2024年北师大版九年级数学上册知识点归纳

2024年（新版）九年级数学上册学问点归纳（北师大版）

第一章特殊平行四边形

其次章一元二次方程

第三章图形的相像

第四章投影与视图

第五章反比例函数

第六章概率的进一步相识

（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的

两顶点连成的线段叫做它的对用线。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线相互平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线相互平行，则其中一条直线上随意两点到另一条直线的距离相等。这个

距离称为平行线之间的距离。

第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等,两条对角线相互垂直平分,每一条对角线平分一

组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫组形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条

对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（依据定义）。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3正方形的性质与判定

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称

轴）

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线相互垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）：

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

其次章一元二次方程

1相识一元二次方程

※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为+（a、b、c为

常数，aWO）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

※把0%、b、c为常数，a#0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一

次项系数；c为常数项。

2用配方法求解一元二次方程

①配方法〈即将其变为(x+m)2=0的形式>

※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式;

②将二次项系数化成1；

③把常数项移到方程的右边；

④两边加上一次项系数的一半的平方；

⑤把方程转化成(x+m产=0的形式；

⑥两边开方求其根。

3用公式法求解一元二次方程

②公式法—"J'—皿(留意在找abc时须先把方程化为一般形式)

2a

4用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”和

“十字相乘”)

5一元二次方程的根与系数的关系

※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b°-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac<0时，方程无实数根。

h「

※假如一元二次方程+bx+c=0的两根分别为XI、X2,则有：X[+X,=——xl-x2=—o

aa

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

(1)已知方程的一根，求另一根；

(2)不解方程，求二次方程的根xi、xz的对称式的值，特殊留意以下公式：

X]+%222

①X；+X；=(X]+X,)2(2)—+--(3)-x,)=(%1+x2)-4xtx9

%1x2XxX2

22

@\xl-x2|=+%2)2—4%1々⑤(IXJ1+1%I)=(X]+X2)-2XJX2+2|七々I

3

⑥X：+石=(X]+X2)-3x1x2(x1+x2)⑦其他能用x1+%2或X/2表达的代数式。

2

(3)已知方程的两根XI、X2,可以构造一元二次方程：X-(X1+x2)x+x1x2=0

(4)己知两数XI、X2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程尤2—a+x2)x+x,x2=0

的根

6应用一元二次方程

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数状况只要设问题为

X;但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②找寻等量关系（一般地，题目中会含有

一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可依据其列出方程）。

※处理问题的过程可以进一步概括为：问题2T一方程解答

抽象检验

第三章图形的相像

1成比例线段

线段的比

XI.假如选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比

AB:CD=m:n，或写成4

Bn

X2.四条线段a、b、c、d中，假如a与b的比等于c与d的比，即n上=上c，那么这四条线段a、b、c、d叫

bd

做成比例线段,简称比例线段.

X3.留意点：

①a:b=k,说明a是b的k倍；

②由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数；

③比与所选线段的长度单位无关，求出时两条线段的长度单位要一样；

。h

④除了a二b之外,a:bWb:a,一与一互为倒数；；；.

ba

ArR

⑤比例的基本性质：若巴=上，则ad=bc;若ad=bc,则州=上一一一

bdbd图］

2平行线分线段成比例/\

※上平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.A/

如图2,h//I2//，3,贝！!.

DEEF

二.黄金分割

/图2

※上如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,假如4c二

；—,那么称线段AB被点C黄金分割，点C

ABAC

=’"I

叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.AC:AB

X2.黄金分割点是最美丽、最令人赏心悦目的点.

3相像多边形

ai.一般地，形态相同的图形称为相像图形.

X2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相像多边形.相像多边形对应边的比叫做相像比.

XL在相像多边形中，最为简洁的就是相像三角形.

X2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相像三角形.相像三角形对应边的比叫做相像比.

X3.全等三角形是相像三角的特例，这时相像比等于1.留意:证两个相像三角形，与证两个全等三角形一

样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

※生相像三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比.

X5.相像三角形周长的比等于相像比.

X6.相像三角形面积的比等于相像比的平方.

※相像多边形的周长等于相像比;面积比等于相像比的平方.

4探究三角形相像的条件

XI.相像三角形的判定方法:

一般三角形直角三角形

基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所

截得的三角形与原三角形相像.

①两角对应相等；①一个锐角对应相等；

②两边对应成比例,且夹角相等;②两条边对应成比例：

③三边对应成比例.a.两直角边对应成比例；

b.斜边和始终角边对应成比例.

X2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

BC

如图2,11//I2//h,则---=

DEEF

X3.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像.

5相像三角形的判定定理的证明

6利用相像三角形测高

7相像三角形的性质

8图形的位似

第四章投影与视图

A）三视图

,主视图---从正面看到的图左视图----从左面看到的图俯视图----从上面看到的图

•画物体的三视图时，要符合如下原则:大小：长对正，高平齐，宽相等.

•虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.

B）投影

•物体在光线的照耀下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.

•太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

•在同一时刻，物体高度与影子长度成比例.

•物体的三视图事实上就是该物体在某一平行光线（垂直于投影面的平行光线）下的平行投影.

•探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点动身的光线，像这样的光线所形成的投影称

为中心投影

•皮影和手影都是在灯光照耀下形成的影子.它们是中心投影。

O视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。

.眼睛所在的位置称为视点，

,由视点发出的光线称为视线，

.眼睛看不到的地方称为盲区

第五章反比例函数

学问点1反比例函数的定义

k

一般地，形如y=—（k为常数，kwO）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：

x

⑴X是自变量，y是X的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是xw0的一切实数，函数值的取值范围是yw0；

⑶比例系数kw0是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

k

①丫二一（kwO）,

x

②y=kx-1（kw0）,

③x・y=k（定值）（kwO）；

kk

⑸函数y二—（kw。）与x=—（kwO）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反

xy

比例函数。

k

（k为常数，kwO）是反比例函数的一部分，当k=0时，y=—,就不是反比例函数了，由于反比

x

k

例函数y=—（kW。）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定

X

反比例函数的表达式。

学问点2用待定系数法求反比例函数的解析式

k

由于反比例函数y=—(k^O)中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的

x

值，从而确定反比例函数的表达式。

学问点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或其次、第四象限,

它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量xwO,函数值ywO,所以它的图像与x轴、y

轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但恒久达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应留意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必需依据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

学问点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要探讨它的图像的位置及函数值的增减状况，如下表：

k

反比例函数y=-(kwO)

X

k的

k>0k<0

符号

图像JL

4r-x

①X的取值范围是xwo,y的取值①X的取值范围是X工0,y的取

范围是yw0值范围是y+0

性质②当k>0时，函数图像的两个分②当k<0时，函数图像的两个分

支分别在第一、第三象限，在每个支分别在其次、第四象限，在每

象限内，y随x的增大而减小。个象限内，y随x的增大而增大。

留意：描述函数值的增减状况时，必需指出“在每个象限内否则，笼统地说，当k>0时，y随x

的增大而减小“，就会与事实不符的冲突。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号确定的，反过来，由反比例函数图

k

像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如y=—在第一、第三象限.0HpT4nk0.

kxt

☆反比例函数y=1（k^O）中比例系数k的肯定值|k|的几何意义。‘'J

如图所示，过双曲线上任一点P（X,y）分别作X轴、y轴的垂线，E、F