甘肃省2024届高三年级上册1月高考诊断考试数学试题（解析版）

甘肃省2024届高三上学期1月高考诊断考试数学试题

一、单项选择题

1.已知集合人=人31},5={xM—2x—3<0},则A,B=（）

A・加B・加

C.（3,+co）D.（-1,+co）

（答案》A

（解析U易知A={x|y='4x—1}

由尤2一2%—3<0，解得一l<x<3,即JB={x|-1<%v3},

所以Ac_B=J%|工<%<3]=-P3}

I4JLz

故选：A.

2.若复数Z满足（3—i）z=l—2i,其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

k答案》D

k解析』因为（3—i）z=l—2i,

所以.J"（I-2i）（3+i）_3+i-6i-2i211.

所以3-i—（3—i）（3+i）——1,

1022

则复数Z在复平面内对应的点为]；,一gj,位于第四象限.

故选：D.

3.在等差数列{%}中，出，%是7宁程12+如一8=0的两根，若&+&=d+l，则机的

值为（）

A.-6B.-2C.2D.6

k答案》B

K解析U因为电，。8是方程+71ZX-8=0的两根,

所以。2+%=一〃1，a2a&=一8,A=m2+32>0.

在等差数列｛4｝中，。2+“8=。4+“6=2a5,又。4+。6=W+1，

所以2%=。；+1,所以。5=1，

所以—m-a2+a8-2a5=2,所以m—2.

故选：B.

4.众数、平均数、中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.

在如图所示的分布形态中，平均数、众数和中位数的大小关系是（）（由小到大排列）

A.众数〈中位数（平均数

B.平均数〈众数（中位数

C.中位数〈平均数（众数

D.众数〈平均数（中位数

［答案XA

K解析R众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.

因为直方图第二、三列所占数据较多，且在右边拖尾，

所以平均数大于中位数，在第三、四列的位置，因此有众数〈中位数（平均数.

故选：A.

x2+2x,x<0,

5.已知函数/'(x)=.若函数g(x)=/(x)—“有3个零点，则m的取值范

——,%>0,

围为()

A.0,5B,f-1,^仁[5+00]D.(-8,—1)

（答案』B

K解析U当XMO时，/(X)=*+2兀,

当1)时，“X)单调递减；当xe(—1,0)时，/(x)单调递增.

当％＜。时,fCOmin二fQi)二—1

当尤＞0时，/(%)=—,贝=

XX

当xe(O,e)时，/,(x)＞0,函数/(x)单调递增;

当%£(5+。)时，/(X)＜O,函数/(X)单调递减

当X〉。时,/(X)max=/(e)=—=i.

ee

画出函数的图象如图所示：

因为函数g(x)=/(力-772有3个零点,

所以y=7W与y=/(x)的图象有3个交点，由图知：一1＜根＜』.

e

所以加的取值范围为I).

故选：B

6.已知平行四边形A5CD,若点尸是边A。的中点，AQ=3QB,直线AC与尸Q相交于

1AM

点、M,则——=()

AC

1133

A.-B.C.—D.-

65105

［答案XC

K解析H如下图所示:

4

设A尸=〃,AQ=b,则AC=2a+§b,尸。=/?—〃.

设AM=2AC,PM=juPQ,

4

则AM=22aH—Ab，

3

PM=/nb-fj.a

因为AM=AP+PM=a+jub-jua=(l-^a+jub,

2A=1-]U

32

所以《4,，解得4=—,〃二一

-2=zz105

13尸

一3AMAM3

所以AM=—AC,即——=

10ACAC10

故选：C.

DC

)

72424

A-士B.C.D.

252525

K答案』B

1.4

(解析》因为sina+——sina=cosa——sina=cosa+—

I3J2I6J5

71]71717T।1o2兀7

所以sin2a——=sin2a+—=-cos2a+—=I-2cosa+—

l6JLV6J2I6〃I625

故选：B

8.设定义在(0,+oo)上的函数f(x)满足xP(x)—f(x)=xlnx,)

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值

K答案UD

05~,xf(x)-f(x)InxInx”…

K解析U因为xf(x)~fix)=xlnx,所以------j-----=----,所以(-----)—---，所以

XXXX

«x)=因为/(，)=，-h?，+cx-=-,所以c=；，所以/(x)=；ln2x+lnx+；

乙eIeeee/乙/

=1(irw+i)2>o,所以y(x)在(o,+◎上单调递增，所以五x)在(0,+◎上既无极大值，也

无极小值，故选D.

二、多项选择题

9.已知函数/(x)=Asin(2ox+0)(A>O,o>O,O<0<7i)在一个周期内的图象如图所

示，图象与>轴的交点为伍,6),则下列结论正确的是()

A.〃x)的最小正周期为兀

B.“X)的最大值为2

5几

C.直线x=7是/(%)图象的一个对称轴

D./(x)在区间-；,0上单调递增

(答案XABD

K解析X设/(x)=Asin(2公r+0)(A>O,o>O,O<0<7i)的最小正周期为T,

77rIT1

由图象可知-------=-T,解得丁=兀,故选项A正确；

12122

因为口〉0,所以2。q=2,解得勿=1,故/(x)=Asin(2x+0.将代入K解

析X式得Asin[+°]=A,

因为0<°<兀，则巴(四+夕<2£,所以4+0=工，得0=三，故/(%)=Asin(2x+g].

666623V3J

又因为图象与y轴的交点为（0,8），所以Asin］=g,得A=2,故/（x）的最大值为2,

选项B正确；

由上述分析知〃x）=2si，2x+M，当工=?时，2x+-=2n,则点（注,0）是函数

<3y636

5冗

/（X）的对称中心，即直线X=7不是其对称轴，

故选项C错误；

因当XC--,0时，取2=2X+1C，而y=sinz在一1，］上单调递增，故

/（%）在区间一方刀上单调递增，故选项D正确.

故选：ABD.

10.己知a>0/>0,若。+2》=1,则（）

A.ab的最大值为:B.4+万2的最小值为1

8

21L

C.一+7的最小值为8D.2"+4&的最小值为2

ab

（答案XACD

k解析》对于A，由2ab=a-2）<（生上］=-,即

L2J48

当且仅当。=2》，且。+2）=1,即。=!力=工时，取等号，所以A正确；

24

对于B,因"+/=（］—2））2+/=5及一4人+1=5（人一|］+g，

21

当且仅当人=不时，/+/取到最小值y,所以B错误；

对于C,因为〃>01>0,所以2+工=（〃+2Z?）|—+—।=4+竺+色24+2^/?=8,

ab\abJab

4ba11

当且仅当——二一，且。+2〃=1,即。=一，b二—时，取等号，所以C正确；

ab24

对于D,2"+4〃22亚匚^=2亚题=2点，当且仅当。=2》，且。+25=1,

即。=—,b=—时，取等号，所以D正确.故选：ACD.

24

11.已知直线/过抛物线C:/=4x的焦点口，且与抛物线。交于44%）,6（9,多）两点，

点M为。的准线与x轴的交点，则下列结论正确的是（）

A.若再+%=5,贝！||AB|=7

B.过C的焦点的最短弦长为4

C.当AF=2FR时，直线/的倾斜角为g

D.存在2条直线/,使得•忸闸=|所卜|4囱成立

k答案》AB

（解析X由抛物线的定义可得|/叫=|”|+忸同=石+%+0=5+2=7,所以A正确；

当过抛物线。的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为4,所以B正确；

x=my+1。

设直线/的方程为1=阳+1,联立方程组2，整理得y—4叫—4=0,

y=4x

可得X+%=4m,yty2=-4,

当Ab=2fB时，X=-2%，则乂+%=4加，％%=—4,

解得%=±行,3］；,±收］/=±2后，所以倾斜角不是三，所以C错误;

由网1,0）,“（—L0），则|4刊=］&—+才=J(g+1-1『+y；=’(1+疗)

\BF\+yl=J。佻+IT『+式=和+现

\AM+靖=y；+4myl+4,

\BM+

,22

AF\AM1+m)y；+4myx+4

由|何卜忸叫=|破,则，可得与

加W

化简可得（mx%+%+%）（x-为）=0，

由为*%,则加/%+%+%=0,

将%+%=4根，=-4代入，则-4/77+4772=0恒成立，所以D错误.故选：AB.

12.已知直三棱柱ABC-A4cl内接于球O,AA=8,AB_LAC,AB=AC=4,点£),E为

A3,AC的中点，点。为侧面BCG4上一动点，且4。=4,则下列结论正确的是（）

Q

A.点A到平面ABC的距离为目

B.存在点。，使得CQJ_平面4。后

C.过点。作球的截面，截面的面积最小为4兀

D.点。的轨迹长为2a兀

（答案》ACD

K解析1A选项，设点A到平面A6C的距离为〃，因为匕一型。=Klj-ABC，

所以§S.&BC.”=§S_ABC.AA'S.ABC=5x4x4=8,441=8,

取BC的中点G,连接AG,由勾股定理得＜3=AC=，8?+42=4逐，

BC=J42+42=4后，故BG=CG=2日

由三线合一可得\GLBC,由勾股定理得4G=yl^-BG2=V80-8=672，

1QxQQQ

SABC=5AGIC=24,所以丸=寸=1,即点A到平面ABC的距离为三,A正确;

B选项，以A为原点，所在直线为苍％z轴建系,

则C（0,4,0）,。（2,0,0），石（0,2,0）,4（0,0,8）,设。（44—,则①=（",〃）,

DEn=(-2,2,0)-(x,y,z)=-2x+2y=0

设平面AOE的法向量为”=（%,%Z）,则＜

A^E-n=(0,2,-8)-(x,y,z)=2y—8z=0

令z=l,则尤=y=4,故”=(4,4,1),

4=4%

设CQ=/〃，two,即(4—4〃)=[4,4,1),故＜—2=47,无解，

N=t

故CQ与法向量力不平行，

所以不存在点。，使得CQ，平面AOE,B错误；

C选项，三棱柱的外接球。即为以AB,AC,A&为邻边的长方体的外接球，

当OZ)与过点。的截面垂直时，截面的面积最小，

球心0(2,2,4),DO=2区AO=2娓,则过点D作球的截面，

截面半径的最小值为J(2标月―(2行了=2，

所以截面的面积最小为4兀，C正确；

D选项，过点A作旦G于H，则4〃=20，

又平面A^iG，A〃u平面A4G，所以8片，4〃，

因为5片4cl=4,u平面84G。，所以A/，平面88。。,

因为“Qu平面BBCC，所以

故HQ=QAQ2-AH。=116-8=2^/2,又B、H=CXH=2\/2,

则点。的轨迹是以点H为圆心，2夜为半径的半圆，

其圆心角为兀，点Q的轨迹长即为2血兀，D正确.故选：ACD.

三、填空题

x

n

13.已知—+加(。〉1)是奇函数，则加=.

K答案X—

2

K解析』由函数〃%)=^可知其定义域为(一”,0)U(0,”)，

ci—1

所以/(T)=----1■加=Fm.

ax_1(JX_1

因为/（X）是奇函数，所以/（%）+/（—x）=0,

即------1-m-------\-m=0>解得〃z=—彳.故K答案II为：—

ax-lax-l22

14.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直

径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，

若球的体积为4后，则该模型中圆柱的表面积为.

［答案工1871

k解析X设球的半径为R,则圆柱的底面半径为尺，母线长为2R,

4I-_

则球的体积为耳兀肥=4,兀，所以尺=百，

所以圆柱表面积为2兀/?2+2兀7?乂2R=6兀尺2=18兀.故11答案X为：18Tl.

22

15.如图，点1，a是双曲线G：=—3=1（。〉01〉0）的左，右焦点，同时也是双曲

ab

22

线。2：二-当=1的左，右顶点，过点片的直线交双曲线G的左，右两支分别于A,B

工4a24/

两点，交双曲线。2的右支于点M（与点尸2不重合），且45月片与的周长之差为

6,则双曲线G的方程为.

22

（答案］—-^=1

927

［解析》不妨设双曲线G的焦距为2c,

因为与△48工的周长之差为6,

所以忸叫+寓闾一|AB|一|A段=寓词—（|4阊—|4周）=2c—2a=6,

又点F],尸2是双曲线。2：三—翥=1的左，右顶点，所以。=2。，

所以〃=3,c=6,b-3y/3，

22

所以双曲线G的方程为土—工=1.

927

22

故(答案』为：土-匕=1.

927

16.某学校有A、B两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如

果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐，假如第1天甲

选择了A餐厅，则第九天选择A餐厅的概率匕为.

K答案H0.5+0.5x(-0.2)1

K解析》当“之2且“cN*时，若甲在第(〃—1)天选择了A餐厅，

那么在第九天有40%的可能性选择A餐厅，

若甲在第(〃-1)天选择了B餐厅，那么在第〃天有60%的可能性选择A餐厅，

所以第〃天选择A餐厅的概率匕=047"+0.6(1—J(〃22,〃eN*),

即P„=-0.2^+0.6,所以Pn-0.5=-0.2(^-0.5).

又由题意得，＜=1,所以｛《—0.5｝是以4—0.5=0.5为首项，-0.2为公比的等比数列，

所以匕—0.5=0.5x(—0.2)“;所以2=0.5+0.5x(-0.2)3.

故[答案》为：O.5+O.5x(-O.2)J.

四、解答题

17.已知uABC的内角ASC的对边分别为J且CCOS5+Z?COSC=-22COS5.

(1)求角5的大小，

(2)若A的角平分线交边5c于点O,且AD=®c=4i,求边力.

解：（1）由正弦定理可得一2cos^BsinAusinCcosb+sinBcosCusiMjB+CXsinA,

因为Ae（0,兀），所以sinA>0，可得cos3=—g.

27r

又3€（0,兀），故3=学.

（2）如下图所示：

在中，----=----------

sinBsin/ADB

所以sin/ADB==立，

AD2

结合3=」，所以乙4。8=工，

34

JT

所以NRW=ZDAC=—,

12

兀

可得NACB=ZBAC=—，

所以是等腰三角形，且。=。，所以b=2acos工=6.

6

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A5CD为正方形，侧棱底面ABCD,且

B4=A5,点E,尸分别为的中点.

（1）若平面PBCc平面Q4D=/,证明：/_L平面乃43；

（2）求平面AE产与平面BIB夹角的余弦值.

（1）证明：因为底面A5CD为正方形，所以AO//BC,

又＜2平面PBC,BCu平面PBC,

所以AD//平面PBC.

又因为平面PBCc平面PAD=/,ADu平面QAD,

所以AD///.

因为底面ABCD,ADU平面ABCD,所以A£），B4.

又因为AD_LAB,ABcE4=A,AB,B4u平面Q4B，

所以AD,平面Q43.

所以/，平面7^45.

⑵解：因为24J_底面A5cD,A5<=平面ABCO,所以ABLA4,

由（1）知，AB,AL）,AP两两相互垂直,

如图，以点A为坐标原点，”,4）,AP所在直线分别为了轴、V轴、z轴，建立空间直角坐标

系.

设AB=2,则4(0,0,0),5(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,1),F(0,1,1),

AE=(l,O,l),AF=(O,l,l).

设平面AE产的一个法向量为勺=（%,y,z）,

AE-n=(1,0,1)-(^,y,z)=x+z=0

即《1

AF•4=(0,1,1)•(x,y,z)=y+z=0

令x=l,则y=l,z=—1，得4=(1,1,一1),

又平面上钻的一个法向量为%=（0,1,0）,

_,囹_1_y/3

所以平面AEF与平面PAB夹角的余弦值是cos%,n

2同•同^3x13

19.第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.

为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关,该大学记者站随机抽取了100名学

生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的工，男生有10人表示不喜欢看足

4

球比赛.

（1）完成下面2x2列联表，试根据小概率值。=0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱

观看足球比赛与性别有关联？

男女合计

喜爱看足球比赛

不喜爱看足球比赛

合计60

（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8

人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X,求X的分布列和期

望.

2fL\LLCL—tzC)

附，%(a+Z?)(c+d)(a+c)(〃+d)'

a0.10050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：（1）根据表格数据可知抽取的女生共40人,喜欢观看足球比赛的女生为40义工=10人,

可得得2x2列联表如下:

合

男女

计

喜爱看足球比

501060

赛

不喜爱看足球

103040

比赛

合计6040100

根据列联表中的数据计算得

2_100x(50x30-10x10)21225

«34,028>10.828=x,

60x40x60x40360001

根据小概率值々=0.001的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.

（2）按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人,

则X的可能取值为0』,2,

P(X=0)=fi=H，尸(X=l)=善4

C8ZoC8/

r21

唳=2)=百F

所以X的分布列为

X012

1531

P

28728

期望值E（X）=0X：|+1><；+2X2=；.

Zo/ZoZ

20.己知数列｛4｝的前几项和为sn，且S“=2an-2,｛an-bn｝是首项为1,公差为2的等差

数列.

（1）求｛4｝,｛/｝的通项公式;

⑵若数列也｝的前〃项和为北，且不等式2》"（3—7；）对一切〃eN*恒成立，求实数％

的取值范围.

解：（1）当〃=1时，q=2q—2,解得q=2.

当〃之2时，=2a,-2,S“_]=2加—2,两式相减得见=2a“—2%_],

即4=2an_1（n>2）,

所以｛4｝是首项、公比均为2的等比数列，故。“=2〃.

/、72〃—12〃—1

又。小a=1+2（"-1）=2〃-1,故仇=-----=—^―

,、「“72n-\SIT1352n-l

（2）因为々=,所以（=5+57+至++—^一①，

乙乙乙乙乙

1Tl352n—J

51=尹+石+梦++L②’

①-②得=；+1；+/+2n-l2n—l32n+3

2向C〃+lcr\n+\

所以北=3-空」

不等式X2〃(3—%)对一切〃eN*恒成立，转化为222"；3"对一切〃N*恒成立.

令/(〃)=2"2：3”(〃GN*卜则

又小+1)-仆)=—产--------1=—产一，

当”=1时，/(«+1)-/(«)>0,当“22时，/(«+1)-/(«)<0,

所以〃1)〈〃2)〉〃3)>〃4)>,则北/(")皿"△2)=!

所以实数2的取值范围为(，+。)

21.已知函数/(x)=(x+a)ln(x+l).

(1)当a=2时，求曲线〃力在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若函数/(%)-%在(0,+。)上单调递增，求a的取值范围.

解:(1)当a=2时，/(x)=(x+2)ln(x+l),

r(x)=ln(x+l)+^-,易知〃O)=O"'(O)=2,

■X十J-

所以/(x)在点(0"(0))处的切线方程为y—0=2(x—0),即y=2x.

(2)令g(x)=/(x)_x=(x+