2023-2024学年广东省揭阳市产业园区中考数学最后一模试卷含解析

2023-2024学年广东省揭阳市产业园区中考数学最后一模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T形管道，则其俯视图正确的是（

2.已知二次函数一丁；、；-m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,则关于x的一元二次方程

x2-3x+m=0的两实数根是

B.xi=l,X2—2

C.Xl=l,X2=0D.xi=l,X2=3

3.如图，AB是。。的直径，C,。是。。上位于AB异侧的两点.下列四个角中，一定与NAC。互余的角是（）

A.ZADCB.ZABDC.ZBACD.ZBAD

4.如图所示，△ABC为等腰直角三角形，NACB=90。，AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC与DE在同一

直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x,AABC

与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

5.如图是某公园的一角，NAOB=90。，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD/7OB,

则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）

6.如图是测量一物体体积的过程：

步骤一：将180mL的水装进一个容量为300mL的杯子中;

步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；

步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.

根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？（lmL=lcm3）（）.

A.lOcnP以上，20cm3以下B.20cm3以上，30cm3以下

C.30cm3以上，40cm3以下D.40cm3以上，50cm3以下

7.下列计算正确的是（）

A.2x-x=lB.x2*x3=x6

C.（m-n）2=m2-n2D.（-xy3）2=x2y6

8.下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

9.若点M（-3,yi）,N（-4,y2）都在正比例函数y=-l？x（厚0）的图象上，则yi与y2的大小关系是（）

A.yi<yzB.yi>y2C.yi=yzD.不能确定

10.△ABC的三条边长分别是5,13,12,则其外接圆半径和内切圆半径分别是（）

A.13,5B.6.5,3C.5,2D.6.5,2

11.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角NABO为a,

则树OA的高度为（）

C.30fana米D.30cosa米

tana

12.估计若介于（）

A.0与1之间B.1与2之间C.2与3之间D.3与4之间

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知b是a,c的比例中项，若a=4,c=16,则b=

14.已知抛物线丁=。必+6*+。的部分图象如图所示，根据函数图象可知，当y>0时，x的取值范围是

15.如图，在△ABC中，ZC=120°,AB=4cm,两等圆。A与。B外切，则图中两个扇形的面积之和（即阴影部分）

为cn?（结果保留兀）.

16.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1,6）,则点C的坐标为

17.若x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+l-0的一个解，则m的值为.

18.按照一定规律排列依次为三5,1,义9,1二1,1；31,15/......按此规律，这列数中的第100个数是

410131619

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，在RtAABC中，ZC=90，点。在边上，DE±AB,点E为垂足，AB=1,NDAB=45。,

3

tanB=—.

4

⑴求。E的长；

⑵求NCDA的余弦值.

20.(6分)华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，

销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x元(x为正

整数)，每天的销售利润为y元.求y与x的函数关系式；每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最

大利润是多少？

21.(6分)有A,B两个黑布袋，A布袋中有两个完，全相同的小球，分别标有数字1和1.B布袋中有三个完全相同

的小球，分别标有数字-1,-1和-2.小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x,再从B布袋中

随机取出一个小球，记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).

(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；

(1)求点Q落在直线y=-x-1上的概率.

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC三个定点坐标分别为A(-4,1),B(-3,

3),C(-1,2).画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,点A,B,C的对称点分别是点Ai、Bi、Ci,直接写出点

Ai,Bi,Ci的坐标：Ai(,),Bi(,),Ci(,)；画出点C关于y

轴的对称点C2,连接C1C2,CC2,CiC,并直接写出ACC1C2的面积是

23.（8分）如图，在nABCD中，DE±AB,BF1CD,垂足分另lj为E,F.求证：AADE^ACBF；求证：四边形BFDE

24.（10分）九（1）班同学分成甲、乙两组，开展“四个城市建设”知识竞赛，满分得5分，得分均为整数.小马虎根

据竞赛成绩，绘制了如图所示的统计图.经确认，扇形统计图是正确的，条形统计图也只有乙组成绩统计有一处错误.

1分

（2）若成绩达到3分及以上为合格，该校九年级有800名学生，请估计成绩未达到合格的有多少名？

（3）九（1）班张明、李刚两位成绩优秀的同学被选中参加市里组织的“四个城市建设”知识竞赛.预赛分为A、B、C、

D四组进行，选手由抽签确定.张明、李刚两名同学恰好分在同一组的概率是多少？

25.（10分）如图，二次函数二的图像与轴交于r、B两点，与，轴交于点C，OB=OC•点I）在

函数图像上，匚）轴，且0=3直线是抛物线的对称轴，；是抛物线的顶点.求:、的值；如图①，连接

线段上的点！关于直线的对称点I恰好在线段B上上，求点的坐标；如图②，动点P在线段匚上，过点P作

轴的垂线分别与BC交于点'」，与抛物线交于点、.试问：抛物线上是否存在点Q,使得一、、与白工小丁的面积

相等，且线段'的长度最小？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，说明理

《笫28K)

26.(12分)在R3ABC中，NC=90。，NB=30。，AB=10,点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形,

点F是AB的中点，连接EF.

(1)如图，点D在线段CB上时，

①求证：△AEF^AADC；

②连接BE,设线段CD=x,BE=y,求y2-x?的值;

(2)当NDAB=15。时，求AADE的面积.

27.(12分)如图，AA5C和ABEC均为等腰直角三角形，且NACB=NBEC=90。，AC=4近,点尸为线段3E延

长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPZ>,线段BE■与CD相交于点F.

(2)连接50,请你判断AC与30有什么位置关系？并说明理由;

（3）若PE=L求AP3O的面积.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称.从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正

视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物

体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状.故选B

考点：三视图

2、B

【解析】

试题分析：•••二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,

222

•*.I—3+m=0=>m=2.-*.x-3x+m=0^>x-3x+2=0^>x1=l,x2=2.故选B.

3、D

【解析】

；NACD对的弧是A。，A。对的另一个圆周角是NABD,

AZABD=ZACD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），

又•••AB为直径，

.\ZADB=90°,

.,.ZABD+ZBAD=90°,

即NACD+NBAD=90。，

.•.与NACO互余的角是N3AZ>.

故选D.

4、A

【解析】

此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可.

【详解】

解：设CD的长为x,.ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为Y二

当C从D点运动到E点时，即0<x<2时，y=—x2x2——(^2—x)x^2—=——x2+2x.

当A从D点运动到E点时，即2<xV4时，y=1x[2-(x-2)]x[2-(x-2)]=1x2-4x+8,

y=--x2+2x(0<x<2)

，y与x之间的函数关系《由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.

1,

y=-x-4x+8(2<x<4)

故选A.

【点睛】

本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围.

5、C

【解析】

连接OD,

•弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，.,.OC=-OA=-x6=l.

22

；NAOB=90。，CD/7OB,.*.CD±OA.

在RtAOCD中，•••OD=6,OC=L二CD='OD?―心=荷=3百•

又VsinZDOC=空=B，，ZDOC=60°.

OD62

•••S阴影=S扇…应℃=^£?3、3凤6万-E（米2）.

故选C.

6、C

【解析】

分析：本题可设玻璃球的体积为X,再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可.

f3x<300-180

详解：设玻璃球的体积为x,则有，

4%>300-118O0M

解得30<x<l.

故一颗玻璃球的体积在30cm3以上，1cm3以下.

故选C.

点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x的取值范围.

7、D

【解析】

根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幕的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A、2x-x=x,错误；

B、x2»x3=x5,错误；

C、(m-n)2=m2-2mn+n2,错误；

D、(-xy3)2=x2y6,正确；

故选D.

【点睛】

考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果.

8、B

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答.

【详解】

A.不是轴对称图形，是中心对称图形；

B.是轴对称图形，是中心对称图形；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形.

故选B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

9、A

【解析】

根据正比例函数的增减性解答即可.

【详解】

•.•正比例函数产-科,（时0）,-

...该函数的图象中y随x的增大而减小，

,点M（-3,ji）,N-4,J2）在正比例函数产-k2x（际0）图象上，-4V-3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于尸质（左为常数，际0）,当左＞0时，尸质的图象经过一、三象限,

y随x的增大而增大；当上＜0时，尸质的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.

10＞D

【解析】

根据边长确定三角形为直角三角形，斜边即为外切圆直径，内切圆半径为红与U,

【详解】

解：如下图，

「△ABC的三条边长分别是5,13,12,且52+122=13。

...△ABC是直角三角形，

其斜边为外切圆直径，

13

.•.外切圆半径=彳=6.5,

2

内切圆半径=5+1；T3=2,

故选D.

【点睛】

本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

11、C

【解析】

试题解析：在RtAABO中,

•.•BO=30米，NABO为a,

/.AO=BOtana=30tana（米）.

故选C.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

12>C

【解析】

解：•♦•4<5<9,

:•口〈非〈也,即2〈逐〈3

估计&在2〜3之间

故选C.

【点睛】

本题考查估计无理数的大小.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、+8

【解析】

根据比例中项的定义即可求解.

【详解】

；b是a,c的比例中项，若a=4,c=16,

b2=ac=4x16=64,

b=±8,

故答案为±8

【点睛】

nh

此题考查了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b：c或3=2,那么线段b叫做

bc

线段a、c的比例中项.

14、-l<x<3

【解析】

根据抛物线的对称轴以及抛物线与X轴的一个交点，确定抛物线与X轴的另一个交点，再结合图象即可得出答案.

【详解】

解：根据二次函数图象可知：

抛物线的对称轴为直线x=l,与X轴的一个交点为（-1,0）,

二抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）,

结合图象可知，当y>0时，即x轴上方的图象，对应的x的取值范围是-l<x<3,

故答案为：-l<x<3.

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式的问题，解题的关键是通过图象确定抛物线与x轴的另一个交点，并熟悉二次函数与不

等式的关系.

2

15、一71・

3

【解析】

图中阴影部分的面积就是两个扇形的面积，圆A,B的半径为2cm,则根据扇形面积公式可得阴影面积.

【详解】

（ZA+ZB）7VX2260^X42/

--------------=-------=一n（cm2）.

3603603

2

故答案为一万.

3

考点：1、扇形的面积公式；2、两圆相外切的性质.

16、（-6，1）

【解析】

如图作AF_Lx轴于F,CE_Lx轴于E.

••,四边形ABCD是正方形,

/.OA=OC,ZAOC=90°,

,."ZCOE+ZAOF=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

AZCOE=ZOAF,

在小COE^DAOAF中,

NCEO=NARO=90°

<ZCOE^ZOAF

OC^OA

.1△COE也△OAF,

/.CE=OF,OE=AF,

VA(1,名)，

.*.CE=OF=1,OE=AF=V3>

.•.点C坐标（-若，1）,

故答案为（-君，1）.

点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标

时，需要加上恰当的符号.

17、1

【解析】

试题分析：将x=-l代入方程得：l-3+m+l=0,解得：m=l.

考点：一元二次方程的解.

203

18、

301

【解析】

根据按一定规律排列的一列数依次为3,,3,二,与…，可得第n个数为竺;，据此可得第100个数.

47101316193n+l

【详解】

由题意，数列可改写成5二7,，二9，一11，上13，上15,

4710131619

则后一个数的分子比前一个数的法则大2,后一个数的分母比前一个数的分母大3,

5+(77-1)X22n+3

二第〃个数为

4+(77-1)X33n+l

2x100+3203

,这列数中的第100个数为

3x100+1301

203

故答案为：而

【点睛】

本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，掌握数字类规律基本解题方法.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)3;(2)2_

10

【解析】

分析：(1)由题意得到三角形AOE为等腰直角三角形，在直角三角形。E3中，利用锐角三角函数定义求出OE与3E

之比，设出。E与3E,由43=7求出各自的值，确定出。E即可；

(2)在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与30的长，根据tanB的值求出cosb的值，确定出8C的长，由

BC-BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可.

(1)'：DE±AB,：.ZDEA=90°.5L'：ZDAB=41°,：.DE=AE.RtADEBZDEB=9Q°,tanB=-,：.—=-,

4BE4

设Z>E=3x,那么AE=3x,BE=4x.'：AB=7,：.3x+4x=7,解得：x=l,：.DE=3；

34

(2)在RtAADE中，由勾股定理，得：AD=3框,同理得：BD=1.在RtAABC中，由tanB=—,可得：cosB=-,

45

：.BC=—,：.CD^~,/.cosZCDA=—=,即NCZM的余弦值为史.

55AD1010

点睛：本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟

练掌握各自的性质是解答本题的关键.

20、(1)y=-S^+llOx+llOO；(2)售价定为189元，利润最大1805元

【解析】

利润等于(售价-成本)x销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；

【详解】

⑴产(200-x-170)(40+5x)=-5x2+110x+1200；

(2)y=-5X2+110X+1200=-5(x-11)2+1805,

•••抛物线开口向下，

...当x=U时，y有最大值1805,

答：售价定为189元，利润最大1805元；

【点睛】

本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键.

21、⑴见解析;(l)g

【解析】

试题分析：先用列表法写出点Q的所有可能坐标，再根据概率公式求解即可.

(1)由题意得

11

-1(1,-1)(1,-1)

-1(1,-1)(1,-1)

-2(1)-2)(1,-2)

(1)共有6种等可能情况，符合条件的有1种

P(点Q在直线y=-xT上)=-.

考点：概率公式

点评：解题的关键是熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值.

22、(1)-1、-1,-3、-3,-1、-2；(2)见解析，1.

【解析】

(1)分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；

(2)作出点C关于y轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得.

【详解】

Ai(-1,-1)Bi(-3,-3),Ci(-1,-2).

故答案为：-1、T、-3、-3、-1、-2；

(2)如图所示，△CCC2的面积是工x2x1=1.

2

故答案为：L

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质.

23、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC,对角相等，

利用AAS即可的值；

(2)由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到NCDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的

值.

【详解】

解：(1)VDE1AB,BF±CD,

/.ZAED=ZCFB=90°,

四边形ABCD为平行四边形，

.\AD=BC,ZA=ZC,

在小ADE^HACBF中，

ZAED=NCFB

{ZA=ZC,

AD=BC

/.△ADE^ACBF(AAS)；

(2)•••四边形ABCD为平行四边形，

ACD#AB,

:.ZCDE+ZDEB=180°,

VZDEB=90o,

.,.ZCDE=90°,

/.ZCDE=ZDEB=ZBFD=90°,

则四边形BFDE为矩形.

【点睛】

本题考查L矩形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的性质.

24、(1)见解析；(2)140人；(1)

4

【解析】

(1)分别利用条形统计图和扇形统计图得出总人数，进而得出错误的哪组；

(2)求出1分以下所占的百分比即可估计成绩未达到合格的有多少名学生；

(1)根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得张明、李刚两名同恰好分在同一组的概率.

【详解】

(1)由统计图可得：

(1分)(2分)(4分)(5分)

甲(人)01764

乙(人)22584

全体(％)512.5101517.5

乙组得分的人数统计有误，

理由：由条形统计图和扇形统计图的对应可得，

24-5%=40,(1+2)+12.5%=40,

(7+5)+10%=40,(6+8)4-15%=40,(4+4)+17.5%#40,

故乙组得5分的人数统计有误，

正确人数应为：40x17.5%-4=1.

(2)800x(5%+12.5%)=140(人)；

(1)如图得：

开始

ABCD*

//Vx

ABCDCDABCDABCD

•.•共有16种等可能的结果，所选两人正好分在一组的有4种情况，

41

二所选两人正好分在一组的概率是：—

164

【点睛】

本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件.

fr"在2

25、(1))=7,c=-3；(2)点,的坐标为，21;(3)点U的坐标为，"；和二「;

%金砚3W,.”

【解析】

(1)根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；

(2)先求F的对称点，代入直线BE,即可；(3)构造新的二次函数，利用其性质求极值.

【详解】

解：(1)轴，CD=2>抛物线对称轴为直线：；；，：=1

；=】'=2OB=OC•：।点的坐标为一

厕=芯匕；匕号彩解得c=；或,=0(舍去),C--?

(2)设点，，的坐标为।।•对称轴为直线：-：点关于直线的对称点,的坐标为U，，I.

直线三上经过点川：一EU7利用待定系数法可得直线3三的表达式为.二二一，.

因为点.在.，，上，，硼二次:才?,-%二-弓,，即点/的坐标为「一--i

(3)存在点。满足题意.设点尸坐标为5.0),则尸<="+1/8==3-乩尸.V=f;+1+3.

作QR_2V.垂足为凡•；53元\=S3..+1M3f)=1(f：-%+3口2K..0=1

①点：J在直线.-：­的左侧时，口点的坐标为，-：---?1点的坐标为0%”济-三,:*讲点的坐标为

>/f1\

强./-也在胸醯岁斓中，、曾=1“|二"3:,：：=:时，］取最小值，此时。点的坐标为7-二

②点9在直线尺的右侧时，「点的坐标为『号叫,婢-4ii同理，、？-=】」)：：；；：=一时，取最小值，

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此时)点的坐标为；

34!

综上所述：满足题意得点c的坐标为-「和£3,'!

24%卞

考点：二次函数的综合运用.

26、(1)①证明见解析；②25；(2)为金5或50指+1.

【解析】

⑴①在直角三角形ABC中，由30。所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5,

确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由AD=AE,利用SAS即可得证；②由全等三

角形对应角相等得到NAEF为直角，EF=CD=x,在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式;

⑵分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即