2023-2024学年高考数学平面向量及其应用专项练习题（含答案）

2023-2024学年高考数学平面向量及其应用小专题

一、单选题

1.己知空间向量&二（2T2）,2,1）,则向量B在向量Z上的投影向量是（）

A.B.(2,-1,2)

32]

3’3)

C.D.(1,-2,1)

2.设非零向量口石忑，满足同=MHd,a+b=c,则向量仇彼的夹角等于（）

A.150°B.120°C,60。D.30。

=5|/@=12\AC\=13-77;

M,II,II,贝nlrj/C-8C=()

A.-25B.0C.25D.65

---►---►---»2

4.在“8C中，若BCCA+BC=0,则"8C的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.在A/8C中，a,bc分别是ZB,C的对边.若且/=c?+加，则

-N的大小是（）

兀兀2兀5兀

A.6B.3C.3D.6

6.已知向量”（L2）,鼠否=5,1-4=2后，贝ijW等于（）

A.#1B.2右

C.5D.25

7.已知q,‘2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是（）

Q

A.a=0,b=ex+e2B=3,+3%b=ex+e2

IWUf一一1mu_一一

>

Ca=ex-2e2b=ex-t-e2Da=ex-2e2b=25-4e2

8.如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与4C两边交于M,N两

11

--1--

点（点N与点。不重合），设.=》在，而=歹就

则％V的值为（)

A

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

sin/=3

9.在A43C中，角/,B,C,所对的边分别为a,6,c,若。=4,5,tanC=7,

则下列结论正确的是()

cosA=±—B=—

A.5B.4

C.2D,"8C中的面积为7A历

zc=-

10.已知“8C三个内角/,B,C的对应边分别为a,6,c,且3,c=2.（）

A."BC面积的最大值为百

______2+逑

B.4。的最大值为3

cos5

C.cos/的取值范围为（-2,+功

D.bcosA+acosB=42

11.设向量"=（2，°）,：则（）

B(a-b)Hb

71

Q(a-b).LbD.Z与石的夹角为Z

12.在03c中，角4瓦0所对的边分别为a，a。，那么在下列给出的各组条件中，能确定三

角形有唯一解的是()

A.2=30。，b=5,c=2B.8=30。，6=2,c=4

C.3=30°,b=2,c=5D.4=75。,8=30°,6=2

填空题

13.设向量建（T2）,B=若+妨），则

14.已知向量l=（2J）/=（T2）,且力/石，贝/"一可=.

15.已知向量Z与向量石满足：忖”W=2,且Z与石的夹角为3,则.

16.马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量48两座岛之间

的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45。的方向上，3在C的北偏东15°的

方向上，现在船往东航行2百海里到达E处，此时测得8在E的北偏西30°的方向上，船再返

回到C处后，由C向西航行2戊百海里到达。处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则

48两座岛之间的距离为,百海里.

答案：

1.A

【分析】根据投影向量的求解公式计算即可.

［详解］因为万=(2「12),B=(l-2D,所以力=6,忖=3,

a-b-

---2-

故向量石在向量z上的投影向量是卜

故选：A.

2.B

a-b=--lap

【分析】先将等式@+1=己两边平方，可得2l।,再用平面向量的夹角公式计算即可.

【详解】由等式万+3=5,两边平方得.0+斤=己2,

贝U同2+23石+|邛=同;且同咽=同.a-b=--Io

，所以2,

「一岳1

cos(tz,/?)=-------=—J-=——

'团,⑸同即(

2Z弓=120°

故选：B.

3.C

【分析】先判断三角形是直角三角形，再结合向量线性运算与数量积运算知识进行计算即可.

【详解】如图所示，

BC

因为在“3C中，满足叫=5,网=12因=13

所以网+,即N/8C=9

0。，

2

JCBC=(BC-BA\JC=BC2-0=SC=25

所以vJ

故选：c

4.C

【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.

22

布.伊+直卜就2^-BC+BC-BA+BC=Qn灰面=0

【详解】由题意可知

所以8C_L氏4,即的形状是直角三角形.

故选：C

5.A

［分析］由尸=。。，且/+6儿=/+*,得至a2+,2_/=石灰，利用余弦定理求解,

【详解】因为〃=*,且。2+6儿=。2+时,

所以〃+c2_/=#>bc,

"+°2_〃2

cosA=

所以2bc2,

因为/e（。，兀），所以A~6,

故选：A

6.C

【分析】求出H,对卜一"=2近两边平方可得答案.

【详解】问=6,0=5,

因为*2退，所以|力卜彳_2。.g+=20,

即57°+W=2。，解得他5.

故选：C.

7.C

【分析】由零向量与任意向量共线判断A,根据：=3々判断B,设£=4，建立方程，根据

a=-b

方程解的情况判断C,根据2判断D.

【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；

对于B：因为"=39+302,b=el+e2＞所以：=3'所以此两个向量不可以作为基底；

__Jl=4

对于C：设£=4，即q-2ez=',+'),则［-2=2,所以无解，所以此两个向量不共线,

可以作为一组基底；

对于D：设°=e「2e2,b=2et-4e2j所以,所以此两个向量不可以作为基底；

故选：C.

8.A

【分析】利用平面向量基本定理计算即可.

、^^=AM+MG=AM+U1N=AM+A(AN-AM}

【详解】设MG=AMN,贝IJV)

=(l-A)AM+AAN=x(l-A)AB+yAAC

—►1―►1—►

AG=—AB+—AC

又因为G是“的重心，故33

x(T)=；]i

=—I—=3(1-4)+3A=3

yA=—%>

所以有13

故选：A

9.BC

【分析】利用同角三角函数的基本关系和sin8=sin("+C)判断cos/的符号，即可判断A选

a_b

项；由cos'=-cos("+C),求8的值，即可判断B选项；由正弦定理一击反求b的

—absinC

值，即可判断C选项；利用2求面积，即可判断D选项.

•,4彳।3

sm%=—cosZ=±—

【详解】解：由5,得5,

sinC=2(2L

由tanC=7,得C为锐角且10,C=-10,

8S」1772

sin5=sin(4+C)=sinAcosC+cos4sinC=一<0

若5则50

cosH

与sin8>°矛盾，故5,故A错误;

33V2475/2V2

cos力=y时cosB=cos[兀一(/+C)]=-cos(/+C)=-—x-----1——x--------=------

5105102,

B=—

因为3£(0,兀)，所以4,故B正确;

ab,V24,,5>/2

_____—____4X___=__hr)-_____

由正弦定理sin/sing,即asinB=bsin/,得2___5,即2,故c正确;

1,.1.5V27>/2„

___—a/?sinC=—x4x---x---=7

所以的面积为22210,D错误.

故选：BC.

10.AB

【分析】由余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算判断A；由正弦定理，向量数量积

的定义，三角恒等变换结合正弦函数的性质求解判断B；利用三角恒等变换结合正切函数的

性质计算判断C；利用余弦定理计算判断D.

Z_C=—

【详解】对于A,由3,c=2,彳导4=a?+按一ab22ab—ab=ab,当且仅当

。=6=2时取等号，即成的最大值为4,

S=—aZ>sinC<—x4x—=拒

则“8。面积222,即面积的最大值为百,A正确;

上=工=迪ismSB=^-A

对于B,由正弦定理得sinBsinC3,贝|3,3

LA-nA8A/32TI

AC-AB=becosA-----smBcosA------cosAsin(------A)

333

8上“G,1.八/2,46.,,

=-----cos4——cosZ+—smZ)=4cosA-x--------smAcosA

3223

C/1C2A/3._.4^3,I._.V3....4A/3..71..

=2(1+cos2/)H-------sin24—------(—sin2/H------cos2/)+2=------sin(2/H—)+2

332233

AC“4兀兀。彳兀5兀

0<A<—0<2A<——<2A+—<——2A+-=-

显然3,有3,333,则当32,

/J一一述+2

即12时，/C23取得最大值为3,B正确;

「cos(-----A)cos——cosA+sin--sin/,仄

cos83331V3由人吟

--------二------------------=-------------------=——+—tan^

对于C,cosAcosA------------------cosA-----------------22

得tan/€(-/,一«)u(0,+co),因此嬴7的取值范围为一叱―。一5'十0°),C错误;

bcosA+acosB=b----------------Fa----------------=c=2

对于D,由余弦定理得2bclac,D错误.

故选：AB

11.CD

【分析】求出阿书可判断A；求出力的坐标，利用向量共线的坐标运算可判断B；由向量

垂直的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式计算可判断D.

【详解】对于A,忖=2，W=g=&,故A错误；

对于B,因为"%（2，°）-（U）=（LT）,所以lxJ（T）xl=2,故B错误;

对于C,因为"I。，。）-。-），所以（力A'-1x1=0,所以（力评，故

C正确；

/-7\ci'b2V2

对于D,""RT运。因为。平但

兀

所以£与坂的夹角为故D正确.

故选：CD.

12.BD

【分析】用6与点/到边2c的距离及。的长比较大小可判断A,B,C；求三角形各边及角

可判断D.

【详解】选项A,点/到边8C的距离是1,•/<血<2,.•.三角形有两解；

选项B,点/到边8C的距离是2与b相等，，三角形是直角三角形，有唯一解;

选项C,点N到边8C的距离是2.5>6,三角形无解；

选项D,根据已知可解出。=兀-/-8=75。，a=c=V6+V2,

三角形有唯一解.

故选：BD.

13.-3

【分析】根据“,9+序），利用数量积的坐标运算求解.

【详解】解：因为向量）=（T2）,B=（T，1）,

以a+kb—（-4-k>2+k）

„b_L（a+kb>\

又因为<）,

LL…3.仿+历）=4+左+2+左=0

所以v7,

解得k=-3,

故-3

14.3石

【分析】由向量平行的充要条件求出参数，进而由模长的坐标公式即可得解.

【详解】由题意'=（2，'）/=（T