北京市海淀区2023-2024学年高三年级上册期末练习数学试题（含答案）

海淀区2023-2024学年第一学期期末练习

局二数学2024.01

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

(1)已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},3={1,2,3},则令(己fB)=

(A){2,4,5,6}(B){4,6}(C){2,4,6}(D){2,5,6}

(2)如图，在复平面内，复数zrZ2对应的点分别为Z「Z2,则复数Z/Z2的虚部为

Fo-ix

(A)-i(B)-1(C)-3i(D)-3

(3)已知直线/i：x+]=l,直线4：2x—分+2=0,且4〃，2，则。=

(A)1(B)-1(C)4(D)-4

(4)已知抛物线C:/=8x的焦点为尸，点M在。上，百=4,。为坐标原点，贝=

(A)4A/2(B)4(C)5(D)2加

(5)在正四棱锥P—ABC。中，AB=2,二面角尸—CD—A的大小为2,则该四棱锥的体积为

4

42

(A)4(B)2(C)-(D)-

33

(6)已知:。：/+2》+/_1=0,直线3:+〃(y—1)=0与-C交于A,B两点.若ZVLBC为直角三角

形，贝I

(A)mn-Q(B)m—n—Q(C)m+n=0(D)zn2-3n2=0

(7)若关于x的方程log/-优=0(a>0且awl)有实数解，则。的值可以为

(A)10(B)e(C)2(D)-

4

(8)已知直线4，4的斜率分别为左，左2，倾斜角分别为a21贝!1"85(%—%)>0"是“左左2〉0''的

1

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（9）已知｛”“｝是公比为q（qwl）的等比数列，SR为其前〃项和.若对任意的〃eN*,S“〈言恒成立，

则

（A）｛%｝是递增数列（B）｛4｝是递减数列

（C）｛"｝是递增数列（D）｛S“｝是递减数列

（10）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.右图是一个蜂房

的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,EL均垂直于底面ABCDEE,

上顶由三个全等的菱形PGHZ,PIJK,PKLG构成.设BC=1,ZGPI=ZIPK=ZKPG=0^10928,,

则上顶的面积为

（参考数据：cos8=-』，tan—=-/2）

32

（A）2^2（B）述。述（D）述

224

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）在的展开式中，x的系数为.

（12）已知双曲线/一加＞2=1的一条渐近线为一y=0,则该双曲线的离心率为

（13）已知点A,B,C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

ABBC=；点。到直线A5的距离为.

2

(14)已知无穷等差数列｛4｝的各项均为正数，公差为d,则能使得g为+1为某一个等差数列抄〃｝的前〃项

和(〃=1,2,)的一组为,d的值为。］=，d—.

(15)已知函数/(%)二|cosx+4.给出下列四个结论：

①任意awR,函数/(%)的最大值与最小值的差为2；

②存在,使得对任意X£R,/(X)+/(〃-X)=2Q；

③当awO时，对任意非零实数x,

④当a=0时，存在Tw(O,»),%owR,使得对任意〃eZ,都有/(/)=/(%+江).

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

如图，在四棱柱A3CD—4与GA中，侧面是正方形，平面ABgA，平面ABC。，AB//CD,

AD=DC=-AB,M为线段AB的中点，AD±B.M.

21

(I)求证：G"〃平面

(II)求直线AG与平面MB1G所成角的正弦值.

(17)(本小题14分)

在ZVlBC中，2ccosA=2Z?-a.

3

（I）求NC的大小；

（II）若c=6，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求AC边

上中线的长.

条件①：ZVIBC的面积为26；

条件②：sin5-sinA=—；

2

条件③：b2-2a~=2.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（18）（本小题13分）

甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统

计如下：

场次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（I）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；

（II）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场

数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（HI）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、

乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设X为甲获胜的场数，八为乙获胜的场数，工为丙获胜的场数，

写出方差。（乂），D（Y2）,。（毛）的大小关系.

（19）（本小题15分）

22_

己知椭圆E:》+g=1（。〉6〉0）过点4（3,0）,焦距为2.

（I）求椭圆E的方程，并求其短轴长；

（H）过点P（l,0）且不与x轴重合的直线/交椭圆E于两点C,D,连接CO并延长交椭圆E于点直线

AM与/交于点N,。为。。的中点，其中。为原点.设直线NQ的斜率为左，求左的最大值.

（20）（本小题15分）

已知函数/(%)=依2-xsiwc+b.

4

(I)当a=l时，求证:

①当x>0时，f(<x)>b-,

②函数/(九)有唯一极值点；

(ID若曲线a与曲线G在某公共点处的切线重合，则称该切线为G和。2的“优切线”•若曲线y=/(x)与

曲线y=YO&x存在两条互相垂直的“优切线”，求a,b的值.

(21)(本小题15分)

对于给定的奇数加(九.3),设A是由mx机个实数组成的加行m列的数表，且A中所有数不全相同，A中

第，行第j列的数％e{-1,1},记厂⑺为A的第，行各数之和，c(j)为A的第j列各数之和，其中

,、、nr-|r(l)+r(2)++r(m)\.,

,明.记〃A)=——〜~7---------3.设集合〃或

a..-c(j)<0,zJe{l,2,,m}},记H(A)为集合H所含元素的个数.

(D对以下两个数表A,A，写出/(A)，H(A)，/(&)，

-1-1111

111

11111-1-1

111-1-1

1111-1

11-1-1-1

111-1-1

1-1-1-1-1

11-1-1-1

1-1-1-1-1

A4

(II)若厂⑴，厂(2),…,中恰有s个正数，c(l),c(2),…,c(m)中恰有f个正数.

求证：H(^A^..int+ms-2ts；

(III)当机=5时，求”?的最小值.

“A)

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5

高三数学参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)A(2)D(3)B(4)D(5)C

(6)A(7)D(8)B(9)B(10)D

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

7J5

(11)-5(12)2(13)-11一(14)11(答案不唯一)(15)②④

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)连接AA.

在四棱柱—中，侧面CD0G为平行四边形，

所以C]Di〃CD,G2=CD.

因为AB〃CD,CD=-AB,"为AB中点,

2

所以CD〃AM,CD=AM.

所以CQ〃AM,CD=AM.

所以四边形MA。£为平行四边形.

所以

因为＜Z平面ADDA，

所以〃平面ADDIA.

(H)在正方形ABBiA中，A^IAB.

因为平面ABB^±平面ABCD,

所以A4，平面ABCD.

所以A&LAD.

因为ADLgM,用Mu平面用“与AA1相交,

所以AD_L平面A54A.

所以ADLA3.

6

如图建立空间直角坐标系A-xyz.

不妨设AD=1,则4（0,0,0）,q（1,2,1）,4（0,2,2）,M（0,0,1）.

所以AG=（121）,QB,=（-1,0,1）,MCX=（1,2,0）.

设平面“4G的法向量为耳=（苍％z）,

n-GB=0,f-x+z=0,

则〈]即4

nMC[=0,[x+2y=0.

令％=2,则y=-l,z=2.于是〃=（2,-1,2）.

因为cos〈AC1,n）=JG]:,

K|-H9

所以直线AC】与平面MB©所成角的正弦值为—

（17）（共14分）

nhc

解：（I）由正弦定理----=-----=-----及2OCOSA=2Z?-Q,得2sinCcosA=2sinB—sinA.①

sinAsinBsinC

因为A+5+C=»,

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC.②

由①②得2sinAcosC-sinA=0.

因为人£（0,不），所以sinAwO.

所以cosC.

2

因为。£（0,»）,

■JT

所以c=2.

3

（II）选条件②：sinB-sinA=—.

2

rr27r

由（I）知，/B=TT-------NA=-------NA.

33

所以siaB-sinA=sin|--AsinA

=2/1COSA+J_sinA-sinA=—cosA--sinA

2222

7

因为所以q-

r-r*［、［"*A兀ni-it兀

所以---A=—,即4=一.

366

所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形.

因为c=A/3,

所以4。=四-=2一=2.

si"sin"

3

所以AC边上的中线的长为1.

选条件③：b2-2a2=2.

由余弦定理得4+b2-ab-3.

设AC边上的中线长为d,由余弦定理得

d2=a~+--——•2cosC

42

b2ab

2+--------

42

“2+，/+入3

42

=1.

所以AC边上的中线的长为1.

（18）（共13分）

解：（D根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.

设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则尸（A）=木.

（II）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3

场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第

8场、第9场.

所以X的所有可能取值为0,1,2.

8

p（x=o）=^^=—,P（X=l）=-^4^=—,尸（x=2）=工^=—.

\7C"15v7C；15v'Cl5

所以X的分布列为

X012

182

P

1515~5

1Q24

所以E（X）=0x—+lx9+2><—=—.

'/151553

（in）。代）＞。（乂）＞°（切.

（19）（共15分）

解：⑴由题意知〃=3,2c=2A/5.

所以c=y[5，b1=a1—c1=4.

22

所以椭圆E的方程为L+t=l,其短轴长为4.

94

（II）设直线CD的方程为九=加,+1,D（x2,y2）,则加（一%（，-乂）.

|22

土匕=]

由＜94-，得（4加2+9）:/+8冲—32=0.

x=my+1

UU2一断

所以X+%=——

-124m25——+9

由A（3,0）得直线AM的方程为y=（x-3）.

%+3

由卜卷（x-3）得好.2%.

3+玉一my

x=my+1l

因为玉=myx+\,

所以y=‘，…总+1=守.

所以N［守，-力

因为。为QD的中点，且％2=My2+L

9

所以。产户,为

所以直线NQ的斜率

匹+/—8m

k—22%+%=4m2+9=8M

22

my2+12-myx加(为+%)—1—8m]12m+9

4m2+9

当wWO时，k<Q.

当相>0时，

因为12根+222厄3=126,当且仅当m="时，等号成立.

m2

8m<2A/3

所以左=

12m2+9--9-

所以当且时，人取得最大值毡.

29

(20)(共15分)

解：(I)①当々=1时，/(%)=x2-xsinx+Z?=x(x-sinx)+/7.

记g(x)=x-sinx(x>0),贝!Jgf(x)=1-cosx>0.

所以g(x)在[°，+8)上是增函数.

所以当%>0时，g(x)>g(O)=O.

所以当%>0时，/(%)=A：(x-sinx)+/?>/?.

②由/(x)=x2一％$111^+6得/'(%)=2%—0111%—玄08%,且/'(0)=0.

当x>0时，/r(x)=x(l-cosx)+x-siwc.

因为l-cosx20,x-sinx>0,

所以/'(x)>0.

因为/(-%)=一:(x)对任意xeR恒成立，

所以当％<0时，fr(x)<0.

所以0是/（力的唯一极值点.

10

(ID设曲线y=/(x)与曲线y=YO&x的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为马，其斜率

分别为占，k2,则左芯=—1・

因为(-cosx)f=sinx,

所以sin%]sinx2=kxk2=-1.

所以{si叫,sinx2}={-1,1}.

JT

不妨设si叫=1,则玉=24万十万,左£Z.

因为(=/'(石)=2叫-sinXj-jqcos^,

由“优切线”的定义可知2叼-siiLX]-X]COSX]=si叫.

12

所以〃=一=--------,keZ.

xx4左乃+n

由“优切线”的定义可知-XjSinXj+b=-cos%1,

石

所以人=0.

277-JT

当o=----------,keZ,6=0时，取刀=2k/cH——，x=Ik兀------，则

44万-\-7i2?2

/(xj=-cos%i=0,/(x2)=-cosx2=0,/"(xl)=sinx1=1,/'(x2)=sinx2=-l,

符合题意.

2

所以a=----------,keZ,/?=0.

4Z»+万

(21)(共15分)

解：

(I)"4)=10,“(4)=12；/(4)=12,77(4)=15.

由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行(列)，H(A),/(A)的值不变.因为加为奇

数,aye{-1,1},所以r⑴，r(2),…,c(l),c(2),…,c(m)均不为0.

(II)当5£{0,叫或加{0,叫时,不妨设s=0,即u⑺<0,i=1,2,,m.

若，=0,结论显然成立；

若IW0,不妨设c(/)>。，J=l,2,.",则(，")£〃，，=1,2,,,根，J=l,2,

11

所以H(A)2加结论成立.

当5e｛0,加｝且看区｛0,加｝时，不妨设r(i)>0,i=1,2,,s,c(j)>0,j=1,2,

则当s+时，r(z)<0；当r+lK/K根时，c(j)<0.

因为当i=l,2,,s,j=Z+1,Z+2,，根时，r(z)>0,c(j)<0,

所以(为・厂⑺)•(即・c(/))=G"⑺•c(/)<0,

所以

同理可得：(z,