2024年知名赛事圆梦杯模拟考试数学试题

2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（四）

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试蚕指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合〃={#2一2%〈3卜N=卜卜=21，则MAN=（）

A.（-1,1）B.（0,+oo）C.[0,3]D.（0,3]

2.在复平面内，（1—i）（2+3i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知直线/:y=x+M（加〉0）与口。：（%—1）2+丁=2交于A,B两点,若仙却=2,则m=（）

A.1B.A/2C.V2—1D.>/3—1

3

4.已知命题p："tan。=2"，命题q："cos2a=——"，则命题p是命题q的（

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3

5.已知〃=log23,Z?=log35,c,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

6.已知函数〃x）=—二的图象关于点对称，则4=（

A.1B.2C.eD.e2

2222

7.已知椭圆。]：=+3=1（。〉6〉0）与双曲线C2：1-==1（机〉0）有公共焦点，记G与在x轴

abmb

上方的两个交点为A,B,过&的右焦点作x轴的垂线交C2于M，N两点,若=则G

的离心率为（）

324

A.-B.C.D.

7352

8.已知函数/(x)=s%(0x+°)(ty>0,1同<1),如图，A,B,C是曲线y=/(x)与坐标轴的三

个交点，直线BC交曲线y=/(x)于点M,若直线AM,的斜率分别为一，3,则。=()

n〜.

A.—B.71C.2乃D.4不

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，

作出的频率分布直方图如图，成绩排在前10%的学生将获得“优秀学生”称号，则()

A.估计该市考生的成绩低于60分的比例为16%

B.估计该市考生成绩的众数为60

C.估计该市考生成绩的平均数为70.6

D.估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号

10.记函数工(x)的导函数为九](x),已知其(尤)=/1,若数列｛4｝,也｝满足

力(耳=(》2+。/+.)],则()

A.｛4｝为等差数列B.｛〃｝为等比数列

11.已知抛物线E:/=x,。为坐标原点，过A(l,0)作x轴的垂线交直线丁=依于点8,点。满足

OB=2BC,过3作x轴的平行线交E于点P(P在8的右侧)，若NOPC=3NO84,则()

A.\BC\=\CP\B.\BP\=\CP\

C.smZCOP=-D.△OPC的面积为正

46

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量入B的夹角为若忖=2,忖+4=2疗，则同=.

13.已知三棱锥尸―ABC的各顶点均在半径为2的球。表面上，ZAOB=ZAOC=60°,OB1OC,则

三棱锥。-ABC的内切球半径为；若AP=2也,则三棱锥。-PBC体积的最大值为

14.已知数列｛《,｝满足a,"]=e""+i,函数/(x)=---的极值点为％,若+l)=ln%，贝厄+的二

X+1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

如图，在三棱柱ABC—A4a中，人&，4与，ABLBC,四边形BCQ片是菱形.

(1)证明：AQl^C；

(2)若A3=5C=¥4C,求二面角8—AC1—C的正弦值.

16.(15分)

已知数列｛a“｝的各项均为正数，q=1,an+2an>a^+1.

1

(1)若的=3，证明：an>3"-；

(2)若％o=512,证明：当为取得最大值时，—+—+—<2.

17.（15分）

已知函数=x"-x（x>0,awl）.

（1）讨论〃x）的单调性；

（2）若f（x）存在极值点5，证明：%随着。的增大而增大.

18.（17分）

某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张卡片，共有“A”和“3”

两种卡片，每位玩家的初始分数为0,每获得一张“A”加1分，每获得一张“3”减1分.已知某位玩

家在一局游戏内共点击屏幕2•次，设该玩家获得“4”的次数为X,，最终分数为工.

（1）若玩家每次点击屏幕时，获得“A”和“B”的概率均为工，求X3的分布列与数学期望，并直接写

23

出E（Xj的值；

（2）若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“A”和“5”的概率.计数器会记录玩家已经点击屏

幕的次数”（初始值为0）,若〃为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“A”和“3”的概率均为工，

2

21

若“为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“A”的概率为丁获得“3”的概率为『求。（匕）.

附：若随机变量X]和X?的取值是相互独立的，则。（区+乂2）=。（区）+。（乂2）.

19.（17分）

2

已知双曲线G：/—与=1与曲戟。2：2（%—根）2+（y—“了=6有4个交点4,B,C,D（按逆时针排

列）

（1）当加=”=0时，判断四边形ABC。的形状；

（2）设。为坐标原点，证明：|。4『+|03『+|℃『+[0£）『为定值；

（3）求四边形ABC。面积的最大值.

附：若方程%4+万九2+S+Q=0有4个实根石，x2,X3,X4，则％i+%2+%3+%4=-。，

+石£+X1X4+X2X3+X2X4+X3X4=•

2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一考试

B卷参考答案

一、单选题

1.D2.A3.C4.B5.C6.C7.D8.B

二、多选题

9.AC10.ACD11.BCD

三、填空题

12.413.272-76；14.-2

3

四、解答题

15.解:

AB±叫

（1）>nA3面BBC、CAB1BC.

AB1BCX

又Be、_LB、CnB]C_L面ABCX,,AC}_LBXC.

（2）/B1BC=120。,建立如图所示的空间直角坐标系，

则有3（0,0,0）,q（0,l,V3）,C（0,2,0）,A（2,0,0）,BA=（2,0,0）,福=卜2,1,也），

QC=（0,l,-V3）,m=（0,-V3,l）;为=（百,a1）,|cosd|=^!=^,sin，=Jl—cos?，=年.

\y

16.解：

（1）吐2也，设嗅=

4+i%an

n-1

、％=3，,=3,%%%%…qn_iNax-q「—3.

（2）Go=5122（%•%,.•./•%・・・/«8,

a4最大值为8,当且仅当价・%・7=%.%・%=%.%.%时取等号・

而％，%=%=…=%=2而〃》10时，qn>qn_1>--->q9=2,

=2"T,—+—+—”=2(1——]<2.

a2

1。2n1-1I"J

2

17.解：

(1)F'(x)=-l+ax"T

©tz<0,r(x)<0,/(x)0.

1

1a-\

@a>0,x=—,

Qa

(i、(1

-11工I

(i)a>l,/(%)在0,-"□,+8□.

a

I7

Cj_A(1、

(ii)0<6/<l,/(x)在0,—"i□,+8□;

a

I7

rJ_A

/c、诙、Ti1\In”xa\na-a+1

(2)要证In—□n，即证。(〃)=----□n，(b(a)=------------

v7

a1-av7a("l)2

I7

=alna-tz+1,=]na,>w(l)=0,

,「aw—1,再证：〃>1时，。(〃)>一1,时，。(〃)<一1,即》(〃)=ln〃一〃+1<0,

而/(〃)=▲—1,显然〃(〃)在(0,1)口，(1,+GO)口，.二〃(〃)V"(1)=O成立！

综上，毛随〃的增大而增大.

18.解：

(1)X3的可能取值为0,1,2,3,

X3的分标列为

（2）可以将奇数次抽奖和偶数次抽奖看作两个独立的二项分布且X=X/（，-Xj=2Xj-，.

①当，・为奇数时，第奇数次抽奖共进行三次，第偶数次抽奖共进行3次，

而奇数次抽奖和偶数次抽奖相互独立,

.•.。化）=。（2乂/。=4。区）=4D%+DZ”

V27

17z+l

18

/\

②当〃为偶数时。（匕）=4O（Xj=4+DZ,

DYL

\27V2/

19.解：

(1)2x12—y2=2,4x2=8n元=±V2,

2x2+/=6,由％2=2=>y=+V2,

•.人5=8。=。。=。4且43,8。，...A5CZ)为正