2025版高考数学一轮总复习考点突破第1章集合常用逻辑用语不等式第4讲一元二次不等式及其解法考点3一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题[解析](1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0；若m≠0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))⇒－4<m<0.所以m的取值范围为(－4,0]．(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1,3])，又因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).令y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)).因为t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)在[1,3]上是增函数，所以y＝eq\f(6,x2－x＋1)在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值ymin＝eq\f(6,7).所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).(3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1<0，,g1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x－1<0，,x2－x－1<0，))解得eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2)，即x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，\f(1＋\r(5),2))).名师点拨：一元二次不等式恒成立问题1．在R上恒成立(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0或≤0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(或≤0)对于一切x∈R恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac<0或≤0.))2．在给定某区间上恒成立(1)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可．(2)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的参数m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的参数m取值集合”的补集；“f(x)>0的解集为∅”即“f(x)≤0恒成立．”注意：ax2＋bx＋c>0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))ax2＋bx＋c<0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac<0.))【变式训练】1．若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(D)A．(－∞，3) B．(－1,3)C．[－1,3] D．(－1,3][解析]当a＝3时，－4<0恒成立；当a≠3时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,Δ＝4a－32＋16a－3<0，))解得－1<a<3.所以－1<a≤3.故选D.2．(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有(A)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4[解析]令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A.3．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(B)A．{x|1<x<3} B．{x|x<1或x>3}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}[解析]记g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1,1]，依题意，只需eq\b\