湖南省九校联盟2024届高三年级下册第二次联考数学试卷及答案

湖南省2024届高三九校联盟第二次联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据（七,乂）,卜2，%），|~,（马,为），下列统计量的数值能

够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（）

A.平均数B.相关系数rC.决定系数火2D.方差

2.已知｛为｝是等比数列，S”是其前〃项和.若%-q=3£=552,则叼的值为（）

A.2B.4C.±2D.±4

3.关于复数z与其共枕复数亍，下列结论正确的是（）

A.在复平面内，表示复数二和亍的点关于虚轴对称

B.工•亍〉0

C.N+亍必为实数，2—亍必为纯虚数

D.若复数二为实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的一根，则s也必是该方程的根

22

4.已知M为双曲线（―菅二1上一动点，则M到点（3,0）和到直线x=l的距离之比为（）

A.lB.V2C.百D.2

5.如图，在四面体尸—48C中，E4_L平面43C,/C_LC5,P4=NC=25C=2,则此四面体的外接球表

面积为（〉

A.3KB.9TIC.36TID.48TI

6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入大额存款“0元，按照复利计算10年后得到

的本利和为％o,下列各数中与3最接近的是（）

%

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.已知函数/（x）=sin（0x）+Gcos（@c）,若沿x轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线

丁=1在区间[0,可上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数。的取值范围为（）

A艮\8J、B1「2c，T10J、C{FT10，4八JD[「2°,4八）

8.过点。（一1,0）的动直线与圆。：（%—。）2+（丁一2）2=45>0）交于43两点，在线段A8上取一点Q,使

112,,广

得网+西=西，己知线段|尸。|的最小值为血，则。的值为（）

A.lB.2C.3D.4

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列函数的图象与直线y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=Inx

C.y=sinx+lD.y=x3+1

10.在VA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,0,c,且c=6（2cosA+l）,则下列结论正确的有（）

A.A=2B

B.若。=扬，则VA5C为直角三角形

C,若VA3C为锐角三角形，—-------的最小值为1

tanBtanA

c{V22百

D.若V4BC为锐角三角形，则一的取值范围为一，―

a23

11.如图，点尸是棱长为2的正方体幺5。2）-481GA的表面上一个动点，厂是线段4片的中点，则

A.若点尸满足则动点尸的轨迹长度为4J5

B.三棱锥力-尸44体积的最大值为与

C.当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为TT+4>/2

D.当尸在底面N3CD上运动，且溶足尸尸〃平面51cA时，线段尸尸长度最大值为2a

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

—]》任p

12.对于非空集合尸，定义函数力>（x）=〈‘八'已知集合/={x[0<x<l},8={x|f<x<2»,若存在

1”产，

xeR,使得力（x）+力（x）>0,则实数，的取值范围为.

22221

13.已知椭圆二+4=1（a>。〉0）与双曲线:•-[=1，椭圆的短轴长与长轴长之比大于一，则双曲线离

abab2

心率的取值范围为.

14.函数/（x）=esinx—e00sx在（0,271）范围内极值点的个数为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（木小题满分15分）

如图所示，半圆柱的轴截面为平面5CG4，3C是圆柱底面的直径，O为底面圆心，为一条母线，E

为CG的中点，且4B=/C=44i=4.

(1)求证：0E，A4；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

16.(本小题满分15分)

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A,B,C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游

戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且

获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的

奖励基金如下表：

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

(1)求甲按“4昆C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率;

(2)甲决定按“A,B,C”或者“C,B,A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期

望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.

17.(本小题满分15分)

已函数/(x)=x3+ax1+bx+c(a,b,c&R),其图象的对称中心为(L-2).

(1)求a-6-c的值；

(2)判断函数“X)的零点个数.

18.(本小题满分17分)

已知数列｛%｝的前“项和为S”，满足2s“+a“=3；数列也｝满足“+&1=2”+1,其中4=1.

(1)求数列｛4｝,｛"｝的通项公式；

(2)对于给定的正整数，(i=l,2,L,〃)，在弓和勾+i之间插入i个数qc,L,%•,使

。2，＞~,%吗+1成等差数列•

m2

(ii)是否存在正整数加，使得--------守—恰好是数列｛4｝或｛2｝中的项？若存在，求出所有满足条

11乙，11IJ

b-1-------

皿27；一3

件的冽的值；若不存在，说明理由.

19.(本小题满分17分)

直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x="+l表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义

为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某

条直线.

(1)若圆。1：%2+/=1是直线族如+孙=1(机,〃€11)的包络曲线，求根，”满足的关系式；

(2)若点P(X0,%)不在线族：Q(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(aeR)的任意一条直线上，求为的取值范

和直线族。的包络曲线E；

(3)在(2)的条件下，过曲线E上43两点作曲线E的切线//,其交点为尸.已知点C((M),若

43,C三点不共线，探究=是否成立？请说明理由.

湖南省2024届高三九校联盟第二次联考

数学参考答案

命题学校：长沙市一中审题学校：双峰县一中

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的每个这项中，只有一项

是符合题目要求的)

题号12345678

答案CCDCBDAA

1.C【解析】平均致与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的就计量：变量1，和x之间的相关系

数”的绝对值总大，则变量y和x之间线性相关关系越强；用决定系数我来刻画回归效果，R越大说明拟合效

果总好：综上选C

2.C【解析】QS4=5$2,化简得—4)，整理得1+/=5,，4=土2,又

\-q\-q

a

~\——q=3,ax—1,.*.a2-1夕—±2.故选C.

3.D【解析】对于选项4表示复数二和亍的点关于实轴对称，故错误：对于选项夙选项C,当z=0时均

不成立，故错误.故选。

4.C【解析】取双曲线上一点(百,0),则d==百，故选c.

yJ3—1

5.B【解析】将四面体尸。补形成长方体，长、宽、高分别为2,1,2,外接球直径等于体对角线长故

2R=,所以外接球表面积为S=4就2=9式.故选B.

6.D【解析】存入大额存款/元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为一首项，1+3%为公比的等比

数列，，所认的(1+3%)1°=%。，可得

10210

=(1+3%)=C104-Cox0.034-CQx0.03+L+C}®xO.O3«1.34,故选D

a。

7.A【解析】由题知，/(x)=2sin]ox+；),若沿*轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的函数

g(x)=2sin®x+°),令g(x)=l,即sin®x+0)=；,由正弦曲线性质知，sinx=；至少有2解，至

多有3解，则自变量x的区间长度在2兀到一之间，耶2兀”s<——，那2”o<一,选A.

333

8.A【解析】圆心C(a,2),半径为2,所以圆与x解相切，设切点为M.则〃(凡。)，连接则

PM=a+l,贝1PMl2=归川归邳=3+1）2.

设AB的中点为。，连接CD,则CDLA5,

语圆心C列直线AB的距离为d,则0„d<2,\PA\+\PB\=\PD\+\AD\+\PD\-\AD\=2\PD\.

11_2|„,_伍+1）2_（a+l）2

由网+网—西可得做DJJPC2_/一口+1）2+4d'

因为0„d<2.所以/\PQ\</伍？:.

V（a+1）+4-0J（a+iy+4-4

（a+1）2仄

因止匕i,^==（2,解得：。=1,故选A.

V（a+l）2+4-0

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案ACABDCD

9.AC【解析】选项A中，y=e"与y=x+l相切于点（0,1）；选项B中，y=与y=x+1没有交点;

选项C中，y=sinx+l与y=x+l相切于点（0,1）；选项。中，y=£+1与y=x+1有三个交点，

（0,1）,（1,2）,（-1,0）,均不是切点.

10.ABD【解析】对于A,VABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB,由sinC=sin（A+3）,得

sinAcosB-cosAsinB=sinB.即sin（A—3）=sinB,由0<A,3<TT,则sinB〉0,故0<A-5<7r,所

以A-8=5或A-_B+_B=x,即A=23或A=7i（舍去），即A=23,A正确：

对于8,结合4=23和正弦定理知，一=百%=上,（：055=立，又0<43<兀，数

sinAsin2BsinB2

jrjr

2B=-,C=-8正确；

A=32f

TTTTJT

对于C,在锐角VA3C中，0<B<—,0<A=23<—,O<C=71—33<一,即

222

71nR73,n[

一<B<一.—<tsinB<1•

643

111l-tan2B1+tan25

----------=--------------=-------->I1,

tanBtanAtanB2taiiB2tanB

对于D,在锐角VA5C中，由.<B<»,旦<cosB<®.

6422

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB一八I

—=——=-----=---------；-----------=2cos8-------

asinAsin2Bsin2B2cos3

c(4220

由对勾函数性质知，一e—,D正确；故选ABD.

aI23J

ILCD【解析】对A,易知平面平面ABGR,故动点尸的轨迹为矩形，动

点P的轨迹长度为4亚+4,所认A错误;

对8因为匕=%_明4，而VA4R的面积为定值2#，要使三棱锥P-A4R的体积最大，当且仅当

点P到平面A4R距离最大，易知，点C是正方体意向到平面A4R距离最大的点，

（匕—PBiJax=匕-的口=|，§错误；

对C：连接AC,ABX,以8为圆心，8片为半径画弧既，如图I所示，

当点P在线段AC,A4和弧既上时，直线AP与A5所成的角为45°，

又AC=办笈+叱=也+4=2叵ABi=《AB?+BB；=,4+4=2后,

弧既长度;xjrxZ?=兀，故点P的轨迹长度为兀+4血，故C正确；

对D-,取4。,DQ,DC,CB,BBX,A3的中点分别为Q,R,N,M,T,H,

连接QR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM,如图2所示,

因为尸T〃D.C,尸T<Z面DiBiCQCu面D.B.C,故尸T〃面D.B.C,

TM//BXC,7^/.面24。，4。匚面44。，故TM〃面Di"C；

又FTcTM=T,尸T.TMu面FTM,故平面尸TM〃面Q/。；

又。尸〃NM,QR//TM,RN//FT,故平面b7MW?0与平面尸刀1/是同一个平面.

则点尸的轨迹为线段儿W：

在三角形FNM中,

FN=^FH2+HN2=[4+4=25/2;FM=y/FH2+HM2=〃+2=®NM=五;

则FM2+MN2=8=FN?，故三角形FNM是以NFMN为直角的直角三角形；

故FPa=FN=2近,故我长度的最大值为2JI，故D正确.故选：CD.

三、填空题（本大题共3小题，年小题5分，共15分）

12.（0,1）【解析】由题知：力（»+八（不可取±2,0,若力⑴+力（x）〉0.则人（x）+力（x）=2,即

集合/c3w0,得0＜1＜1,郎，的取值范围为（0」）.

当XC呜时，/'（x）＞0：当xen,—时，/,（x）＜0；

当xe（W，7rJ时，〃=sim■和〃=cosx均为单调减函数，又.旷=/在〃e（―1,1）上是单调增函数，根据复合

cinVcosx\37r1

函数单调性可知夕行）=-^7+飞F为减函数.丫=。皿Z皿＞0,又广石＜oj，（2兀）＞0,故函数/'（X）

在该区间上存在一个零点，该零点为函数/（X）的极值点;

从而函数/（X）在（0,2兀）内一共有2个极值点.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.【解析】（1）由5c是直径可知则V/5C是是等腰直角三角形，故/O_L3C,

由圆柱的特征可知区4，平面Z8C,又NOC平面N5C,所以A8iJ.NO,

因为BB[CBC=B,BB[,BCu平面BCC^,则NO，平面BCCR,

而OEu平面5CG4,则4O_LQ£,

因为幺3=幺。=曰=4,则BC=42AB=4A/2,.­.BQ?=B^+BO2=24,

222222

OE=OC+CE=12,B[E?=EC；+B^C=36=BXO+OE,

所以用OJ_QE,

因为50J_O£,NO_LOE,NOc5Q=O,力0,4。u平面ABQ,

所以OEJ.平面盟O,又44u平面皿。，故OE工AB「

（2）由题意及（1）易知N4,4B,4。两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，

VX4UlA一早11I」上,

则4（4,0,4）/（0,4,2）,。（2,2,0）,所以皿=（4,0,4）,怂=（0,4,2）,40=

（2,2,0）,

I上上,

由（1）知幺OJ_平面与。七，故平面5QE的一个法向量是/0=（2.2,0）,

设）=（x/,二）是平面皿石的一个法向量，

（ruuLi

〃•AB.=4x+4z=0,r、

则有〈「inn取z=—2=>x=2,y=1,所以〃二z（2,1,—2）,

n-AE-4y+2二=0,

设平面ABXE与平面夹角为6,

/r叫

所以cos£=cosb?,AO）=

则平面ABXE与平面BQE夹角的余弦值为注.

2

16.【解析】1)设“甲按/,B,。的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E,

则P(E)=0.8x0.5x0.5+0.8x0.5x0.5=0.4；

则X的所有可能取值为0,1000,3000,6000,

p(x=0)=1-0.8=0.2,

尸(X=1000)=0.8x(1—0.5)=04,

尸(X=3000)=0.8x0,5x(1—0.5)=0.2

P(X=6000)=0.8x0,5x0,5=0.2

所以E(X)=0x0.2+1000x0.4+3000x0.2+6000x0.2=2200；

则Y的所有可能取值为0,3000,5000,6000,

p(y=0)=0.5,

P(y=3000)=0.5x(1-0.5)=0.25,

P(y=5000)=0.5x0,5x(1-0.8)=0.05

P(Y=6000)=0.5x0,5x0,8=0.2

所以E(y)=0x0,5+3000x0,25+5000x0,05+6000x0,2=2200.

参考答案一：由于。(X)=22002x0.2+12002x0.4+8002x0.2+38002x0.2=4560000,

D(y)=22002X0.5+8002x0.25+28002x0.05+38002x0.2=5860000,

由于。(y)〉o(x),所以应该安装“43,。”的顺序猜歌名.

参考答案二：甲按“C,B,A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5,大于按照“A,B,。，的顺序猜歌名时

获得0元的概率，所以应孩按照“A,B,。的顺序猜歌名.

其他合理答案均给分，

17.【解析】(1)图为函教的图象关于点。,一2)中心付称，故y=/(x+l)+2为夺函数,

从而有/(x+l)+2+/(—x+l)+2=0,即/(x+l)+/(—x+l)=—4.

/(x+1)=(x+1)3++1)?+6(x+])+c=x3+(a+3)x2+(2a+Z?+3)x+a+6+c+l,

/(l—x)=(1—x)3+tz(l—x)~+Z?(1—x)+c=—%3+(a+3)—(2a+Z?+3)x+a+6+c+l.

2〃+6=0,a=-3,

所以《CC7CC4解得<i^La-b-c=-3；

2a+2b+2c+2——4,b+c=O,

(2)法一：由(1)可知，/(x)=x3-3x2-ex+c,f'[x^=3x2-6x-c,A=36+12c,

当G,—3时，为单调增函教，/(l)=-2<0,

/(o'=c4-3c4-c3+c...9c4-3c4-c3+c=6c4-c3+c=4c4+(</-<?)+,+°)>0,

函数/(x)有且仅有一个零点；

当-3<c<0时，/'(x)=0有两个正根X]</，满足为+七=2®•/=—；〉0，且3x；一6%-c=0,

数在区间(-上单调递增，在区间(为％)上单调递减，在区间(％，+。)上单调递增，

/(%1)=X；—3x；_(芭-0(3x：—6xJ=-2x1(x：-3x；+3)<0"(3)=—2〉0,

函数/(x)有且仅有一个零点；

当c=0时，=3/有两个零点

当C〉0时，/'(X)=0有两个根X[<0<%2，满足X[+刀2=2,不・工2=—gvO，

函数“X)在区间(-8,%)上单调递增，在区间(七,%)上单调递减，在区间(％2，+°°)上单调递增，

/(X1)>/(0)=C>0,/(X2)</(1)=-2<0.

函致/(x)有且仅有三个零点；

综上，当c〉0时，函数/(%)有三个零点；当c=0时，函数/(力有两个零点；当c<0时，函数/(x)有

一个零点

法二：由⑴可知，/(X)=X3-3X2-CX+C,/(1)=-2^0,今〃X)=0,则.=-尸—3犬

x-1

32

可以转化为y=C与y=Xr-3x两个这数图象交点的个数,

x-1

今(XW])，则〃(x)=2'(：+3),

九一1(X—1)

故丸(X)在区间(一叫0)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增在区间。,+")上单调递增,

当x单调递增时，A(x)=*(\3)〉一,可可趁于+“；力⑼=o；

当尤趋于1且比1小时，丸(x)趋于+oo：当尤趋于1且比1大时，〃(x)趋于-孙

当x单调递增+”时，丸丸(％)趋于+:

所以，当c〉0时，有三个交点；当c=0时，有两个交点；当c<0时，有一个交点.

综上，当c〉0时，函数/(%)有三个零点；当c=0时，函数/(x)有两个零点；当c<0时，函数/(x)有

一个零点.

注意，如果是保留参数b,则答案为：

当6〉0时，函数/(x)有一个零点；当6=0时，函数/(%)有两个零点；当6<0时，函数/(x)有三个零

点.

18.【解析】(1)由2S.+a,=3①，当几.2时,2s“T+4T=3②，

①-②得2a.+a,—%=0..也=；q_1(几,2),

当〃=1时，2〃[+〃]=3,q=1,

.・・｛。”｝是首项为1,公比为g的等比数列，故("eN)

由勿+"+i=2"+1③.由乙=1

得%=2,又%+%2=2"+3④.

④-③得或+2—2=2，

｛〃｝的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2,公差为2的等差数列.

得b2f2一1=l+(〃一l)x2=2〃一1,Z?2n=2+(n-1)x2=2n,bn-n\nGN

n-l

综上：a|,b=n(neN

nIn

(2)(i)在a“和4+i之间新入几个数%,c“2，L,%，使a“,4,c〃2，L,c“〃,a.+i成等差数列,

设公差为4,则,

+2)-13"5+1)

n—1

2k,7n2n{n+1)2n

则3"(〃+1)'一之‘成

3"(〃+1)2r

12.n

—+F+L+—⑤

3323"

1+W+L+

则⑥

3233

⑤-⑥得：门22(卜1”1n12〃+3

+=i-L，

332

7

n-l\又T=3_2"+3

(ii)由(1)a=eN*

nI也卜"22x3"

-1+—7T

4,+2m-l+3w+1

由己知

…1_”3吁1+3”

2Tm-3

_iI^m+\

假设"Li是数量列｛4｝或也｝中的一项,

根—1+3机

m_i_i_a冽+i/

不妨设=左(左>0,根eN*左一1)(加一1)=(3—左)-3"‘，

n-\

m

因为加一L,0,3>0(m£N*，所以1＜左，3,而〃〃=I”1，

_1If+l

所以:]：3〃不可能是数列｛%｝中的项.

rJJ_1I

假设是｛4｝中的项,则左eN*.

7〃-1+3”

I,,〜m口/「I1A\ni-\，/八“、mm-1-2m+3

当k=2时，有〃?_1=3M，即丁=1，令■/(7〃)=亍，/(〃/+1)一/(加)=尹一亍=3.1

当加=1时，/(1)</(2);当〃,...2时，f[m+1)-f(m)<0,/(I)</(2)>/(3)>/(4)>L,由

/。)=0，/(2)=；知工=1无解•

当左=3时，有〃­1=0,即加=1.所以存在〃1=1使得"三£=3是数列｛4｝中的第3项.

故存在正整数m=1使得--------端行是数列｛4｝中的第3项.

瓦一]--------

刑2Tm-3

19.【解析】（1）由定义可知，7〃x+〃y=l与/+了2=1相切，则圆G的圆心（0,0）到直线“a+4旷=1的

J1,

距离等于1,则、=%再方=1,叔"J+〃2=l.

（2）点产（X。，%）不在直线族C：（2。-4）x+4.V+g—2）2=0（aeR）的任意一条直线上，所以无论。取何

值时，（2a—4）仆+4.%+（。-2）2=0无解.

将（2a-4）x0+4v0+（a—2）2=0整理成关于a的一元二次方程；

2*4

a+(2xo-4)a+(4+4yo-4xo)=O.

若该方程无解，则八二Q%—4）2-4（4+4%—4.%）<0,即%〉也.

4

2（2\x一

证明：在箕=土上任取一点。石,号，y=彳在该点处的切线斜率为彳土于是可以得到》=亍在

4I4J2

,2\

Q演,十点处的切线方程为：y^-x-—»即一2X]X+4y+x；=0.

<4yl

今直线族C：（2a-4）x+4.y+（a-2）2=0中2。一4=-2./，则直线为一2*/+4了+工；=0,

所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，

而对任意a£R,（2〃-4）%+4y+（〃-2）2=。那是抛物线在点2-a,-------处的切线.

所以直线族。的包络曲线£为丁=亍.

LAXILL1LI

（3）法一：已知C（o,l）,设人（%,%）,5（%2，%）,则CA=（石,

ILH,yn2

CA卜才+1,同1o=才+1.

由（2）知，y=亍在点A（X],yJ处的切线方程为y=”x—”；同理y=?在点3（々42）处的切线方

程为丁"三1』

-24

v-

"24'XXIUD

%+%212玉+冗2冗1冗21j

2np，所以。尸二

X,Xj2'4

y=—x——-

•24

CACPCBCP

即jtmtun.=jiimwn,,所以ZPCA=NPCB成立.

C4-CPCB-CP

法二：过45分别作准线的垂线AA',33',连接AP,3'P.

因为女尸A=y'L=%=54，尢贸

显然％BA.k^c=—L

又由抛物线定义得：AA'=AC,故P4为线段AC的中垂线，得到PA=PC,即NPAA=/PCA.

同理可知NPB'B=NPCB,PB'=PC,

所以PA'=PC=PB',即=NPB'A.

则/PAA=/PA旧+90°=NPBW+90°=ZPB'B.

所以NPCA=NPCB成立.

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数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据（事,%）,（%，％），…，（居，乂,），下列统计量的数值能够

刻画其经验回归方程的拟合效果的是（）

A.平均数B.相关系数厂C.决定系数氏2D.方差

2.已知｛4｝是等比数列，是其前〃项和若%-q=3同=58，则%的值为（）

A.2B.4C.±2D.±4

3.关于复数z与其共辗复数彳，下列结论正确的是（）

A.在复平面内，表示复数2和彳的点关于虚轴对称

B.z-z>0

C.z+亍必为实数，z-亍必为纯虚数

D.若复数z为实系数一元二次方程QX2+6X+C=（）的一根，则亍也必是该方程的根

22

4.已知M为双曲线土—二=1上一动点，则M到点（3,0）和到直线x=l的距离之比为（）

36

A.lB，V2C.V3D.2

5.如图，在四面体尸—4BC中，尸幺，平面48。,/。，。3/>/=/。=23。=2,则此四面体的外接球表面

A.3TTB.9兀C.36兀D.48兀

6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入大额存款4元，按照复利计算10年后得到的

a,

本利和为％。，下列各数中与」n最接近的是（）

旬

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.已知函数/（x）=sin（ox）+JIcos（ox）,若沿x轴方向平移/（x）的图象，总能保证平移后的曲线与直线

了=1在区间［0,可上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数①的取值范围为（）

\10、F10八八

8.过点尸（—1,0）的动直线与圆C:（x—4+⑶―2）2=4（a>0）交于48两点，在线段48上取一点。，使得

112,,广

|P^|+|P5|=|P2|>已知线段户。的最小值为J5，则。的值为（）

A.lB.2C.3D.4

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列函数的图象与直线y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=lnx

C.y=sinx+1D.y=x3+1

10.在中，角48,。所对的边分别为见“C，且c=b（2coM+l）,则下列结论正确的有（）

A.A=2B

B.若a=6b，则为直角三角形

C.若为锐角三角形，」-------的最小值为1

tanStanA

D.若A4BC为锐角三角形，则§的取值范围为^-，―

aS3J

11.如图，点尸是棱长为2的正方体ABCD-44GA的表面上一个动点,F是线段44的中点，则（

A.若点P满足则动点尸的轨迹长度为4J5

B.三棱锥A-PBQi体积的最大值为y

C.当直线AP与AB所成的角为45°时，点尸的轨迹长度为兀+4后

D.当P在底面4BCQ上运动，且洛足PE〃平面4CR时，线段PE长度最大值为2夜

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

一]xep

12.对于非空集合尸，定义函数力（x）=〈"八’已知集合/={x[O<x<l},B={x[/<x<2/},若存在

[1,XeP,

xeR,使得力（x）+/（x）〉O,则实数，的取值范围为.

22221

13.已知椭圆二+占=13>6>0）与双曲线二—二=1，椭圆的短轴长与长轴长之比大于一，则双曲线离

a~b~a"b~2

心率的取值范围为.

14.函数/（X）=e9—eC°sx在（0,2兀）范围内极值点的个数为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（木小题满分15分）

如图所示，半圆柱的轴截面为平面5CG4,8c是圆柱底面的直径，。为底面圆心，44为一条母线，E为

CG的中点，且45=/C=/4=4.

（1）求证：0E1ABX；

（2）求平面//£与平面夹角的余弦值.

16.（本小题满分15分）

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有aB,c三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏,

需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本

歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基

金如下表:

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

（I）求甲按的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率;

（2）甲决定按“A,8,C”或者“C,民Z”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望;

为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.

17.（本小题满分15分）

已函数/（x）=x3+ax2+bx+c（a,b,ceR）,其图象的对称中心为（1,一2）.

（1）求。的值；

（2）判断函数“X）的零点个数.

18.（本小题满分17分）

已知数列｛%｝的前〃项和为其，满足2s“+4=3；数列也｝满足包+&]=2〃+1,其中4=1.

（1）求数列｛%｝,｛4｝的通项公式；

（2）对于给定的正整数=在区和区+1之间插入z,个数…,4,使q.«i，ca,---,cu,ai+l

成等差数列.

（i）求（=Gi+。21+。22+•■-+C„1+C„2+…+g"；

m7

（ii）是否存在正整数加，使得-------垢a不+恰好是数列｛%｝或也｝中的项？若存在，求出所有满足条件

b-1--------

m

2Tm-3

的加的值；若不存在，说明理由.

19.（本小题满分17分）

直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如》=沙+1表示过点（1,0）的直线，直线的包络曲线定义为：

直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直

线.

(1)若圆4：/+/=1是直线族加x+即=1(加,〃eR)的包络曲线，求加，〃满足的关系式；

(2)若点尸(%,%)不在线族：Q(2a-4)x+47+伍—2)2=0(。eR)的任意一条直线上，求比的取值范和

直线族C的包络曲线E；

⑶在(2)的条件下，过曲线E上48两点作曲线£的切线//,其交点为尸.已知点C(O,l),若4瓦。

三点不共线，探究NPC4=NPCB是否成立？请说明理由.

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数学参考答案

命题学校：长沙市一中审题学校：双峰县一中

一,选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的每个这项中，只有一项

是符合题目要求的)

题号12345678

答案CCDCBDAA

1.C【解析】平均致与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的就计量：变量y和x之间的相关系数”

的绝对值总大，则变量》和x之间线性相关关系越强；用决定系数R来刻画回归效果，R越大说明拟合效果总

好：综上选c

2.C【解析】-S4=5S2,化简得“1(1—4)=5、0一4)，整理得l+q2=5,；.q=±2,又

\-q\-q

=a4—%=3,「.Q]=l,.\a2=qq=±2.故选C.

3.D【解析】对于选项4