安徽合肥市2023-2024学年高考数学三模试卷含解析

安徽合肥市2023-2024学年高考数学三模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知四棱锥E-A6CD,底面ABC。是边长为1的正方形，ED=1,平面ECD平面ABC。，当点C到平面ABE

的距离最大时，该四棱锥的体积为（）

A.—B.-C.-D.1

633

冗冗

2.已知函/（x）=（sinx+cosx）?+2COS?x,xe,则/（x）的最小值为（）

A.2-A/2B.1C.0D.-V2

3.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1）,充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数

学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某

骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太

阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表:

黄赤交角23。4r23°57'24。13，24。28'24。"

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

4.（%--+1）5展开项中的常数项为

X

A.1B.11C.-19D.51

5.函数y=/（x）在区间上的大致图象如图所示，则Ax）可能是（）

A./(%)=ln|sinx|

B.f(x)=In(cos%)

C./(x)=-sin|tanx|

D.f(x)=-tan|cos%|

6.已知抛物线C:V=6%的焦点为产，准线为/,A是/上一点，8是直线AF与抛物线。的一个交点，若E4=3EB，

则1所|=（）

75

A.—B.3C.一D.2

22

7.执行程序框图，则输出的数值为（）

（开始）

a=0.A«l.w=1

h=a+2h

<0^

1/3/

1rr\

“rt+l1>-1-结--束-，）

A.12B.29C.70D.169

8.“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数”,如果〃为偶数就除以2,如果九是奇数，就将其乘3再加1,

执行如图所示的程序框图，若输入〃=10,则输出i的（）

/输血/

CW)

A.6B.7C.8D.9

9.已知a，b，c是平面内三个单位向量，^a±b,则卜+2c|+|3a+2A-c|的最小值()

A.aB.V29-3V2c.M—26D.5

10.方程/(x)=/'(x)的实数根%叫作函数/(x)的“新驻点”，如果函数g(x)=lnx的“新驻点”为。，那么〃满足

()

A.a=lB.0<a<1C.2<a<3D.l<a<2

11.2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一

幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”

这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：

小明说：“鸿福齐天”是我制作的；

小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；

小金说：“兴国之路”不是我制作的，

若三人的说法有且仅有一人是正确的，贝！1“鸿福齐天”的制作者是()

A.小明B.小红C.小金D.小金或小明

12.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图

所示(单位：寸)，若万取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2(平方寸)，则图中x的值为()

5.4

正视图例视图

俯视图

A.3B.3.4D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃x）=e'+以-1,若域I）"（x）。恒成立，则。的取值范围是.

sin[2x+?J的最小正周期为.

14.函数/(x)=若函数/（力在区间（0,。）上单调递增，则a的最大值为

15.在数列｛4｝中，4=1,。户0,曲线y=V在点处的切线经过点（。用⑼，下列四个结论：①的=|;

1465

②4=彳；③工4=刀7；④数列｛4｝是等比数列；其中所有正确结论的编号是

3i=\2/

16.某地区连续5天的最低气温（单位：。C）依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的标准差为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

时间代号，123456789

广告收入y（千万元）22.22.52.832.52.321.8

根据这9年的数据，对f和V作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对/和）作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案,

方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

小粒率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%,现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

18.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.

(1)求圆的方程；

(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,8两点,求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数a,使得弦A3的垂直平分线，过点尸(-2,4),若存在，求出实数a的值；

若不存在，请说明理由.

22

19.(12分)如图，椭圆c：J+2r=1(。〉6〉0)的左、右顶点分别为4,4,上、下顶点分别为耳，与，且用(0,1),

ab

4用耳为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y轴右侧的部分交于4、N两点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求四边形为g面积的取值范围.

20.(12分)某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共

100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数

据按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于

60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.

理科方向文科方向总计

卜频率

组距

男

0.0150110

0.0125

0.0100

0.0075女50

0.0050二

C□3406085T50成统/分总计

(1)根据已知条件完成下面2x2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？

(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文

科方向”的人数为4,若每次抽取的结果是相互独立的，求J的分布列、期望E(J)和方差。(£).

参考公式：K2=-------------------------其中“=Q+j+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考临界值：

P（Kj）0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.（12分）已知。，b,c为正数，且"c=l,证明:

（1）（2a+l）（2Z?+l）（2c+l）＞27；

111/3

（2）-----------T-I--------------------T------------------7——

〃伍+c）/?（tz+c）c（a+b）4*

22.（10分）已知函数了（尤）=；|x—。|（。eR）.

(1)当a=2时，解不等式x—；+/(x)21；

(2)设不等式》-；+/0)三》的解集为"，若,求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

过点E作垂足为77,过77作族垂足为尸，连接EE因为CD//平面A8E,所以点C到平面

7T

A5E的距离等于点"到平面A3E的距离〃.设NCDE=9(0<e<5),将〃表示成关于。的函数，再求函数的最值,

即可得答案.

【详解】

过点E作E//1.CD,垂足为过H作毋'LAB,垂足为尸，连接EE

因为平面ECDL平面A3C。，所以平面A5C。，

所以EHA.HF.

因为底面A3C。是边长为1的正方形，HF//AD,所以5=AD=1.

因为CD//平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.

易证平面EFH，平面ABE,

所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离限

7Ti------------------------

不妨设NCDE=e(0<e<5),则E"=sin6,EF=71+sin2.

因为SEHF=3.EFh=3EH♦FH,所以。JIT京万=sin，，

7sin。1A/2

，——_———.<jr

所以一加荷筋一n~^~2，当6=5时，等号成立・

Vsin26

此时™篦所以即=1,V…=*隈1].

故选：B.

E

BA

【点睛】

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，

求解时注意辅助线及面面垂直的应用.

2、B

【解析】

/(x)=A/2sin(2x+-)+2,xe—,—至V2x+工〈网利用整体换元法求最小值.

4L44J444

【详解】

由已知，/(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x4-2=A/2sin(2x+£)+2,

又一gwxwj,.工＜2x+工〈至，故当2x+g=—g,即》=—：时，f(x)mn=l.

44444444

故选：B.

【点睛】

本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.

3、D

【解析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤

交角，即可得到正确选项.

【详解】

解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为春秋分日光与垂直线夹角为夕，

则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，

将图3近似画出如下平面几何图形：

,石、tana-tan£1.6-0.66„，一

tan（a一£）=----------------=----------------»0.457.

l+tanor.tan^1+1.6x0.66

0.455<0.457<0.461,

估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及

数学运算能力，属中档题.

4、B

【解析】

展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.

【详解】

展开式中的项为常数项，有3种情况：

(1)5个括号都出1,即T=l；

(2)两个括号出x,两个括号出(一工)，一个括号出1,即7=。1/.。；.(—A?.」？。；

XX

(3)一个括号出工,一个括号出(一工)，三个括号出1,即7=。卜公。>(—工)」=一20；

xx

所以展开项中的常数项为T=l+30—20=11,故选B.

【点睛】

本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.

5、B

【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可；

【详解】

解：当％=0时，sin0=0,In卜in0|无意义，故排除A；

又cosO=l,贝(J/(0)=—tan|cos0|=—tanlw0,故排除D；

对于C,当曰时，|anx|>0,所以/(x)=—siHtanx|不单调，故排除C；

故选:B

【点睛】

本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.

6、D

【解析】

根据抛物线的定义求得|”|=6,由此求得忸目的长.

【详解】

过B作3CL,垂足为C,设/与x轴的交点为。.根据抛物线的定义可知忸司=忸。|.由于FA=3EB，所以

\AB\=2\BC\,所以NC4B=工，所以|AF|=2|ED|=6,所以忸司=gA刊=2.

本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

7、C

【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量沙的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.

【详解】

〃=0,b=1,n=l9b=0+2=2,n<59满足条件，

2-0

a=------=1,n=2,Z?=1+4=5,n<5,满足条件，

2

5-1

a=——=2,n=3,>=2+10=12,n<5,满足条件，

2

12-2

a=-------=5,“=4,Z?=5+24=29,n<5>满足条件，

2

29-5

a=-------=12,n=5,Z?=12+58=70,n=5,不满足条件，

2

输出Z?=70.

故选：c

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.

8、B

【解析】

模拟程序运行，观察变量值可得结论.

【详解】

循环前i=l,〃=10,循环时：n=5,i=2,不满足条件〃=1；〃=16,，=3,不满足条件〃=1；n=8,i=4,不满

足条件〃=1；n=4,i=5,不满足条件〃=1；n=2,i=6,不满足条件〃=1；n=l,i=l,满足条件〃=1,退出

循环，输出i=7.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论.

9、A

【解析】

由于二上,，且为单位向量,所以可令“=(1,0)"=(0,1),再设出单位向量c的坐标,再将坐标代入|«+2c|+忸+2b-c\

中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果.

【详解】

解：设c=(九,y),«=(1,0),/?=(0,1),则d+>2=],从而

卜+2c|+13a+2》一c卜-^(2x+l)2+(2y)2+^(x-3)2+(y-2)2

=+力+/+y2+4x+l++(y-2)2

=J(x+2『+y2+&_3『+(y_2)2>752+22=后,等号可取到.

故选：A

【点睛】

此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题.

10、D

【解析】

由题设中所给的定义，方程/(x)=/'(x)的实数根毛叫做函数〃x)的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出4的大致

范围

【详解】

解：由题意方程/(X)=f'(x)的实数根X。叫做函数/(X)的“新驻点”，

对于函数g(x)=/"x,由于g'(x)=」，

X

71

..lux—f

x

设/7(X)=/〃X-‘，该函数在(0,+CO)为增函数，

X

/z(l)=-1<0,介(2)=山2-；=ln2—ln-Je>0,

・••丸。)在(1,2)上有零点,

故函数g(x)=〃吠的“新驻点”为。，那么1<"2

故选：D.

【点睛】

本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于

基础题..

11、B

【解析】

将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.

【详解】

依题意，三个人制作的所有情况如下所示：

123456

鸿福齐天小明小明小红小红小金小金

国富民强小红小金小金小明小红小明

兴国之路小金小红小明小金小明小红

若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作

者是小红，

故选：B.

【点睛】

本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.

12、D

【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.

【详解】

由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为x,3,1和

一个底面半径为工，高为5.4-x的圆柱组合而成.

2

该几何体的表面积为

2(x+3x+3)+%・(5.4-%)=42.2,

解得x=4,

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、［-1,+co)

【解析】

求导得到/，(x)=/+a,讨论a+L.O和。+1<0两种情况，计算。+1<0时，函数/(尤)在［0,%)上单调递减，故

/(%)„/(0)=0,不符合，排除，得到答案。

【详解】

因为/(x)=e'+«x—1,所以/'(x)="+a,因为第.0,所以/'(x)..a+l.

当a+LO,即时，/(x)..O,则在［0,+8)上单调递增，从而八九)..7(0)=0,故aN—1符合题意；

当a+l<0,即。<-1时，因为/'(%)="+。在［0,+s)上单调递增，且尸(0)=。+1<0,所以存在唯一的

/6(0,+8),使得「(%)=().

令/'(x)<0,得0,,x<x°,则/(x)在［0,%)上单调递减，从而了(%),"(0)=0,故。<-1不符合题意.综上，”的取

值范围是［-1,+8).

故答案为：［T+8）.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.

71

14、n—

8

【解析】

直接计算得到答案，根据题意得到2x+f+2或+］解得答案.

4（44）42

【详解】

/（X）=sin12x+：］,故7=葛=万，当xe（0,a）时，2x+?e",2a+（1,

故2a+fwg,解得

428

77

故答案为：兀；-

8

【点睛】

本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

15、①③④

【解析】

先利用导数求得曲线y=%3在点（4,%）处的切线方程，由此求得与4的递推关系式，进而证得数列｛q｝是等比

数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.

【详解】

2

•••y'=3x，，曲线y=好在点（%,4：）处的切线方程为y—a；=3d（x-an）,

则-G=3。；（4+「％）.

c2

；a“*0,an+l=§a”，

9

则｛4｝是首项为1,公比为§的等比数列，

从而%=g,%1寸65

3

故所有正确结论的编号是①③④.

故答案为：①③④

【点睛】

本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前〃项和公式,

属于基础题.

16、4

【解析】

先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差.

【详解】

解：某地区连续5天的最低气温(单位：。C)依次为8,-4,-1,0,2,

平均数为：1(8-4-1+0+2)=1,

该组数据的方差为：

S2=1[(8-1)2+(-4-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)2]=16,

该组数据的标准差为L

故答案为：1.

【点睛】

本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q1

17、(1)选取方案二更合适；(2)—

125

【解析】

(1)可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年

的数据得到的相关系数的绝对值Q984>0.959,所以有99%的把握认为V与/具有线性相关关系，从而可得结论；⑵

32

求得购买电子书的概率为二,只购买纸质书的概率为二,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电

子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

【详解】

(1)选取方案二更合适，理由如下：

①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告

收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续

数据的依据.

②相关系数M越接近L线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.243<0.666,我们没有理

由认为y与r具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值Q984>0.959,所以有99%的把握认为V

与r具有线性相关关系.

(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比

113

例为10%,所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为一+一=—,只购买纸质书的概率

2105

2

为弓，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率

为Y||J+4|1X|喘.

【点睛】

本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能

力与运算求解能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的

事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型

进行解答.

53

18、(2)(x-2)2+y2=2.(2)(—,+«)).(3)存在，。=二

124

【解析】

l4m-29l

(2)设圆心为M(机，0),根据相切得到」_U5,计算得到答案.

5

(2)把直线ax-y+5=0,代入圆的方程，计算△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0得到答案.

(3)I的方程为y=—U(x+2)+4,BPx+ay+2-4a=0,过点M(2,0),计算得到答案.

a

【详解】

(2)设圆心为0)(mGZ).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5,

所以|4m—29|=5,即乩机-291=2.因为机为整数，故机=2.

5

故所求圆的方程为(X-2)2+^=2.

(2)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程，消去了，

整理得(层+2)x2+2(5a-2)x+2=0,

由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0,

即22/-5a>0,由于a>0,解得。>工，所以实数a的取值范围是(9,+8).

1212

(3)设符合条件的实数。存在，则直线/的斜率为-l，

a

/的方程为y=--(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0,

a

由于/垂直平分弦A5,故圆心M(2,0)必在/上，

33(5、3

所以2+0+2-4.=0,解得。=了.由于丁目7,+oo故存在实数

44112rJ4

使得过点P(-2,4)的直线/垂直平分弦A5.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

、步,、(3,乖>「

19、(1)---Fy-=1；(2)—,1H----.

3-(23_

【解析】

(1)根据与坐标和的与均为等边三角形可得a,0,进而得到椭圆方程;

(2)①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线MN的斜率存在时，设方程为

y=k(x-l),与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定左的取值范围；利用S=SANOB,+SMMN+S^MOB2,代

出

入韦达定理的结论可求得S关于左的表达式，采用换元法将问题转化为s=me（立+62@的值

m+--2A/3

m

域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.

【详解】

(1)4(o,i),."=1,

2

AA4a为等边三角形，.♦.。=技=百，.•.椭圆的标准方程为《+>2=1.

(2)设四边形与加入代的面积为S.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为丁=左(％-1),

设以(%，％)，N(%2，%)，

f2

尤।2_]

联立T+-V=得：（3左2+1）尤2—6左2%+3左2—3=0,

y=^（x-1）

6k23k2—3，山72|=卜(再一々)|=26"：+1

.%1>0,x2>0,x{x2>0,/.|A;|>1,

面积

3k-币\k\{2k2+T_3

（Xi+%）xl+；x|x-%

S=SANOB、+S&OMN+SAMOB?=5Xxl-3一+13k2+1]

3+F

•\/3x、2H—Q

+「「

3+F

令"‘卓，则5=胃，回"6)

令m=t+粗,则5=,——=—fvme（女+百,2百），

m2-2V3m+4加+2、3、

m

S(/n)在定义域内单调递减，二|<5<1+^

综上所述：四边形与面积的取值范围是1,l+y^

【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是

能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.

20、(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析，连.

525

【解析】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)、［80,100］之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算K?的值，结合

参考临界值表可得到结论;

(2)从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率P.由题意6(3,p),求出分布列，根据公式

求出期望和方差.

【详解】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)之间的学生人数为0.0125x20x200=50,在［80,100］之间的学生人数为

0.0075x20x200=30,所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为

理科方向文科方向总计

男8030110

女405090

总计12080200

200x(80x50-30x40)2

又K?=