浙江省杭州2024届高考数学必刷试卷含解析

浙江省杭州求是高级中学2024届高考数学必刷试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知变量的几组取值如下表：

X1234

y2.44.35.37

若V与x线性相关，且f=0.8x+a,则实数（）

2.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥外接球的表面积为（）

3.已知氏1一切）=2+初（i为虚数单位，a,beR）,则向等于（）

11

A.2B.-2C.—D.-----

22

4.函数/（x）=sin（0x+0）（o>O,O<°<%）的图象如图所示，为了得到g（x）=cosox的图象，可将/（九）的图象

A.向右平移J个单位B.向右平移1个单位

o

C.向左平移二个单位D.向左平移二个单位

5.设/（%）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=/（x+l）是偶函数，且当时，=T，则

«=/（log32）,6=—log阴;}c=/（3）的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

6.已知A,B,C,。是球。的球面上四个不同的点，若A6=AC=05=00=5。=2,且平面OBC_L平面ABC,

则球。的表面积为（）

20万15万,

A.------B.------C.67rD.5万

32

7.在ABC中，。为边上的中点，且|A8|=l,AC|=2,NA4C=120。，贝U|ADb（）

8.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上

的点N在左视图上的对应点为3,则在此圆柱侧面上，从〃到N的路径中，最短路径的长度为（）

9.已知函数〃x）=sin（0x+e）[0>O,|d<^|],A]g,O）为/（九）图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点再，%2

满足I%—%|=1，则下列区间中存在极值点的是()

10.已知向量4=(2,—4),b=(k,3),且。与人的夹角为135°，贝!U=()

A.-9B.1C.—9或1D.—1或9

11.在棱长均相等的正三棱柱ABC=4gG中，。为8片的中点，b在AG上，且DPLAG，则下述结论：

①AG，BC；②AR=EC］；③平面平面ACGA：④异面直线AG与所成角为60。其中正确命题的

个数为()

A.%<3?B.k„3?C.k„5?D.k<5?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知cos(e-马=/，且ae(-±O),则2cos?a+应sin(2a-马的值是__________.

2524

14.已知函数/(x)=<*+I+1，X<0,若关于x的方程/(x)+/(—%)=0恰有四个不同的解，则实数。的取值范

21nx-6x,%>0

围是«

22

15.如图，已知圆内接四边形A3CD,其中AB=6,BC=3,CD=4,AD=5则二一+--=

9sinAsinB

16.在平面直角坐标系中，双曲线[―上=1(。>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为尸，过尸作x轴的垂

线交双曲线于点P,。.若AAPQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图所示,三棱柱ABC—中，，平面ABC，点。，E分别在线段AA1，CQ上，且AD=；A4,

DE//AC,尸是线段A3的中点.

(I)求证：E77/平面3]G。；

(H)若AB_LAC,AB=AC,M=3A3,求直线与平面4。后所成角的正弦值.

18.(12分)已知函数/(x)=e0*sinx.

JT

(1)若〃%)在0,-上单调递增，求实数〃的取值范围;

O

77

(2)若。=1,对Vxe0,-，恒有/(%),，桁成立，求实数b的最小值.

x=9+

19.(12分)在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为7'(/为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半

[y=t

~16

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕2=——r—-.

l+3sin-6>

(1)求C和/的直角坐标方程;

(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段0尸的中点M到直线/的最大距离.

20.(12分)已知函数/(x)=lnx+ar2-3x(aeR)

(1)函数/Xx)在点(1"⑴)处的切线方程为y=-2,求函数/(尤)的极值；

(2)当a=l时，对于任意//6口/。］，当马〉为时，不等式/(%)—/(%)>一(：；石)恒成立,求出实数机的

取值范围.

21.(12分)如图，四棱锥尸—A3CD中，K4,底面ABC。，ABLAD,点E在线段AD上，豆CEIIAB.

P

(2)若上4=A5=1,AD=3,CD=4i，ZCD4=45°,求二面角P—CE—5的正弦值.

22.(10分)已知函数/(x)=mx］lnx+；］

(I)若m=l,求曲线y=/(x)在(L/(D)处的切线方程；

(II)当相£1时，要使/(%)>xlnx恒成立，求实数利的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

求出五亍，把坐标丘J)代入方程可求得”.

【详解】

_i5—1IQIQ511

据题意，#x=-(l+2+3+4)=-,y=-(2.4+4.3+5.3+7)=—,所以7=0.8*3+。，所以。=工.

故选：B.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点正,亍)可计算参数值.

2、C

【解析】

作出三棱锥的实物图P-ACD,然后补成直四棱锥尸-A3CD,且底面为矩形，可得知三棱锥P-ACD的外接球和

直四棱锥尸-A3CD的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD的外接圆直径AC,利用公式2R=血京1就7

可计算出外接球的直径2R,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.

【详解】

三棱锥P-ACD的实物图如下图所示：

将其补成直四棱锥尸-A5CD,底面ABC。，

可知四边形ABC。为矩形，且钙=3,BC=4.

矩形ABCD的外接圆直径AC=y/AB2+BC2=5,且PB=2.

所以，三棱锥尸—ACD外接球的直径为2R=JPB?+AC?=屈,

因此，该三棱锥的外接球的表面积为4=氏2=»x(2R)2=29万.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型

进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

3、A

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.

【详解】

i(l-ai)=2+此

.a+i=2+bi,得〃=2,b—1•

：.ab=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.

4、C

【解析】

根据正弦型函数的图象得到/(x)=sin[2x+g],结合图像变换知识得到答案.

【详解】

,e—八T77rTV兀….

由图象知：—=-------=—=>T=7i・・G=2.

2121229

又％二71时函数值最大，

12

所以2x+夕二万+2k兀=>(p—2kji.又(p£(0,7T),

.,兀\冗71

,从而/(x)=sin[2x+?J,g(x)=cos2x=sin12x+]—sin21xH---H—

32123

只需将/(X)的图象向左平移个单位即可得到g(X)的图象，

故选C.

【点睛】

已知函数y=Asin(cM+0)+5(A>O,o>O)的图象求解析式

(1)1Al=%一%"n,B=5+>mm.⑵由函数的周期7求0,T=—.

1,22(D

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求(P,一般用最高点或最低点求.

5、C

【解析】

Vy=f(x+1)是偶函数，(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=l对称.

•.•当QI时，=-1为减函数，Vf(10g32)=f(2-10g32)=f(log|)

19

且Tog有5=log2石=log34，log34V]0g?<3,；.b>a>c,

故选C

6、A

【解析】

由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案.

【详解】

如图，

取BC中点G,连接AG,DG,则AGJLBC,DG1BC,

分别取ABC与DBC的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O,

则O为四面体A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的边长为且，则OG=A/6

"y

四面体A—BCD的外接球的半径R=VOG2+BG2

二球O的表面积为4兀x(J|)2=一.

故选A.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

7、A

【解析】

由。为6C边上的中点，表示出=+然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为边上的中点，

AD=1(AB+AC),

2

|AD|=1(A5+AC)=^|(AB+AC)

=也AB?+AC，+2AB.AC)

=J1(l2+22+2xlx2xCOS1200)

=B

~2

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

8、B

【解析】

首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分

之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.

【详解】

根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

将圆柱的侧面展开图平铺，

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,

所以所求的最短路径的长度为J4?+2?=2非，故选以

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何

体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得

结果.

9、A

【解析】

结合已知可知，：7=1可求t，进而可求代入/(%)，结合/(；)=0,可求。，即可判断.

【详解】

图象上相邻两个极值点再，了2满足1占-尤21=1，

m=i即7=2,

,/(x)=sin(»%+。),且/(g)=sin(；万+。)=。,

••一7c(p—kjrfkeZ9

\(p\<—7rf/.0=—1万,f(x)=sin(^x——71),

当x=-J时，/(-<)=-1为函数的一个极小值点，而-Je(-J,O).

66o6

故选：A-

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用.

10、C

【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求上的值.

【详解】

-,cu。a,b2.k-12

解：由题悬可得cos135=-------=,~/=------

\a\-\b\^4+16-yjk2+92

求得上=—9,或左=1,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题.

11、B

【解析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断歹是AG的中点推出②正的误；利用

直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线AC与C。所成角判断④的正

误.

【详解】

解：不妨设棱长为：2,对于①连结AB1，贝(JA4=A£=20,;.ZAG4390。即与片0不垂直，又BCgG，

二①不正确；

对于②，连结A。，DC,,在AADG中，AD=DCt=^5,而AC1，.•.歹是AQ的中点，所以二②

正确；

对于③由②可知，在AAD,中，=G，连结b，易知。尸=也，而在RtACBD中，CD=5DF2+CF2=CD2,

即£>FJ_CF,又AC1，二。「，面ACGA，二平面ZMG，平面ACGA，二③正确；

以A为坐标原点，平面4片£上过A点垂直于AG的直线为X轴，AG所在的直线为y轴，4人所在的直线为z轴,

建立如图所示的直角坐标系;

4（0,0,0）,4（"1,0）,Q（0,2,0）,A（0,0,2）,C（0,2,2）,

AG=（0,2,-2）,CD=（^,-1,-1）；

异面直线AG与CD所成角为氏cos*=0,故6=90°.④不正确.

IAC]||CD|

故选：B.

本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力

以及逻辑推理能力.

12、B

【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.

【详解】

左=l,S=0次=2,S=0+^^=L；

2+26

3

Z：=3,S=-+^^=-;^=4,5=-+^—

632+34442+4W

所以①处应填写“七，3?”

故选:B

【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由于cos(e-色)=cos(四一a)=sintz=一9，且ae(一四,0),则cosa=J"sin?tz=』,^sin2a=2sinacosa=--,

2252525

贝!]2cos2a+A/2sin(2a——)=1+cos2a+5/2(sin2acos——cos2asin—)=1+sin2a=—.

44425

14、(-2,0)

【解析】

设g(x)=/a)+/(-x),判断g(x)为偶函数，考虑x>0时，g(x)的解析式和零点个数，利用导数分析函数的单

调性，作函数大致图象，即可得到。的范围.

【详解】

设g(X)=〃X)+/(T)，

则g(x)在(—,。)5。,”)是偶函数，

当%>0时，g(x)=21nx-6x+3x?---1-1,

由g(x)=。得〃=2xlnx-6x2+3x3+%,

=2xlnx-6x2+3x3+x,

9

/zf(x)=21nx-12x+9%2+3,—+18x-12>0,

x

故函数/?'(X)在(O,+“)增，而"(1)=0,

所以妆x)在(0,1)减，在(L+s)增,/1(1)=-2,

当％f中»时，+CQ,当x-0+时，71a)->0-，

因此g(x)的图象为

因此实数a的取值范围是(-2,0).

【点睛】

本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合

思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.

4而

13、-----

3

【解析】

由题意可知A+C=»,B+D=7i,在AAfiZ）和ABCD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos8,求sinA,sin8,代入求值.

【详解】

由圆内接四边形的性质可得NC=180。—NA,ND=180。—N反连接3。，在中,

有在ABCD中，BD~=BC2+CD--2BC-CDcosC.

所以AB?+AD?—2AB•ADcosA=BO?+CD2+25C.cocosA,

A§2+A£>2-3c2—CD?62+52-32-42_32回

贝(]cosA=所以sinA=Vl-cos2A=

2(ABAD+BC-CD)2(6x5+3x4)-77

A3?+BC2-AD?—CD。62+32-52-42_1

连接AG同理可得cos3

2(AB-BC+AD-CD)2(6x3+5x4)一历

-.6V10所以工+工一旦+22=生叵

所以sin3=Jl-cos?B=

19sinAsin82M6M3

故答案为：平

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是

熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.

16、2

【解析】

h2

根据AAPQ是等腰直角三角形，且歹为P。中点可得A尸=。尸，再由双曲线的性质可得。+。=幺，解出e即得.

a

【详解】

x=c

6b2

由题，设点P(G%),由x2y2，解得为=±幺，即线段AAPQ为直角三角形,

--^v=l(a>0,Z?>0)aa

、矿b~

7Tb2

APAQ=~,且=又R为双曲线右焦点，PQ过点F,且轴，.•.■=/＞尸，可得a+c

a

2_2

:.a+c=^^,整理得：2/+ac—°2=0,即e?—e—2=0,又e>l,，e=2.

a

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，是常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)证明见详解；(II)叵.

5

【解析】

(I)取用。中点为G,根据几何关系，求证四边形EGGE为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行;

(II)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.

【详解】

(I)取用。的中点G,连接GG,FG.如下图所示:

因为F,G分别是线段AB和耳。的中点，

所以FG是梯形43的中位线，所以FG//AD.

又ADHCG，所以/G〃CC「

因为AD〃CG，DE//AC,

所以四边形的史。为平行四边形，所以AO=CE.

ADBB}

所以GE=|cG，FG=^=^CC1=ClE.

所以四边形FGCjE为平行四边形，所以EF//C。.

又Eb.平面片G。，GGu平面与G。，

所以瓦7/平面5]G。.

(II)因为A6_LAC,且",平面ABC,

故可以4为原点，A3的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

如下图所示：

不妨设AB=AC=1,则惧=3,

所以C(O,O,1),5(1,0,0),耳(1,3,0),0(0,1,0),£(0,1,1).

所以BC=(T,。/)，4。=(一L—2,0),D£=(0,0,1).

设平面BQE的法向量为n=(苍y,z),

n-B,D=0x+2y=0,

则所以＜

n-DE=0z=0.

可取〃=(2,—1,0).

设直线8C与平面BQE所成的角为0,

则si。***回

~5~

故可得直线BC与平面BXDE所成的角的正弦值为半.

【点睛】

本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.

l2-

18、(1)[-V3,+°o)(2)—e2

7T

【解析】

TTJT

(1)求得/'(尤)，根据已知条件得到/'(x)20在0,-恒成立，由此得至!)asinx+cosx»0在0,-恒成立，利用

1_6」Lo_

分离常数法求得。的取值范围.

(2)构造函数设g(x)=/(x)-施，利用求二阶导数的方法，结合g(x)<0恒成立，求得人的取值范围，由此求得力

的最小值.

【详解】

(1)f\x)=ae^sinx+e^cosx=sinx+cos%)

JTTT

因为4%)在0,-上单调递增，所以/(%)之。在0,-恒成立，

_oJ|_o

71

即asinx+cosxNO在0,—恒成立，

o

当x=0时，上式成立，aeR

当x/。,外有."2=一--,需ad,

I6」sinxtan%卜tanxjmax

而0<tanx<,---26，-------«-A/3,故〃2一g

63tanxtanx

综上，实数，的取值范围是［-6,+00)

⑵设g(x)=/(x)-心/sin—X,月。旬71，则g，(xi(sinx+cosxi，

x

令人(%)=e(sinx+cosx)-b9

JTJT

/z'(x)=e'(2cosx)20,例>)在0,-单调递增，也就是g'(x)在0,-单调递增，

冗

所以g'(x)e\-b,e2-b.

当1-020即。VI时,g(x)>g(0)=0,不符合；

当前_》<0即)〉/时，g(x)“g(0)=°，符合

当1—A<0<「—b即1<匕</时，根据零点存在定理，叫eW，使g'®)=0,有］«0,不)时，g'(x)<0,

g(x)在［0,%)单调递减，xe/，］时，g'(x)>0,g(x)在为£单调递增，g(0)=0成立，故只需g3<。

JIr\兀71

一IT/一一

即可，有得上e2Vb<〃，符合

2n

综上得，b>-e^,实数人的最小值为25

7171

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法,

考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.

19、(1)土+匕=1.x-73y-9=0.(2)最大距离为

1642

【解析】

(1)直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.

x=4coscr,/、

(2)曲线C的参数方程为,设P(4cosa,2sina),计算点到直线的距离公式得到答案.

y=2sma

【详解】

1A

(1)由夕2=......-,得加+3夕2$也2，=16,

l+3sin0

则曲线C的直角坐标方程为必+4丁2=16,即二+二=1.

164

直线/的直角坐标方程为x-y/3y-9=0.

x=4cosi,

(2)可知曲线C的参数方程为..(。为参数),

y=2sma

设尸(4cosa,2sina),ae[0,2^),

则M(2cosa,sin«)到直线Z：x-73y-9=0的距离为

|2costz-V3sincr-9||V?sin(6>-tz)-9|g+币

d——2"

所以线段OP的中点M到直线1的最大距离为也史.

2

【点睛】

本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.

20-,(1)极小值为一2,极大值为—ln2—工.(2)(—co,—1710]

【解析】

(1)根据斜线的斜率即可求得参数。，再对函数求导，即可求得函数的极值；

(2)根据题意，对目标式进行变形，构造函数/z(x)=/(x)-%，根据曲%)是单调减函数，分离参数，求函数的最

值即可求得结果.

【详解】

(1)函数/(%)=111%+。》2-3苫的定义域为(0,+00),

f\x)=-+2ax-3,尸⑴=l+2a-3=0,=l,

Xa

可知/(x)=lnx+%2—3x,f'(x)=-+2x-3=2x~3x+1=o,

XX

解得X1=l,x2=-,

一2

可知在(L+8)时，f'(x)>0,函数尤)单调递增，

在xeg1时，f'(x)<0,函数/Xx)单调递减，

可知函数的极小值为/(I)=In1+1-3=-2,

极大值为/=In：+=_In2-g.

1^2)2424

，?

(2)/(x1)-/(x2)>-^—以可以变形为/(斗)一/(々)〉丝一巴，

马石再入2

可得/(%)一三>/(&)-?,

可知函数/(X)-生在［1,10］上单调递减

X

h(x)=/(%)--=In%+x2-3x~—,

xx

Ivn

〃(x)=—+2x—3+-yV0,

XX

可得根K—2x3+3x2—x，

设厂。)=—2^+3/—%,

Fr(x)=-6x2+6x-l=-6+—<0,

2

可知函数F(x)在［1,10］单调递减，

/(X)而n=F(10)=-2X103+3X102-10=-1710,

可知mW—1710,

可知参数机的取值范围为(—,-1710］.

【点睛】

本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第

二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.

21、(1)证明见解析(2)且

5

【解析】

(1)要证明CE_L平面Q4D,只需证明CE±AD,即可求得答案；

(2)先根据已知证明四边形A5CE为矩形，以