2024年上海高考数学高频考点讲练 2-2基本初等函数、函数与方程（讲义）含详解

专题2-2基本初等函数、函数与方程

兴-----------------）

--------------------内容概览，

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析•解密高考

03高频考点•以考定法（五大命题方向+6道高考预测试卷，高考必考•（18-22）分）

考点一对数函数

>命题点对数函数的定义域

考点二函数的应用

>命题点1分段函数的应用

>命题点2根据实际问题选择函数类型

考点三函数与方程

>命题点1函数的零点与方程根的关系

>命题点2函数与方程的综合运用

>高考猜题

04仓IJ新好题•分层训练（★精选18道最新名校模拟试卷+20道易错提升）

专题网络•思维脑图•

函》考情分析•解密高考•

真题多维细目表

考点考向考题

对数函数对数函数的定义域2024年春考第1题

函数的应用分段函数的应用2024年春考第9题

2023年春考第19题

根据实际问题选择函数类型

函数与方程函数的零点与方程根的关系2023年春考第9题

函数与方程的综合运用2024年春考第16题、21题

密)高频考点•以考定涉

考点一对数函数

►►高考解密《

命题点对数函数的定义域

典伊1(2024•上海)1。82》的定义域_(0,”)_.

【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解.

【解答】解：log]》的定义域为(0,内).

故答案为：(0,4-00).

【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题.

考点二函数的应用

►►高考解密<<

命题点一分段函数的应用

典例(2024•上海)已知f(x)=x2,g(x)=1'")’3.0C，求g(x),,2-x的x的取值范围(-8,1]

【分析】根据已知求得g(x)=J,再分x..O以及x<0分别求解即可.

-%,x<0

【解答】解：根据题意知g(x)=(,

[―x,x<0

所以当工.0时，g(x^SL-x=>x2+x-20,解得三e[0,1]；

同理当xvO时、g(x)效必一%=一/十工一20,解得x£(-oo,0)；

综上所述：XG（-OO,1］.

故答案为：（Y0,1］.

【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题.

命题点二根据实际问题选择函数类型

典伊】（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数"S=蝮,其中外为建筑物暴露在空气

中的面积（单位：平方米），匕为建筑物的体积（单位：立方米）.

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R,高度为“，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体

形系数”S；（结果用含R、〃的代数式表示）

（2）定义建筑物的“形状因子”为/=巳，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面

A

积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）.设〃为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以

推导出该宿舍楼的“体形系数”为S叵+'.当/,=18,7=10000时，试求当该宿舍楼的层数〃为多少时，

VT3〃

“体形系数”s最小.

【分析】（I）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；

（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时及的值.

【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

22

Fo=2TTRH+TTR-V0=TTRH,

/_兀RQH+R)2H+R

%一兀EH.HR•

18〃13而1

（2）由题意可得5=---------1----=---------1----neN*,

100003n1003n

3

而“3721972^-200

所以S=----f=-----7=----------s——'

200册3"600"

令9=0,解得〃=^^之6.27,

V81

所以S在［1,6.27］单调递减，在［6.27,+8）单调递增,

所以S的最小值在〃=6或7取得,

„_3>/2^6^1

当〃=6时，S=----------+------=0.31r

1003x6

c_3^/277,1n,_

当”=7时，S—+~0.1o,

1003x7

所以在〃=6时，该建筑体S最小.

【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题.

考点三函数与方程

命题点一函数的零点与方程的关系

典例(2023•上海)已知函数f(x)=2-'+l,且g(x)=4°氏a+则方程g(x)=2的解为_x=3一

【分析】分乂.0和x<0分别求解即可.

【解答】解：当X..0时，g(x)=2<=>log2(x+1)=2»解得x=3；

当x<0时，g(x)=/(-x)=2*+l=2,解得x=0(舍)：

所以g(x)=2的解为：x=3.

故答案为：x=3.

【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题.

命题点二函数与方程的综合应用

典例01(2024•上海)现定义如下：当xe(〃,"+l)时(〃e/V),若/(x+1)=/(犬)，则称/(x)为延展函数.现有,

当xe(0,l)时，g(x)=，与幽幻=心均为延展函数，则以下结论()

(1)存在y=fcc+b(Z,beR；k,人x0)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=fcc+6(A,b&Rik,6x0)与y=/?(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得g(x)是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质

可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案.

【解答】解:根据题意,当xe(0,l)时，g(x)=，与力。)=”均为延展函数，

对于①，对于g(x)=e',g(x+l)=g，(x)=e*,

则g(x)是周期为1的周期函数，其值域为(l,e),

因为女工0,y=fcr+方与y=g(x)不会有无穷个交点，所以(1)错；

对于②，当々=10!时，存在6使得直线、=丘+6可以与//。)在区间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个交点，所

以(2)正确.

故选：D.

【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题.

典例02(2024•上海)记M(a)={t\t=f(x)-f(a),x..a},L(a)={t\t=f(x)-f(a)，A;,a].

(1)若/(x)=/+i,求加(D和乙(i).

(2)若/(x)=V-3—,求证：对于任意awA,都有Af(a)c[-4,+8),且存在。，使得-4wA/(a).

(3)已知定义在/?上f(x)有最小值，求证“/(X)是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数。，均有〃(-c)=£

(c)”.

【分析】(1)根据条件，直接求出M(1)和L(1)即可；

(2)由题意知，M(a)={t\t=x3-3x2-tz34-3a2,x..a},ifig(x)=x3-3x2-a3+3a2,判断g(x)的单调性,求出

极值，再对。分类讨论，进一步证明结论成立即可；

(3)必要性：若/(尢)为偶函数，则〃(一c)={f=/(%)-/(一。)，x...-c},L(c)={/1^=f(c),工,c},

结合条件，得到〃(-c)=L(c)即可；充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=L(c),其中

M(-c)={rIr=/(x)-f(.-c),x..-c},L(c)={r|r=/(x)-f(c),c,c},由/(%)有最小值,不妨设f(a)=/w.ZI=m,

进一步证明f(x)是偶函数即可.

【解答】解：(1)由题意，得M(1)={t\t=x2+\—2,x..1}=[0,-Foo)；

£(1)=’|r=x?+1-2,工,1}=[―1,+oo).

(2)证明：由题意知,M(a)={f=/-3由-a?+36,x..a},

i己g(x)=丁-3x2-a3+3/，则g'(x)=3/-6%=0=>x=0或2.

X(-8,0)0(0,2)2(2,+a))

g'(x)正0负0正

JI

g(x)极大值al极小值

现对〃分类讨论，当a.2,有/=/—3/一/+3。2,%.”为严格增函数，

因为g(a)=0,所以此时M(a)=[0,+oo)q[Y,+oo)符合条件；

32232

当0,,a<2时,=x—3x3a,x..a先增后减,tfnjn=g(2)=—a+3a—4,

22

因为-/+3/=a(3—a)..0(a=0取等号)，所以tmin=g(2)=-a'+3a-4..-4,

则此时Af(a)=[-a34-3a2-4,+oo)c[-4,+8)也符合条件；

232

当〃v0时，t=^-3x-a+3afx..a,在[〃，0)严格增，在[0,2]严格减，在[2,+oo)严格增,

2

%”=min{g(a),g(2)}=nun[09-c^+3a-4/

因为〃(a)=一/+3/_4,当qvO时，H(a)=-3a2+6«>0,贝(a)>〃(0)=T,

则此时〃(a)=\tmin,-b»)c[-4,+8)成立；

综上可知，对于任意〃£尺，都有M(a)c[-4,+oo],且存在a=0,使得YwM(a).

(3)证明：必要性：若/&)为偶函数，

则M(-c)={/“=/(工)一](一c),x..-c},L(c)={/|/=f(x)-f(c),用，c},

当t=/(x)-/(-c)=/(-x)-f(c),因为故M(-c)=£(c)；

充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=L(c),

其中M(-c)={“，=/@)一/(一)c,x...-c],L(c)={t\t=f(x)-f(c),x,,c],

因为/(x)有最小值，不妨设/(a)=fmi〃=m,

由于c任意，令c...|a|,则。w[-c,c],所以M(-c)最小元素为/(a)=m-f(-c).

L(c)中最小元素为加一/(c),又A/(-c)=L(c)=>f(c)=/(一c)对任意c…成立,

所以/(a)=f(-a)=m,

若a=0,则/(c)=/(-c)对任意c..0成立=>/*)是偶函数；

M(H)最小元素是/•(14)—〃一矶

若awO,此后取L(-c)最小元素臣(-同)-〃。)j/LX/⑺

综上，任意c..O,f(c)=/(-c),即f(x)是偶函数.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考

查了分类讨论思想和转化思想，属难题.

(★精选18道最新名校模拟考试卷+20道易错提升)

0)》创新好题•分层训练•

A•新题速递

一、单选题

——2xxW0

1.(2023•上海徐汇•统考二模)设函数〃司=1”[v>0"，现有如下命题，①若方程"x)=a有四个不同的实

根与、巧、七、％，则司匹丑3的取值范围是(0,1)：②方程/(£)一(〃+£|/(力+1=0的不同实根的个数只能

是1,2,3,8.下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【答案】C

【分析】首先画出函数y=/(x)的图象.根据二次函数的对称性得%+々=-2,根据|lnw|=|ln%|得*33=1,从而

求得玉子「W•匕的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出Ax)的根，再对根的大小分类讨论，并

结合y=.f(x)的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假.

【详解】当xMO时，”X)=-X2-2X,图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为x=-1,顶点为

(-14),过(—2,0)和(0,0)；

当x>0时，/(A-)=|lnx|,图象过(1,0),如图所示.

对于①，当方程〃x)=4有四个不同的实根毛、巧、看、相时，不妨假设玉<七，

贝-2<%]<-1<%2<0<x3<1<x4<e,且X[+w=-2,|lnx,|=|lnx4|,

所以-lnx3Tn%,所以鼻一匕=1.

因此占.超33.X4=X]=(-2-X2)-X2=-x；-2x2=-(工2+1『+1，T<x?<0,

所以办“2・工3・匕€(0,1),故①为真命题.

对于②，方程严(x)-，+，(x)+l=0等价于(〃力-。)(十)-讣0且"0,所以〃x)=a或〃x)=：

当。>1时，。<;<1，由y=/(x)的图象得/(x)=。有2个不同实根，〃x)=]有4个不同实根，故原方程有6

个不同实根；

当。=1时，：=。=1，由y=/。)的图象得〃x)=l有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；

当0<〃<1时，-!■>!,由y=/(x)的图象得/(x)=a有4个不同实根，/(x)=L有2个不同实根，故原方程有6个

aa

不同实根；

当。=一1时，卜=-1,由y=/(x)的图象得〃力=-1有1个实根，故原方程有1个实根；

当a<0且aH-1时，且:#-1,由y=/(x)的图象得"X)=a有1个实根，/(x)=：有1个实根，故原方

程有2个不同实根；

综上所述，方程r(x)-(a+£j/(x)+l=。的不同实根的个数可能是1,2,3,6.

故②为假命题.

故选：C

二、填空题

2.(2023・上海徐汇・统考一模)函数y=lg(2x+l)+lgx的零点是.

【答案】1/0.5

【分析】利用对数运算及零点含义可得答案.

【详解】由题意可得函数的定义域为(0,+8).

y=lg(2x+1)+1gx=lg(2x2+x),令丁=。可得21+x=1,解得工=1"或x=-l(舍)，

故答案为：7.

3.(2023・上海徐汇・位育中学校考模拟预测)已知幕函数y=/(x)的图像过点P(2,8),则函数y=/(x)-x的零点

为.

【答案】0,1,-1

【分析】设幕函数解析式，求解函数解析式，解方程即可得函数函数>的零点.

【详解】设事函数”对=/，因为函数y=/(x)的图像过点P(2,8),所以8=2“，解得夕=3

所以/(x)=d,则函数y=/(x)-x的零点为方程/(x)—x=d—x=x(x2—])=o的根，解得*=。或犬=±1,

所以函数y=/(x)-x的零点为0,1,-1.

故答案为：0,1,-1.

4.(2023•上海宝山•上海交大附中校考三模)若存在实数“，使得x=l是方程(x+a)2=3x+〃的解，但不是方程

x+a=J^吞的解，则实数分的取值范围是.

【答案】(-3,+8)

【分析】根据x=l是(x+a)2=3x+b的解，不是x+“=法解直接可得.

【详解】由题意知，(1+q)2=3+6,且”+1片j3+b,故Jb+3=-(a+l),

显然b+320,即82-3,若b=-3,此时显然不满足题意，

故Z?w(—3,+o>).

故答案为：(-3,+8)

5.(2023.上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)若“X)的值域为{0,1,2},则g(x)=(f(x)-x)(f(x)-2x)至

多有个零点.

【答案】4

【分析】分别代入/(*)=0、/(力=1、f(x)=2,求出g(x)=0的解,即可得出答案.

【详解】当f(x)=0时,g(x)=2f,

由g(x)=0可得，x=0；

当/(x)=l时,g(x)=(x-l)(2x-l),

由g(x)=0可得，x=l或x=；；

当/(x)=2时，g(x)=2(x—l)(x—2),

由g(x)=O可得，x=l或x=2.

综上所述，g(x)的零点可能是x=0或x=l或》=；或芯=2.

所以，g(x)的零点至多有4个.

故答案为：4.

6.(2023・上海嘉定•上海市嘉定区第一中学校考三模)函数y=/(x),xeR满足〃x+2)=/(x),当0<xV2,

/(x)=log2(x+l),则“一2023)=.

【答案】1

【分析】根据〃x+2)=〃x)可得周期为2,由〃-2()23)=〃1)可得答案.

【详解】因为xeR满足f(x+2)=〃x),所以y=/(x)的周期为2,

/(-2023)=/(l)=Iog2(l+l)=l.

故答案为：L

7.(2023•上海杨浦•复旦附中校考模拟预测)若函数y=f(x)为偶函数，且当x<0时，/(x)=2'-l,则

/(1)=.

【答案】

【分析】利用偶函数的定义即可求解.

【详解】当x<0时，f(x)=2'-\,所以f(-l)=2T-1=-g,

又因为y=/(x)为偶函数，所以==

故答案为：

8.(2023.上海杨浦.复旦附中校考模拟预测)在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是否造假.

本・福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据(均为正实数)中，首位非零的数字是1~9这九个事

件不是等可能的.具体来说，随机变量X是一组没有人为编造的首位非零数字，则

尸(X=k)=lg;匚次=1,2,…,9.则根据本・福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为一

K

(保留至整数).

【答案】6

【分析】根据题意结合对数运算求解.

P(X=1)lg2lg2_lg2__________0301______$

【详解】由题意可得：P(X=8)一静Ig9-lg8-21g3-31g2~3x0.477-3x0.301~•

g8

故答案为：6.

l,x>0,

9.(2023・上海普陀・上海市宜川中学校考模拟预测)定义符号函数sgn(x)=0,1=0,则方程

—1,x<0,

(1+sgn(%))-log,|x|+(1-sgn(%))-2x=1的解集为.

【答案】卜1,夜)/(3,-1)

【分析】由方程(l+sgn(x)”og2W+(l-sgn(x))2=l定义域{x|x*0},按照分段函数分类讨论即可.

【详解】由方程]+sgn(x)”og2W+(l-sgn(x)).2*=l定义域{x|xwO},

11f—

当X>0时，原式等价于210g2尤+0=1,1。82工=5，工=22=5/2；

当xvO时，原式等价于0+2x2"=1,21=1=2°,x+l=0,工=-1,

故答案为：卜1,&}.

10.(2023・上海黄浦・上海市大同中学校考三模)已知"x)=21gx-l,g(x)=21gx-3,若

|/(x)|+|g(x)|=|〃x)+g(x)|,则满足条件的X的取值范围是.

【答案】(0,厢][10X/10,-KO)

【分析】由绝对值等式可知，/(x)g(x)>0,代入函数后，即可求解不等式.

【详解】若满足条件|/(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)],当且仅当〃x)g(x)“，即

31

(21gx-l)(21gx-3)>0,即Igx2或Igxg,

解得：x>10^^0<x<Vl0.

故答案为：(0,厢][10/6,+8)

11.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)若关于X的方程恰有两个不同的实数解，则实数

a=,

【答案】e

【分析】关于X的方程e'=4M恰有两个不同的实数解，可转化为函数y=a国与y=e,有两个交点，因丫=^>0,

故a>0,结合图象，两个函数在X40时有1个交点，故两个函数在x>0有且只有一个交点，故)'=〃与y=e，相

切，可得.

当XSO时，由单调性得，方程6、=-牍有且仅有一解.

因此当%>0时，方程/二以也恰有一解.

即y=6为函数)，=e,的切线，

y'=e*,

令y'=a得x=Ina,

故当x=Ina时，ex=ax

得e,nfl=a\na，即a=a\na

从而a=e.

故答案为：e

12.(2023・上海浦东新•华师大二附中校考三模)已知函数是R上的奇函数，当xvO时，/(x)=4-2'\若

关于X的方程/(/(*))=也有且仅有两个不相等的实数解，则实数用的取值范围是.

【答案】(-4,-3]53,4)

【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出Ax)函数图象，数形结合判断不同值域范围

的函数值对应自变量的个数，再由，=/(x)有两个解，对应/«)=机的解的个数确定f范围，进而求〃，的范围.

【详解】由题设〃0)=0,若x>0,贝ljf(x)=—f(-x)=—(4-2,)=2*-4,

4-2-x,x<0

所以/(x)="，x=0,值域为R,函数图象如下：

2,一4,尤>0

当/(x)G(Y0,-3］时，只有一个X£(-00,-log27］与之对应;

当/(x)w(-3,0)时，有两个对应自变量，

记为占,々(丹<w),则-log27<X|<-2<0<々<2;

当/(x)=0时，有三个对应自变量且{-2,0,2}；

当〃x)e(0,3)时，有两个对应自变量，

记为三<%),贝IJ-2<鼻<0<2<%<log,7；

当/(x)G[3,+oo)时，有一个xe[log27,+oo)与之对应；

令r=f(x),则/⑺=〃?，要使f(f(x))=%有且仅有两个不相等的实数解，

若/«)=加有三个解，则r=〃x)€{-2,0,2},此时x有7个解，不满足；

若/⑺="有两个解％也且」</，此时/=f(x)和”/(%)各有一个解，

结合图象知，不存在这样的，，故不存在对应的机;

若/。)=根有一个解为,则九=/(力有两个解，此时代(-3,-log27Mlog?7,3),

所以对应的〃7€(T,-3]J[3,4),

综上，加c(-4,—3][3,4).

故答案为：(Y,-3]u[3,4).

13.(2023・上海长宁・上海市延安中学校考三模)已知函数y=/(x)的表达式为/(力=3-2,-1,若对于任意

士目0』，都存在X2e[0,l],使得“xj+f(9+，〃)=10成立，则实数机的取值范围是.

【答案】[log23-15

【分析】确定函数单调递增，计算〃不)《2,5],得到了伍+加工区司，确定；…向~。，解得答案.

3-2-128

【详解】/(x)=3-2,—l在R上单调递增，

当加0,1]时,“九"(0)=2,"X)皿可⑴=5,

〃王)+/(毛+加)=10,x,e[0,l],即10—"xJe[5,8],

f3.2'"—1<5?

故[5,8]是“9+〃，)值域的子集，故；wi]。，解得1唯3-10三1.

[3-2—1^0

故答案为：[log^-l』].

晨3

—犬>0

14.(2023・上海崇明•统考二模)若函数y={e，’-的图像上点A与点8、点C与点。分别关于原点对称，除此

2八

or~,x<0

之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数〃的取值范围是.

【答案】卜%。]

【分析】由题意将问题转化为/（X）在（-8,0）的图像关于原点对称后与（0,+8）的图像有两个交点，即转化为方程

W=-加在（0,+8）上有两根，孤立参数为-4==在（0,+8）上有两根，求导确定函数），=[■的单调性与取值情

eee

况，作出大致图象，即可求得实数。的取值范围.

【详解】若f（x）有两组点关于原点对称，则/（x）在（-8,0）的图像关于原点对称后与（0,+©）的图像有两个交点.

由x＜0时，f（x）=ax2；得其关于原点对称后的解析式为y=-a/.

问题转化为y=1与y=-*在（0,+司上有两个交点,即方程4=*有两根，

ee

化简得-a=j,即产-。与'=，在（o,y）上有两个交点.

对于＞=求导y'=f,令丫'=三＞0,解得：x＜\,

即：当xe（O,l）时，y=?•单调递增；

令歹=一＜0,解得：x＞l.

e

即：当时，y==单调递减，

x=l为其极大值点，y=-,xf+8时，y-0；画出其大致图像：

maxe

...

O1x

欲使y=-a与y=j■在％＞（）时有两个交点，则即〃《一可.

15.（2023•上海虹口・华东师范大学第一附属中学校考三模）若存在实数”及正整数〃，使得〃x）=cos2x-asinr

在区间（0,〃兀）内恰有2022个零点,则所有满足条件的正整数”的值共有个.

【答案】5

【分析】利用换元思想将问题转化为方程25+勿-1=0在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与函数的应

用进行讨论分析.

【详解】由题意知，

令/(%)=。，r=sinx,止匕时25+小一1=0,

H、1a

而A=4~+8>0，

则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，

当，2<-1时，0<乙<1,

一个周期2兀内有两个零点，贝IJ〃=2O22或“=2021；

当芍=-1时，乙=；,

一个周期2兀内有三个零点，则需要20脊22=674个周期，

即〃=674x2=1348；

当-172<。时，此时2-〃-1>0,解得a<l,

若—此时0<4<1,

则一个周期2兀内有四个零点，

则需要20牛22=505+1；个周期，

42

即”=2x505+1=1011；

若。=一1,止匕时f2=-g,，1=1，

则一个周期2兀内有三个零点，

则需要等=674个周期，

即“=674x2=1348；

若av-4,此时<>1,

一个周期2兀内有两个零点，

则”=2022或〃=2023.

综上所述，这样的正整数〃有5个，

分别是1011,1348,2021,2022,2023.

故答案为：5

【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，属于中档

题.

三、解答题

16.(2023•上海普陀・上海市宜川中学校考模拟预测)某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为

20万元，超额中的第一个5万元(含5万元以下)，按超额部分的2%提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超

额部分的4%提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个2%.如销售员某月销售额为27万元，

则按照合约，他可得奖金为50000x2%+(70000-50000)x4%=1800元.试求：

(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？

(2)若某销售员7、8月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最

小值分别是多少？

【答案】⑴3.65万元

(2)最高1万元，最低0.6万元

【分析】(1)由题分析出销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，设超额部分比15万多x元，列出

方程，求解即可；

(2)设两个月的总奖金为y,某销售员7月份的销售额为加万元，则销售员8月份的销售额为(60rw)万元，分类

讨论掰的范围，得出关于〃?的分段函数，画出图像即可得解.

【详解】(1)超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，超额第三个5元可得奖

金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元，

所以当销售员的销售额超额部分为15万元时，可得奖金3000元，当销售员的销售额超额部分为20万元时，可得

奖金7000元，

因为销售员某月获得奖金7200元，

所以销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，

设超额部分比15万多x元，提成比例为8%,

则x・8%=7200—6000,可得x=15000,

故他该月的销售额为20+15+1.5=36.5万元.

(2)设两个月的总奖金为y，某销售员7月份的销售额为，*万元，则销售员8月份的销售额为(60-⑼万元，

则20<<40,

①当20M〃?<25时，则35<60-m<40,

y=("7-20)-2%+5x2%+5x4%+5x6%+(60-加-35)-8%=-0.06m+2.2,

②当254,”30时，贝ij30<60-%435,

y=5x2%+(WJ—25)-4%+5x2%+5x4%+(60—tn—30)-6%=—0.02，〃+1.2,

③当304〃?<35时，贝ij25<60—〃?430

y=5x2%+5x4%+(w-30)-6%+5x2%+(60-w-25)-4%=0.02/n,

④当354MM40时，贝lj20460-〃?425

y=5x2%+5x4%+5x6%+(m-35>8%+(60-加-20)・2%=0.06〃？-1.4,

-0.06/w+2.2,20<zn<25

-0.02/??+1.2,25</n<30

综上所述，y=-作出图像,

0.02/H,30<m<35

0.06^-1.4,35<m<40

由图可知，当机=30,即7月份销售额为30万元，奖金最低为0.6万元；

当，〃=20或机=40时，即7月份销售额为20或40万元，奖金最高为1万元.

17.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考三模)某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半

途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分

开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计

一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，

超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米(不含15千米)部分按超起租里程单价加50%.此外，相关

部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那

位市民唐某的做法吗？为什么？

(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？

(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系

问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式；

(2)分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可.

【详解】(1)由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题：

①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米

(不含15千米)部分按超起租里程单价加50%,求里程计价费用f(x)与里程x的函数关系式子；

②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算.

(2)由(1)中所建立的函数模型：

①由题意，当0<x43时/(x)=14；当3<xW15时/(x)=14+2.5(x-3)=2.5x+6.5；当x>15时

/(x)=2.5xl5+6.5+2.5x(x-15)xl.5=3.75x-12.25.

14,0<x<3

故/(力=<2.5x+6.5,3<x<15.

3.75x-12.25,x>15

2xl4,0<x<6

②若只能在路程的中点处停靠一次,则路费函数g(x)=，2X(2.5X0.5X+6.5),6<X430,即

2x(3.75x0.5x-12.25),x>30

28,0<x<6

g(x)=<2.5x+13,6<x430,分别作出函数图象.

3.75x-24.5,x>30

由图象可得，/(x)=3.75x-12.25与g(x)=2.5x+13有交点，联立有3.75x-12.25=2.5x+I3,解得x=20.2.

故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足20.2公里时不停靠更划算，当路程不足20.2公里时停靠更划算.

18.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)设函数力(刈=_1+苫+a+椅++《.

(1)求函数力(x)在点(MUD)处的切线方程；

⑵证明:对每个“wN"存在唯一的,满足力(x3)=0；

(3)证明:对于任意peN",由(2)中当构成的数列｛4｝满足

【答案】⑴y=11得53

O30

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；

(2)根据力^)>0,得函数f(x)在(0,+8)上是增函数，又<(1)>0,.力(|]<。，根据零点存在性定理可证;

(3)由九1(另在(0,+8)上单调递增，可得加心斗，再加/x.)减力(x.)变形化简，利用放缩法得证.

2311

【详解】⑴力(x)=-l+x+全r+争所以&'a)=1+(+/,

所以为‘⑴=4,又力⑴4.

oJo

所以函数力(力在点(1芯(1))处的切线方程为y-¥=U(x-l)，即y=?x-|j；

366o36

(2)对每个"wN",当x>0时,

由函数£,(x)=-l+x+会+/+…+、

可得/'(X)=l+|+y+...+^—>0,故函数“X)在(0,+8)上是增函数.

由于工(1)=0,当〃22时,力(1)=*+：+…+：>0,即力⑴>0.

2

根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的-4,满足力(王)=0；

(3)对于任意peN",由(1)中x构“成数列｛七｝,当x>0时，

篇(x)=Z.(%)+(〃+])2"(力，."+G)>fn(xn)=fn+l(x“+J=0.

由;；用(x)在(°，+8)上单调递增，可得当+心斗，即怎-x用>0,故数列｛七｝为减数列,

即对任意的〃、peN*,x„-xn+p>0.

由于£(x")=T+X"+今++与=。⑴，

2n

/+P

人”+p

fn>(Xn，)=-1+Xn++++

+l+I+P2

(n+1)(“+2)2(M+P)

(•一)丫YV**4—”4*]V**/■—it4

用(1)减去(2)并移项，利用0<x.”41,可得/ZZ警4Z

nkn+pkn+pkn+n

综上可得，对于任意peN*,由(1)中当构成数列｛%｝满足0<%-/+。<].

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))转化为证明g(x)〉0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数/?(%)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

B•易错提升

一.选择题(共5小题)

1.(2023秋•宝山区校级期中)募函数、=(/-机-1>r5"7,当xe(O,”)时为减函数，则实数机的值为()

A.m=2B.m=—lC.加=-1或〃z=2D..1一"

2

【分析】根据基函数的定义求出团的值，再根据辕函数的单调性确定机的值.

【解答】解：基函数>=(疗_加_1).一吁3,

:.nv=\,

解得=2或m=一1；

当相=2时，幕函数为y二厂”，

且在XE(0,+OO)时为减函数，满足题意；

当加=-1时，幕函数为旷=/，

且在X£(0,+O0)时为增函数，不合题意；

综上，实数机的值为2.

故选：A.

【点评】本题考查了幕函数的定义与性质的应用问题，是基础题.

2.(2023秋•宝山区校级期末)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数》=。(力=卜?母管,

|0,x为无理数

该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下五个命题：

①£)(£>(x))=0；

②对于任意的实数x,均有。(x+0)=Z)(x)；

为偶函数；

④存在无数个实数x,使得O(-x)=-£)(》)；

⑤若存在三个点A(x「D(x))、8(毛，D(X2)),C(x3,。5))，使得AABC为等边三角形，则。(斗)+。但)+。(当)=1.

其中真命题的序号为()

A.③④⑤B.①@④C.①②④⑤D.①②④

【分析】根据新定义的函数性质，对选项中的命题进行分析判断，即可得出答案.

【解答】解：对于①，若x为有理数，则£>(x)=l为有理数，£>(£>(x))=l,若x为无理数，则"x)=O为有理数，

£>(£»(x))=l,命题①错误；

对于②，若X为有理数，则x+尤为无理数，DU+72)=0,0(%)=1,O(x+0)w£>(x),命题②错误；

对于③，若x为有理数，则-x为有理数，£>(x)=0(-x)=l,若x为无理数，则-x为无理数，D(x)=D(-x)=0,命

题③正确；

对于④，若x为无理数，则-X为无理数，。(-x)=-£>3)=0,且x为无理数有无数个，命题④正确；

对于⑤，对任意有理数x,存在三个点A(x,l),B(x-—,0),C(x+—,0)是边长为毡的等边三角形的