已知的圆心坐标为，半径为2，判断与直线的位置关系并说明理由.19．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是弧上不与、重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点.

(1)求证：；(2)若，且点是弧的中点，求的长度；(3)在（2）的条件下，求阴影部分面积.（结果保留）.20．如图，在矩形中，，，点，在对角线上，且，过点作于点，连接，以、为邻边作平行四边形，设.

(1)若时，求此时的长；(2)若点，，在同一直线上时，求此时的值；(3)若经过点的直线将矩形的面积平分，同时该直线将平行四边形的面积分成1：3的两部分，求此时的值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】化简式子，再由为正整数求出取值范围即可得解.【详解】，又为正整数，，则表示的值的点落在段②.故选：B2．A【分析】根据题意分析第二周，第三周的概率即可.【详解】第一周使用A，第二周使用A的概率，第三周使用A的概率.故选：A3．C【分析】根据二次函数的对称性得到，代入计算得到答案.【详解】根据二次函数对称性得到，故，当时，其函数值.故选：C.4．B【分析】根据得到，再根据根与系数的关系得到，解得答案.【详解】，则，解得，，，则，解得或（舍）.故选：B.5．D【分析】举反例得到第一个命题为假，举反例得到第二个命题为假，得到答案.【详解】对于第一个命题：如图所示，和满足，，，三角形不全等，假命题；

对于第二个命题：如图所示，等腰，是上一点（非中点），将翻转拼接成图形，满足，，但图形不是平行四边形，为假命题

故选：D.6．A【分析】根据主视图和左视图面积计算底面长和宽，得到面积.【详解】，高为，则底面长为；，高为，则底面宽为；.故选：A7．A【分析】计算两个正方形的边长，计算直角三角形的长的一条直角边长为，再确定，，计算得到答案.【详解】大正方形的边长为，小正方形的边长为，设直角三角形的长的一条直角边长为，则，解得或（舍），故，，则.故选：A.8．B【分析】设这个容器容积为x升，由题意列出分式方程，解方程再检验即可.【详解】设这个容器容积为x升，由题意列方程：，整理得：，解得：或（舍去），经检验，是原方程的解.所以这个容器的容积为20升.故选：B9．B【分析】设，，，计算得到答案.【详解】设，，则，即.故选：B.10．C【分析】利用相似得到①②正确，根据等腰直角三角形的性质得到④正确，当时不成立，③错误，得到答案.【详解】对①：，且，则，同理，故，，，即，正确；对②：，且，则，同理，故，，，即，正确；对③：，，则为等边三角形，若为等边三角形，则，，则为等边三角形，当时不成立，错误；对④：，则，正确；故选：C.11．【分析】直接分解因式得到答案.【详解】，故答案为：.12．【分析】过B作于P，则，解直角三角形即可得到边长，利用面积比等于边长比的平方结论求解.【详解】过B作于P，如图，

则，，，，，，，，，.故答案为：13．【分析】计算各点坐标，得到周期为，则，得到答案.【详解】根据题意：，，，，，，周期为，则，故坐标为.故答案为：.14．【分析】设乙的白球数为，则可以得到甲乙丙的红白球数，得到为奇数，，得到答案.【详解】设乙的白球数为，则可以得到如下表格：甲乙丙红白则为奇数，则，红球总数为，则白球总数为.故答案为：15．(1)4(2)【分析】（1）设长绳数量为，则中绳数量为，短绳数量为，列出不等式得到，解得答案.（2）设长绳数量为，则中绳数量为，短绳数量为，得到且，得到，计算得到答案.【详解】（1）设长绳数量为，则中绳数量为，短绳数量为，，解得，故.共有4种方案.（2）设长绳数量为，则中绳数量为，短绳数量为，则，整理得到，故，解得，，是的倍数，故当时为最小值，此时最大为.16．【分析】确定，变换得到，证明得到答案.【详解】，则，，，整理得到，，故，即方程的解为.17．(1)(2)【分析】（1）直接根据公式计算弧长得到答案.（2）过点作于，于，计算圆弧对应的半径为，确定，，，相加得到答案.【详解】（1）设圆弧的半径为，则，故，弧的长度为.（2）如图所示：过点作于，于，设圆弧对应的半径为，则，，，，，，，，故.18．(1)(2)相切，理由见解析【分析】（1）直接利用公式计算得到答案.（2）计算圆心到直线的距离等于半径，得到答案.【详解】（1）点到直线的距离为.（2）圆心到直线的距离为，故圆心到直线的距离等于半径，故直线与圆相切.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，可得证；（2）过F作于H，应用等弧所对的圆周角相等得，则，求出，则，可求出DF的长；（3）根据阴影面积为扇形与三角形面积的差求解.【详解】（1），，，是的直径，，，，，，，，.（2）过作于，如图，

点是弧的中点，，，，，，即，，，即，，；（3）阴影部分面积.20．(1)(2)(3)或【分析】（1）计算，则，计算得到答案.（2）确定，根据