2024年中考数学第一次模拟试卷（泰州卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（泰州卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.-2023的相反数是（）

【答案】B

【解析】解：-2023的相反数是2023.故选：B.

2.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.”意即把一长方体沿对角面一分为二,

这相同的两块叫做“堑堵如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）

正面

【答案】C

【解析】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图:

故选：C.

3.张明在对一组数据“6..,15,28,63,39,28”进行分析时，发现第一个两位数的个位数字被墨水弄脏

看不到了，此时统计结果不受影响的统计量是（）

A.方差B.众数C.平均数D.中位数

【答案】D

【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为28与39的平

均数，与被涂污数字无关.

故选：D.

4.如图，直线a〃6,直角三角形如图放置，ZDCB=9Q°,若Zl=118。，则N2的度数为()

【答案】A

■■■a//b,ZDCB=90°,Zl=118°,

:./BCE=N1=118°,

Z2=NBCE-ZDCB=28°,

故选：A.

5.下列命题正确的是()

A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形D.菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半

【答案】D

【解析】A、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，故该选项不符合题意；

B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不符合题意；

C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，故该选项不符合题意;

2

D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，符合题意;

故选：D

6.如图，O。的半径为2,弦垂直直径于点E,且E是。4的中点，点P从点E出发（点P与点E

不重合），沿的路线运动，^AP=x,smZAPC=y,那么夕与x之间的关系图象大致是（)

【解析】解：连接。AN。，如图,

•.•弦垂直直径于点£,且£是。/的中点,OA=2,

：.AE=OE=-OA=1,AD=OD=2,

2

又AP=x,

1

・•・当点。在线段时，y=sinZAPC=——=—,

PAx

・••当1<%V2时，函数图形是反比例函数，

当点尸在前上时，/4PC是定值，歹是定值,

故选：C.

3

第n卷

二、填空题（本大题共1。个小题，每小题3分，共30分）

7.分解因式：-3a2b+9ab2c=•

【答案】-3ab（a-36c）

【解析】解:-3。%+9。62。=-3。6（。-36。）；

故答案为：-3ab（a-3bc）

8.国家铁路集团有限公司（简称“国铁集团”）最新数据显示，11月份，国家铁路发送煤炭1.78亿吨.“1.78

亿”用科学记数法表示为.

【答案】1.78x10s

【解析】解：将L78亿用科学记数法表示为：1.78x108.

故答案为：1.78x10'.

9.物理课上我们学习过凸透镜成像规律.如图，蜡烛48的高为15cm，蜡烛N3与凸透镜的距离BE为32cm,

蜡烛的像与凸透镜的距离DE为8cm,则像CO的高为cm.

【解析】解：QAB1BD,CD1BD,

■.AB//CD,

■.ZABE=ZCDE,NBAE=NCDE,

■.AABEsACDE,

ABBE

,CD-DE'

:AB的高为15cm,BE为32cm,DE为8cm,

10.已知圆锥展开图的圆心角为216。，母线长为5,则该圆锥的体积为.

4

【答案】12T

【解析】解：如图：设该圆锥的底面半径为r,

圆锥的高为：打-32=4,

根据圆锥的体积公式V=gh

得到该圆锥的体积为：；%x32x4=12万，

故答案为：12万.

11.一只蜘蛛爬到如图所示的一块瓷砖上，并随机停留在某一位置上，则它停留在阴影区域上的概率

【解析】解：设一块瓷砖的面积为。，

贝US阴影=3a,

则它停留在阴影区域上的概率是尸=§蜃=如=

9a9a3

故答案为：j.

12.如图，C4平分/5C。，5C=C。，D4的延长线交3C于点E,若/£/。=50。，则/R4E的度数为.

5

D

【答案】80。/80度

【解析】解：平分/。圆，

/.ZBCA=ZDCA,

又・.・C5=CQ,ZC=ZC,

:.^ABC^ADC（SAS）,

.・.ZB=ZD,

ZD+ZACD=ZB+ZACB=/CAE=50°,

/./BAE=180。——ZACB-ZCAE=80°,

故答案为：80°.

13.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b=4cm,则螺帽边长。=

【解析】解：如图：连接ZC,过点5作助，/C于。,

由正六边形可得：ZABC=120°,AB=BC=Q,

：./BCD=ABAC=30°，

6

由AC=6=4,贝ijAD=CD=—6=2,

2

・・•在RtZUB。中，=30。，

：.BD=-AB=-a,

22

4r-

故答案为1G.

14.在《代数学》中记载了求方程x?+8x=33正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为X?的正方形,

再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为33+16=49,则该方程的

正数解x=廊-2x2=3,小明尝试用此方法解关于x的方程M+10x+c=0时，构造出如图②所示的正方

形.己知图②中阴影部分的面积和为55,则该方程的正数解为.

【答案】4V5-5/-5+4V5

【解析】如图2所示：

先构造一个面积为一的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为m的矩形，得到大正方形的面

积为55+gjx4=80,贝U该方程的正数解为厢一gx2=46-5.

故答案为：4A/5-5

7

15.平面直角坐标系中，在x轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与了轴的交点的距离之和最小的点,

称为这条抛物线与x轴的“亲密点”，那么抛物线y=2/+4x+5与x轴的“亲密点”的坐标是.

【解析】解：J=2X2+4X+5=2(X+1)2+3,

抛物线开口向上，顶点P为(-1,3),

••・顶点关于x轴的对称点。为

当％=0时，»=5,

抛物线与了轴的交点M为(0,5),

设直线的解析式为>=履+5,

代入(-1,-3)得,一3=-左+5,

解得无=8,

二直线MQ的解析式为y=8x+5,

令y=o,则

o

••・抛物线y=2—+4x+5与％轴的“亲密点”的坐标是

y=2x2+4x+5\

»

X

16.如图，已知矩形ZBCD,AB=3,BC=5,点N是边BC上一点,且5N=1,将矩形45c。绕/顺时针

旋转a(0°<a<180°),得到矩形4EFG,点5的对应点是点点。的对应点是点尸，点。的对应点是

8

点G,连接CF・点/是CF的中点，连接MN,在旋转过程中，线段的最大值为一

22

【解析】连接ZC,BD交于点O,连接。AF,过点。作OTLZC于点T,连接ON,

・・・是矩形,

・•・OB=OC=OA=OD,

・・•点M是CF的中点，

OM是△/CF的中位线，

AOM=-AF=-AC=OC,

22

二点河在以。为圆心，以OC为半径的圆上运动,

•・•AF=AC=yjAB2+BC2=732+52=>/34，

.\MO=-V34,

2

VOT1AC,AB1BC,

：.OT//AB,

：.ACTOS^CBA

,TOCOCT\

，9^4B~^4C~~CB~2

9

1315

：.TO=-AB=~,CT=-BC=~,

2222

■:BN=\,

3

：.TN=~,

2

在RMTON中，ON==迪

2

.♦•线段九W的最大值为£1+'区

2

372V34

故答案为:----1----

22

三、解答题（本大题共10个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(1)计算：^1j+(-l)2014-(^-3)°；

(2)解方程:=x三=-<4--1.

x-22-x

【解析】(1)W+(-l)2014-(^-3)°

=-+1-1

2

2

(2)

七=六-1

原方程去分母得：x=-4-（x-2）

去括号得：x=-4—x+2,

移项，合并同类项得：2x=-2,

系数化为1得：x=-l,

检验：将x=-1代入（x-2）得—1—2H0,

故原方程的解为：%=-1

18.2023年11月24日，第十届【媒眼看国茶】论坛：文明互鉴，“一带一路”共筑茶缘在中国举行.为了

解/、8两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下

试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等

级：合格50Vx<55,良好55Wx<60,优秀xN60）,下面给出了部分信息：

10亩/型铁观音茶叶的亩产量：50,54,55,55,55,57,57,58,59,60.

10亩8型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57,57,57,59.

10

抽取的48型铁观音亩产量统计表

型号AB

平均数5656

中位数56b

众数a57

方差7.415.8

“优秀”等级所占百分比10%20%

B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题:

⑴填空：a=,b=,m=

(2)根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由(写出一条理由即可)；

(3)若某市今年种植2型铁观音茶叶3000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少

亩？

【解析】(1)在50,54,55,55,55,57,57,58,59,60中，出现次数最多的是55,

众数a=55,

型中“良好”等级有4个，占40%,“优秀”等级所占百分比为20%,

•••“合格”等级占1-40%-20%=40%,即5=40,

把3型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57,

故答案为：55,57,40；

(2)3款茶叶更好，

理由：因为8款茶叶的中位数和众数都大于A款茶叶的，所以8款茶叶更好(答案不唯一);

(3)3000x(40%+40%)=2400(亩)，

答：估计今年3型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩.

11

19.为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论

语；D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为，是事件（填

“随机”或“不可能”或“必然”）?

⑵小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，

且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的

方法进行说明.

【解析】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有

1种，

=是随机事件；

故答案为：—,随机；

4

（2）画出树状图如图：

开饴

BCD4CDABDABC

由图可知,共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种,

：.P=—.

12

20.如图,48是的直径，点。在OO上，且ZC=8,BC=6.

（1）尺规作图：过点。作/C的垂线，垂足为E,交劣弧怒于点。，连接（保留作图痕迹，不写作法）;

⑵在（1）所作的图形中，分别求和的长.

【解析】（1）解：分别A、。以为圆心，大于!/C的长为半径画弧交于点尸，连接。尸，与圆的交点即为。,

2

则。。即为/C的垂线，连接CD,如图即为所求;

12

(2)由(1)可知，O0L/C,则/E=CE=1/C=4,即点£为NC的中点，

2

,/OA=OB,

.••。£为“8C的中位线，

OE=-BC=3,

2

是。。的直径，

ZACB=90°,

由勾股定理可得：AB=^AC2+BC1=10>

OD=OB=-AB=5,贝IIOEuOD-OEnZ,

2

由勾股定理可得：CD=J庞2+四2=275.

21.乐乐超市为了元旦促销，印制一:批宣传册.该宣传册每本共10页，由/,8两种彩页构成.已知/种

彩页制版费为3元/张，3种彩页制版费为2元/张，共计24元(注：彩页制版费与印数无关).

(1)每本宣传册2两种彩页各有多少张？

(2)据了解，/种彩页印刷费为0.5元/张，8种彩页印刷费为0.3元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不

超过594元.如果按到超市的顾客人手一册发放宣传册，那么最多能发多少位顾客？

【解析】(1)解：设每本宣传册中A种彩页有x页，8种彩页有V页，

.[x+y=10

••13x+2'=24'

(x=4

解得，’,

[v=6

•••每本宣传册中A种彩页有4张，B种彩页有6张；

(2)解:设可以发，〃位顾客，

:・4x0.5加+6x0.3m+24<594,

解得，m<150,

13

,最多可以发150位顾客.

22.金秋十一月，阳光大草坪/BCD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图.经勘测，入口8在

入口/的正西方向，入口C在入口2的正北方向，入口。在入口。的北偏东60。方向400m处，入口。在

入口A的北偏西45。方向1000m处.（参考数据1.41,右修1.73）

北

（1）求的长度；（结果精确到1米）

（2）小明从入口。处进入前往M处赏花，点〃在上，距离入口3的500m处.小明可以选择鹅卵石步道

©D-C-B-M,步行速度为50m/min,也可以选择人工步道②,步行速度为60m/min,请计算

说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到O.lmin）

【解析】（1）过点。作。于点E,过点C作。尸，。£于点厂，

北

在RtACDF中，CF=CD-sin60°=400x—=200月«346,

2

:.BE=346,

在R34DE中，NE=4。.cos45。=1000x-=500后«705,

2

AB=AE+BE=1051m.

48的长度为1051m.

14

(2)由(1)知,715=1051,

BM=500,

AM=AB—BM=55l,

在中，DE=AE="5,

在RtZkCA尸中，DF=CD-cos60°=400x-=200,

2

EF=BC=DE-DF=505.

鹅卵石步道的路程为DC+CB+BM=400+505+500=1405,

所需时间为1405+50=28.1(min).

人工步道的路程为Dl+/M=1000+551=1551,

所需时间为1551+60=25.85225.9(min).

28.1>25.9,

他选择人工步道时间更快.

23.如图，过正方形/8CD顶点3,C的。。与工。相切于点E,与8相交于点尸，连接

14ED

(01)求证：EF平分/BFD.

FC3厂

(2)^--..DF-5求EF的长.

【解析】(1)证明：如图,连接OE,

4ED

0・・・O。与/。相切于点E,

OELAD,BPZOEA=90°,

15

•・•四边形力BCD是正方形,

：.ZD=90°=ZOEA,

:.OE//CD,

ZOEF=ZEFD,

•;OE=OF,

AOEF=ZOFE,

/.ZOFE=ZEFD,

EF平分ZBFD.

••・四边形/BCD是正方形，

AD=CD=BC,ZC=ZD=90°,AB//CD,

•••8月是。。的直径，

/.OF=OB,

由（1）已证：OE\\CD,

AB//OE//CD,

DEOF1

/.--=--=1,

AEOB

AE=DE=-AD,

2

FC3

・5C-4?

・•・设/。=3x,贝iJZO=CD=3C=4x,

;.DF=CD-FC=X=5

DE=-AD=-CD=2x=2出,

22

则在RtADEF中，EF=^DE2+DF2=5-

16

24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b与双曲线＞=](〃—())交于4,8两点，与＞轴交于点C,

与x轴交于点。，其中点A的坐标为(1,3).

(1)求双曲线和直线48的表达式；

(2)将直线N3向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式;

(3)在了轴上是否存在点?使得//2。=45。？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)解：把/。，3)代入＞=%得机=3,

X

则双曲线的表达式是、=上，

X

把/(1,3)代入y=-x+b得-1+6=3,

解得6=4,

则直线AB的表达式是y=f+4：

(2)解：将直线48向下平移“("＞0)个单位长度得直线N的解析式为y=-x+4-〃，

•..直线AB向下平移〃(〃＞0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，

3

••一=—x+4—n

xf

整理得f+(〃-4)x+3=0,

-4『-4xlx3=0,

解得n=4+2A/3或〃=4-2c，

，直线"的解析式为片f-2石或y=-x+26;

(3)解：存在，

过点A作/轴于点”，

17

•.•点A的坐标为（1,3）,

.•.M（LO）,

：直线AB的表达式是y=-x+4.

令y=0,则0=-x+4,

解得x=4,

:.D（4,0）,

AM=DM=3,

是等腰直角三角形，

以M为圆心，为半径作。与夕轴交于点P,连接〃尸，

ZAPD=-AAMD=,

2

设尸（0,P）,

：.MP=^+p1=3,

p=±2^/2,

•••点P的坐标为（0,272）或（0,-2收）.

25.如图，抛物线y=g（x+2）（x-a）（其中a>l）与x轴交于4、3两点，交/轴于点C.

18

⑴求/OBC的度数和线段的长(用。表示)：

⑵若点。为AASC的外心，且A/CO与A3CO的周长之比为丽：4,求此抛物线的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线了=g(尤+2)(尤-a)上是否存在一点P,使得/CAP=/ZM8?若存在，求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)解：在y=g(x+2)(x-a)中，当y=0,即:(x+2)(x-a)=0,解得了=-2或x=。，

B(Q,0),^4(-2,0),

A,B—a-(-2)=〃+2

在y=；(x+2)(x—〃)中，当x=0时，得至1」>=一。,

C(0,-q),

OB=OC=a,

・.・Z5OC=90°,

/.NOBC=45°.

(2)解：由(1)知NO5C=45。，

•・•点。是445。的外心，

/.ZADC=2ZOBC=90°,DA=DC,

ZADC=NBOC=90°,—=—,

CDCO

:.ADACS^OBC,

'："CD与ABCO的周长之比为跳：4,

ACVio

/.--------,

BC4

----<=-----------,

y]2a4

19

解得。=4或。=一4(舍去)，

，抛物线的解析式为y=g(x+2)(x-4)=$2_x-4.

(3)解：如图3-1,作点C关于直线x=l的对称点。，连接8C',过点C'作CHLx轴于”,

由(2)得C(0,-4),3(4,0),抛物线对称轴为直线x=

LX

2

AC（2,-4）,且点C'在抛物线上,

：.OC=HC'=4,OH=2,

：.OA=BH=2,

又,?NAOC=ZBHC=90°,

AAOC^/\BHC（SAS）,

ZCAB=ZC'BA,

ADAC=NOBC=45°,

ZDAB=ZCBC,

二点C'就是所求的点尸，

，尸（2,-4）.

如图3-2所示，作点尸关于直线3C的对称点E,贝U/£3C=/P3C=ND4B,作直线4E交抛物线于P,

图3-2

20

由对称性质可知，NBCE=NBCP,CE=CP,

•：C(O,-4),尸(2,-4),

CP_Ly轴，即NOCP=90。，CE=CP=2,

'：NOCB=ZOBC=45°,

ZBCP=45°,

:.ZPCE=2ZPCB=90°,

.,.点E在y轴上，

：.OE=OC-CE=2,

.-.£,(0,-2),

•.•5(4,0),£(0,-2),

/.直线BE的解析式为＞=gx-2,

1c

y=-x-2x=-\

\2,解得x=4

联立…或'5，

12A

y=—x-x-4

■2

综上所述，满足条件的点P的坐标为(2,-4)或12,

26.某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运

用由“特殊到一般”的思想进行了探究:

K问题背景X如图1,正方形48co中，点£为边上一点，连接DE,过点、E作EFLDE交BC边于点F,

将AADE沿直线折叠后，点A落在点/处，当NBEF=25。,则/尸EH=°.

K特例探究》如图2,连接。F，当点H恰好落在。尸上时，求证：AE=2A'F.

K深入探究》如图3,若把正方形4BCD改成矩形45CD,且加48,其他条件不变，他们发现ZE与4尸

之间也存在着一定的数量关系，请直接写出4E与N'尸之间的数量关系式.

K拓展探究X如图4,若把正方形/BCD改成菱形48cD,且-8=60。，ZDEF=120°,其他条件不变，当

/£=26时，请直接写出4厂的长.

21

图3

【解析】K问题背景力解：/BEF=25。，

ZAED=65°,

・•・将V4。石沿直线。£折叠后，点A落在点H处,

:"AED=NA'ED=6S,

ZFEAf=25°,

故答案为：25；

K特例探究X证明：・•・将V/QE沿直线OE折叠后，当点H恰好落在。尸上时,

AE=A'E,=ZDAfE=90°,ZAED=NDEA',

:.NB=/EA'F=9(T,

ZAED+ZBEF=90°=/DEA'+/FEA',

ZBEF=/FEA,

又♦;EF=EF,

：.^BEF^^A'EF(AAS),

BE=AE=AE,AF=BF,

/.AE=-AD,

2

ZAED+ZBEF=90°=ZAED+Z.ADE,

ZBEF=ZADE,

AEBF1

/.tan/ADE=tanZBEF===一,

ADBE2

/.BE=2BF,

AE=2ArF；

k深入探究》解：,•,将V4DE沿直线。£折叠后，当点H恰好落在