山东省威海市环翠区2022-2023学年九年级上学期期末数学考试试题（含答案解析）

2022—2023学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题一、选择题1.如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案．【详解】解：如图所示，其俯视图是：．故选：D．【点睛】此题主要考查了作三视图，正确掌握俯视图观察角度是解题关键．2.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】由，可以得出矩形的面积，矩形的面积等于点A的横纵坐标的积的绝对值，即可得出答案.本题考查的是反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．【详解】解：由，可得矩形的面积，∴，即，又∵函数图象在第二象限，∴，∴，故选：D．3.在直角△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanB=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义及勾股定理求解．【详解】解：如图：，设故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4.下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是y轴C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的【答案】C【解析】【详解】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.5.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A.2cm B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm【答案】C【解析】【详解】连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中,AC=cm.故选：C.6.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是cm，则皮球的直径是（）A. B.15 C.10 D.【答案】B【解析】【详解】解：如图，作AB⊥MN交MN于点B，因为cm，∠ANB＝60°，所以（cm），由于平行线间的垂线段相等，所以皮球的直径为15cm．7.甲袋中装有2个相同小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用画树状图法求出所有情况，再计算概率.【详解】如图所示：，

一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况，故取出两个小球上都写有数字2的概率是：．故选C【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：用画树状图法得到所有情况.8.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案．【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：、、．则．故选B．【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．9.如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：根据图形可得：阴影部分的面积=S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE），根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．详解：连接AD，OD，BD．∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB=90°，又CD⊥AB，∴△ACD∽△CDB，∴=，即=，∴CD=，又OC=1，∴∠COD=60°，∴S扇形OAD==π，S△CDO=×CO×CD=，∴S扇形OAD﹣S△CDO═π﹣，S扇形CDE==π，∴阴影部分的面积=S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）=π+．故选A．点睛：本题考查了扇形的面积计算，掌握相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，圆的面积公式是解题的关键．10.已知抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊙D相切.正确的结论是()A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得AD、CD的长进行比较即可判定，③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE＝AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定；【详解】由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，∴4＝9a+，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+，令y＝0，则﹣(x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，∴A(﹣2，0)，B(8，0)；∴AB＝10，∴AD＝5，∴OD＝3∵C(0，4)，∴CD＝,∴CD＝AD，∴点C在圆上，故②错误；过点C作CE∥AB，交抛物线于E，∵C(0，4)，代入y＝﹣(x﹣3)2+得：4＝﹣(x﹣3)2+，解得：x＝0，或x＝6，∴CE＝6，∴AD≠CE，∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：M(3，)，∵C(0，4)，∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝x+4，∴CM⊥CD，∵CD＝AD＝5，∴直线CM与⊙D相切，故④正确；故选：B.【点睛】此题是抛物线与圆的综合题，考察抛物线的性质，（2）用勾股定理判断CD与圆的半径的大小关系；（3）抛物线中平行四边形的构成，先作平行线求得线段CE的长度，再与线段AD比较即可知是否为平行四边形；（4）中的相切关系需证得直线的垂直关系，即直线解析式中k值互为负倒数时直线垂直，由此证得CM与圆相切.二、填空题11.如图，勘探队员朝一座山行走，在前后A、B两处测量山顶的仰角分别是30°和45°，两个测量点之间的距离是100m，则此山的高度CD为_____m．【答案】【解析】【分析】先根据题意求出∠CBD=∠BCD=45°，AC=2CD，，设CD=BD=x，然后根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，则，由此即可求解．【详解】解：根据题意可得，∠D=90°，∠A=30°，∠CBD=45°，AB=100m，∴∠CBD=∠BCD=45°，AC=2CD，∴设CD=BD=x在Rt△ACD中，，∴∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，熟知含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．12.如图，点B是反比例函数（）图象上一点，过点B作x轴的平行线，交轴于点A，点C是轴上一点，△ABC的面积是2，则=______．【答案】4【解析】【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|=2，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值．【详解】连接OB．∵AB∥x轴，∴S△AOB=S△ACB=2，根据题意可知：S△AOB|k|=2，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=4．故答案为4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．13.在不透明的袋中装有除颜色外其它都相同的3个红球和2个白球，搅匀后从中随机摸出2个球，则摸出的两个球恰好一红一白的概率是_____．【答案】．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：用红1、红2、红3表示三个红球，用白1、白2表示二个的白球列表如下：由列表知，共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好一红一白的有12种结果，∴摸出的两个球恰好一红一白的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查能化为两步简单事件的随机事件概率的计算．如果每步事件的等可能结果数较多（结果数大于3）列表比画树状图更能清楚的表示出所有的等可能结果．14.如图，⊙O的内接五边形ABCDE的对角线AC与BD相交于点G，若∠E=92°，∠BAC=41°，则∠DGC=_____°．【答案】51°【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠DCA，又∠DCA=∠ABG，在△AGB中求出∠AGB，∠DGC=∠AGB.【详解】根据圆内接四边形对角互补，∠DCA=180°－∠E=88°，又∠ABG=∠DCA=88°，在△AGB中∠AGB=180°－∠ABG－∠BAC=51°，∠DGC=∠AGB=51°.【点睛】本题的解题关键是根据圆内接四边形对角互补求角度.15.若某一圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的高是______cm．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，则可求出r，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，根据题意得，解得，所以这个圆锥的高为．

故答案为：．16.如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF最小，求解即可.【详解】连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF最小，点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，当时，或即点P是抛物线对称轴上任意一点，则PA=PB,PA+PC=AC,PB+PC=DE+DF的最小值为：故答案为【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.三、解答题17.计算：.【答案】【解析】【分析】分别得出各角的三角函数值，根据实数的运算法则即可得答案.【详解】原式===.【点睛】本题考查了实数的运算及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.18.在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数1001502005008001000摸到白球的次数5996295480601摸到白球频率0.640.580.590.600.601（1）上表中的________，________；（2）“摸到白球的”的概率的估计值是_________（精确到0.1）；（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？【答案】（1），.（2）0.6.（3）8个.【解析】【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率．

（2）由表中数据即可得；（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．【详解】（1）=0.59，.（2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；.（3）（个）.答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球.【点睛】本题考查如何利用频率估计概率，解题关键是要注意频率和概率之间的关系.19.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，（1）求点B到地面的距离；（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）【答案】（1）5；（2）宣传牌CD高（20﹣10）m．【解析】【详解】试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH==i==．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，得到DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5+15，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，求得∠C=∠CBF=45°，得出CF=BF=5+15，即可求得结果．试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH==i==，∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5．答：点B距水平面AE的高度BH是5米；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，∴DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=5+15，∴CD=CF﹣DF=5+15﹣（15﹣5）=20﹣10（米）．答：广告牌CD的高度约为（20﹣10）米．20.如图，中，以边为直径的交于D，平分，交于F，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见详解；（2）．【解析】【分析】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的意义，熟记切线的判断和性质是解题的关键．（1）若要证明直线是的切线，则只要证明即可；（2）根据三角形相似求得，即可根据勾股定理求得，得到，根据相似三角形的判定和性质求得，从而求得，最后根据勾股定理求得．【小问1详解】证明：为直径，，，平分，，，，，，即，∴直线是的切线；【小问2详解】解：，，，，，，，，，，，，,,,,，，，在中，21.某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．【解析】【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量；（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润．【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴当x≤65时，w随x的增大而增大∵30≤x≤60∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润1950元．【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．22.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，P(3,),△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N