浙江省宁波市余姚实验中学高三数学理期末试题含解析

浙江省宁波市余姚实验中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半网），则该几何体的表面积

A．20+3π

B．24+3π

C．20+4π

D．24+4π参考答案：A略2.某程序框图如右图所示，则输出的结果是

（

）

A．120

B．57

C．26

D．11参考答案：B3.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x|。则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为A.①②

B.③④

C.①③

D.②④7.参考答案：C设数列的公比为.对于①，,是常数，故①符合条件;对于②，，不是常数，故②不符合条件;对于③，，是常数，故③符合条件;对于④,，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.4.点P的坐标满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则的最小值是

（

）A．

B．4

C．

D．3参考答案：B略5.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B6.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C

满足＝α＋β，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为A．3x＋2y－11＝0

B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5C．2x－y＝0

D．x＋2y－5＝0参考答案：DD设C(x，y)，(x，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)，因为α、β∈R，且α＋β＝1，消去α，β得x＋2y－5＝0.7.已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为

(

)A.1

B.2

C.

D.参考答案：B略8.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【

】.A.

B.

C.

D.参考答案：D由三视图知：三棱锥的底面为直角三角形，两直角边分别为5和4，三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积为。9.对于函数，适当地选取的一组值计算，所得出的正确结果只可能是

（

）

A．4和6

B．3和-3

C．2和4

D．1和1参考答案：D10.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线C右支上一点P满足且，则双曲线C的离心率为（

）A．3

B．

C．2

D．参考答案：D试题分析：设，则，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴，∴．故选D．考点：双曲线的简单性质.【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题．设，则，利用双曲线的定义，可得，利用余弦定理可得，再利用数量积公式，即可求出双曲线的离心率．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则的值为

。参考答案：略12.若数列{an}的通项公式是an=，前n项和为Sn，则Sn的值为

．参考答案：12【考点】极限及其运算．【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an=，前n项和为Sn，∴Sn=4+8+=12．故答案为：12．13.已知，则

.

参考答案：略14.函数的值域为

▲

．参考答案：略15.已知，则的值为______________．参考答案：略16.若曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是__________参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11

解析：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P．故答案为：．【思路点拨】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．17.在中，若，则角B= 。参考答案：【知识点】同角三角函数关系；余弦定理的应用.

C2

C8

或

解析：把，代入已知等式得：，又，所以角B=或.【思路点拨】把余弦定理、同角三角函数关系，代入已知等式得，又，所以角B=或.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a)。这里，x被称为乐观系数，经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是(b-c)和(b-a)的等比中项，某省为规范汽油市场，维护筇一产者的合法权益和消费者的长远利益，发改委发出通知，决定自8月25日零时起，0号柴油每升限价在[7.40,7.90]内（单位：元）（1）试求出最佳乐观系数z的值以及由此确定的0号柴油的销售价格（价格精确到．．．001，参考数值：≈2．24）；

（2）某加油站老板做了一个市场调查后发现：若按最高销售限价出售0号柴油销售价格，当天销售1500升，以后每天销售量将比前一天减少100升；若根据“乐观系数准则”确定紫漶销售价格，每天的销售量稳定在1500升左右．若0号柴油的成本为每升7．01元．自8月25日起，未来10天内加油站采用哪种销售价格出售0号柴油将获利更多?

参考答案：19.已知函数f（x）=ex﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=ex﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a的方程，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出g（x）的导数，可得单调区间和极值，且为最值；（Ⅲ）显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，运用零点存在定理可得g（x）的零点范围，可设g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．讨论x＜0时，0＜x＜x0时，x＞x0时，g（x）的符号，可得f（x）的极值，进而得到f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ex﹣x2+ax的导数为：f′（x）=ex﹣2x+a，由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=﹣1．（Ⅱ）g'（x）=ex﹣2，令g'（x）=0，得x=ln2，所以x，g'（x），g（x）的变化情况如表所示：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）g'（x）﹣0+g（x）递减极小值递增所以g（x）的极小值，且为最小值为g（ln2）=eln2﹣2ln2﹣1=1﹣2ln2．（Ⅲ）证明：显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．又g（ln2）＜0，g（2）=e2﹣5＞0，由零点存在性定理，存在唯一实数x0∈（ln2，2），满足g（x0）=0，即，，综上，g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．所以x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；0＜x＜x0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；x＞x0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以f（0）是极大值，f（x0）是极小值，，因为g（1）=e﹣3＜0，，所以，所以f（x0）＞0，因此x≥0时，f（x）＞0．因为f（0）=1且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以一定存在c＜0满足f（c）＞0，所以存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．20.（15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.

（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；

（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，

并证明你的结论.参考答案：解析：（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.

证法二：连结A1C1，则A1C=A1B.

∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，

∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离.

在Rt△ADC中，AC=2CD=∴所求的距离解法二：设点D到平面ACC1的距离为，∵体积

即点D到平面ACC1的距离为.

（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，

又DF

平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.

21.已知函数,令，其中是函数的导函数.(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当时，若存在,使得恒成立，求m的取值范围.参考答案：(Ⅰ)极小值，无极大值；(Ⅱ).试题解析：(Ⅰ)依题意，则当a=0时，令解得；当时，，当时，所以的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,+∞)所以时取得极小值，无极大值.(Ⅱ)当即时，恒有成立，所以在上是单调递减.所以所以，因为存在,使得恒成立，所以整理得又<0，所以令=－，则∈(2,8)，构造函数,所以，当时，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，所以m的取值范围为(,+∞).考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上的最值.【方法点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性