2023-2024学年九年级上学期期中复习原卷版（苏科版）期中复习10：圆中最值问题

圆中最值问题专题复习十

【考纲解析】

圆中最值问题属于九年级考试以及中考常考题型，一般属于中等题或压轴题，所以对于学生来说，不

但要熟练掌握圆的基本知识，还有对圆的综合问题要非常熟练，包括翻折问题、隐圆问题、动点问题都要

非常熟练，因此学生要多结合线段最值、面积最值、函数最值等相结合思考问题，把最值问题转化成基本

的几何或者函数问题，这样就容易理解和计算了

【考点一：线段最值问题】

1.（2022秋•江苏连云港•九年级校考阶段练习）如图，矩形4BCD中，AB=2,4。=3,点E、F分别4。、

DC边上的点，且EF=2,点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则P2+PG的最小值为（）

A.6B.4C.5D.9

2.（2023秋・江苏宿迁•九年级校联考阶段练习）如图，OM的半径为4,圆心”的坐标为（6,8）,点尸是OM

上的任意一点，PA1PB,且24、PB与久轴分别交于4、B两点，若点4、点B关于原点。对称，则4B的最大

值为（)

A.13B.14C.12D.28

3.（2023春•江苏•八年级专题练习）正方形4BCD的边长为4,点E在边BC上运动，连接4E,过点B作BF1AE,

F为垂足，以BF为边作正方形BFGH,当点E与点B重合时，点尸、G、”与点B重合，贝⑺”长的最大值是（）

A.8B.4V5C.2V5+2D.2遥+4

4.（2022秋•江苏无锡・九年级校考阶段练习）如图，在RtAABC中，^ACB=90°,CA=4,CB=6,点。是

AC边上的动点，连接B。，过点C作CE1BD于点E,则AE的最小值为（）

5.（2023秋•江苏扬州•九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E,尸分别是边力。，CD

上的动点，且=连接BE,AF,线段BE和2F相交于点G,连接CG,取CG的中点反，连接则

线段DH的最小值为

6.（2022秋・江苏连云港•九年级统考期中）如图，正方形ABCZ）中，AB=4,E是BC的中点.以点C为圆

心，CE长为半径画圆，点尸是OC上一动点，点F是边4。上一动点，连接力P,若点0是4P的中点，连接BF,

7.（2023秋・江苏•九年级专题练习）如图，四边形48CD为正方形，尸是以边4。为直径的O。上一动点，连

接BP,以BP为边作等边三角形BPQ,连接OQ,若2B=2,则线段OQ的最大值为.

8.（2023春•江苏•八年级专题练习）如图，边长为5的正方形4BCD中，点E、G分别在射线4B,BC上，F

在边4。上，ED与FG交于点M,AF=1,FG=DE.BG>AF,贝的最小值为

BG

9.（2023春•江苏泰州•九年级统考期中）如图，在矩形力BCD中，AB=3,AD=3遍.点E、F分别在2D、BC

上，四边形BEDF为菱形.

⑴利用尺规作图在图1中作出菱形BEDF（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）如图2,动点M从点E出发沿射线ED方向运动，同时，动点N从点F出发沿射线。尸方向运动，且M、N两点

运动速度相同，BM、EN相交于点P.

①求NEPM的度数.

②连接CP,线段CP长度的最小值为_.

10.（2021•江苏淮安•统考一模）如图1,在四边形48CD中，如果对角线AC和8。相交并且相等，那么我们

把这样的四边形称为等角线四边形.

⑴①在"平行四边形、矩形、菱形"中，一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若M、N、P、Q分别是等角线四边形4BCD四边43、8。、0、。4的中点，当对角线北、8。还要满足时,

四边形MNPQ是正方形.

⑵如图2,已知△ABC中，AABC=90°,AB=4,BC=3,。为平面内一点.

①若四边形4BCD是等角线四边形，且4D=BD,求四边形ABC。的面积；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，则四边形ABED的面积的

最大值为.

【考点二：与函数相关最值问题】

1.（2022秋・江苏徐州•九年级校考阶段练习）如图，已知直线y=?%-6与x轴、y轴分别交于48两点，P是

以C（0,1）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接P4PB.则APAB面积的最大值是（）

A.21B.33C.TD.42

2.（2023秋・江苏•九年级专题练习）如图，点A,2的坐标分别为A（3,0）、B（0,3）,点C为坐标平面

内的一点，且8C=2,点M为线段AC的中点，连接。加，则的最大值为（

C.V2+jD.3V2+2

3.（2022秋•江苏淮安•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（4,0）,点B的坐

标为（0,3）,的半径为2,点。为04上一动点，。为BC的中点，连接。D,则。。的最大值为.

4.(2020秋•江苏淮安•九年级校考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4),以点A为圆心

2为半径作0A.点。为0A上的任一点，点8和点C均在x轴上，且满足OB=OC,0BZ)C=90°,则线段3C

的最小值为.

5.(2022-江苏苏州•九年级阶段练习)如图，点A,8的坐标分别为4(6,0),B(0,6),C为坐标平面内一

点，BC=2V2,M为线段4C的中点，连接。M,当。M取最大值时，点M的坐标为.

6.(2023秋•江苏•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知点4(0,1)、8(0,1+t)、C(0,l-t)(t>0),

点P在以点D(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足NBPC=90。，贝亚的最小值为，1的最大值

为.

7.（2023秋•江苏•九年级校考周测）如图，在平面直角坐标系中，5（0,8）,4（6,0）,。4的半径为4,P为

上任意一点，C是BP的中点，则。C的最大值是.

8.（2022秋•江苏无锡・九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（一百，0）点B在y轴的

正半轴上，且4480=30。，以点B为圆心，1为半径画OB,与y轴交于点C（点C在点B的下方），点Q是4B的

中点，点P是08上的一个动点，从点C开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为f秒.

（1）如图1,连接OQ,当。QIIBP时，求f的值；

⑵如图2,点尸在运动过程中，连接2P,以4P为边在左侧作等边△APD,

①当t=12秒时，求点。的坐标；

②连接DQ，当DQ最大时，求此时t的值和这个最大值.

9.（2023秋•江苏淮安,九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-刀与双曲线y=5交于4B

两点，尸是以点C（2,2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接4P,。为4P的中点.若线段OQ长度的最大

值为2,则左的值为

1.（2023春•江苏南京・九年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，在正方形4BCD中，AB=4,以边

CD为直径作半圆。，E是半圆。上的动点，EF1ZM于点F,EP14B于点P,设EF=x,EP=y,则+产

的最小值是（）

4-2V3C.2V5-1D.2V5-2

2.（2022秋・江苏南京•九年级统考期中）如图，正方形4BCD边长为4,动点£、产分别从。、A两点同时出

发，以相同的速度在边DC、4D上移动,连接4E和BF交于点G,则线段DG的最小值是.

3.（2022秋•江苏盐城•九年级统考阶段练习）如图，四边形4BCD中，AB1BC,AD1DC,AB=AD=3,

乙BAD=120°,AC平分NB4D,边DC、BC上分别有动点E、F,保持DE=CF,BE和DF相交于点P,贝l|CP的

最小值为.

4.（2023秋・江苏泰州•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点。的坐标（12,18）,点尸从点A出

发沿48以2cm/s的速度向点B移动，同时，点。从点C出发沿CO以lcm/s的速度向点。移动.当点尸到

达终点时，点。随之停止，连接PQ,过2作BE1PQ,垂足为E,连接CE,贝UCE的最大值为.

【考点四：翻折中最值问题】

・

1.（2023秋江苏扬州•八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，UCB=90°,SAABC=14,

BC=4,P是4B边上的动点（不与点8重合），将ABCP沿CP所在的直线翻折，得到AMCP,连接B'A,则

BN长度的最小值为

B

B

2.（2023秋•江苏南京•九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为2,点G是边CD的中点，点E是边4D上

一动点，连接BE,将AABE沿BE翻折得到AFBE,连接GF,当GF最小时，GF的长是.

3.（2022秋・江苏盐城・九年级校考阶段练习）如图，在正方形A8CD中，AB=12,E是CD上一点，且DE=3,

F是4。上一动点，连接EF,若将ADEF沿EF翻折后，点。落在点。'处，则D'到点B的最短距离为

4.（2022秋・江苏盐城•九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1,尸是。。外的一点，直线尸。分别交。。于

点A,B.

图3

图4图5

⑴探究证明：如图2,在。。上任取一点C(不与点A,8重合)，连接PC,求证：AP<PC-,

(2)直接应用：如图3,在RtMBC中，乙4cB=90。，AC=BC=3,以BC为直径的半圆。交4B于。，P是弧CD上

的一个动点，贝IMP的最小值是

⑶构造运用：如图4,在边长为2的菱形4BCD中，乙4=60。，M是4D的中点，N是4B边上一动点，将

沿MN所在的直线翻折得到AAMN,连接4B,贝UA8长度的最小值为一.

⑷综合应用：如图5,平面直角坐标系中，分别以点4(-2,3),点B(4,5),分别以1,2为半径作。2、QB,

M,N分别是04OB上的动点，直接写出PM+PN的最小值为

圆中最值问题专题复习十

【考纲解析】

圆中最值问题属于九年级考试以及中考常考题型，一般属于中等题或压轴题，所以对于学生来说，不

但要熟练掌握圆的基本知识，还有对圆的综合问题要非常熟练，包括翻折问题、隐圆问题、动点问题都要

非常熟练，因此学生要多结合线段最值、面积最值、函数最值等相结合思考问题，把最值问题转化成基本

的几何或者函数问题，这样就容易理解和计算了

【考点一：线段最值问题】

1.（2022秋•江苏连云港•九年级校考阶段练习）如图，矩形4BCD中，AB=2,4。=3,点E、F分别4。、

DC边上的点，且EF=2,点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则P2+PG的最小值为（

【答案】B

【分析】由EF=2,点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1,所以G是以D为圆心，

以1为半径的圆弧上的点，作4关于BC的对称点4,连接4D,交BC于P,交以。为圆心，以1为半径的圆于G,

此时P4+PG的值最小，最小值为AG的长；根据勾股定理求得4D=5,即可求得4G=A'D-DG=5-1=

4,从而得出PA+PG的最小值；

【详情解析】解：•：EF=2,点G为EF的中点,

DG-1,

G是以。为圆心，以1为半径的圆弧上的点，

作2关于的对称点4,连接AD,交BC于P,交以。为圆心，以1为半径的圆于G,此时P4+PG的值最小,

AB=2,AD-3,

AA'=4,

A'D=V32+42=5,

A'G=A'D-DG=5-1=4；

P4+PG的最小值为4；

故选B.

【提优突破】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理的应用，圆的基本性质，直角三角

形斜边上的中线的性质，判断出G点的位置是解题的关键.

2.（2023秋・江苏宿迁•九年级校联考阶段练习）如图，OM的半径为4,圆心M的坐标为（6,8）,点P是OM

上的任意一点，PA1PB,且24、PB与支轴分别交于4B两点，若点4、点B关于原点。对称，则AB的最大

值为（）

A.13B.14C.12D.28

【答案】D

【分析】由RtAAPB中AB=20P知要使AB取得最大值，贝UPO需取得最大值，连接OM,并延长交OM于点P,

当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得.

【详情解析】解：连接P0,

0PA1PB,

EINAPB=90°,

回点A、点B关于原点0对称，

0AO=B0,

0AB=2P0,

若要使AB取得最大值，贝UPO需取得最大值，

连接0M,并延长交OM于点P,当点P位于P'位置时，0P'取得最大值,

过点M作MQ1x轴于点Q,

则0Q=6、MQ=8,

0OM=10,

又EIMP'=r=4,

OOP'=MO+MP'=10+4=14,

BAB=20P'=2X14=28；

故选：D.

【提优突破】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半得出AB取得最小值时点P的位置.

3.（2023春・江苏•八年级专题练习）正方形ABC。的边长为4,点E在边8c上运动，连接2E,过点B作BF1AE,

F为垂足，以BF为边作正方形BFGH,当点E与点B重合时，点尸、G、”与点B重合，贝⑺”长的最大值是（）

A.8B.4V5C.2V5+2D.2时+4

【答案】C

【分析】取AB的中点M,连接MF,取BC的中点N,连接NH,得出MF=2,证明AMBF三ANBH,得出NH=

MF=2,则点H在以点N为圆心，2为半径的ON上，则当D,N,H时，DH最大,，勾股定理即可求解.

【详情解析】取AB的中点M,连接MF,取BC的中点N,连接NH,ND,

团正方形ABCD,正方形BFGH,BF1AE

1

MF=BM=BN=-AB=2

2

EINABC=NFBH=90°,

0ZABC-ZFBC=ZFBH-zFBC,

即NABF=ZCBH,

0AMBFSANBH（SAS）,

EINH=MF=2,

团点H在以点N为圆心，2为半径的ON上，

当D,N,H时，DH最大，

0DC=4,CN=2

0DN=迎2+42=2低

EIDH的最大值为DN+NH=2V5+2.

故选C.

【提优突破】本题考查了点到圆上一点的最值问题，勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，

全等三角形的性质与判定，求得H的轨迹是解题的关键.

4.（2022秋•江苏无锡•九年级校考阶段练习）如图，在RtAABC中，AACB=90°,CA=4,CB=6,点。是

AC边上的动点，连接8D,过点C作CEL8。于点E,贝ME的最小值为（）

【答案】A

【分析】取BC中点F,连接AE、EF.易得点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上

时，AE最短.据此计算即可.

【详情解析】解：如图，取BC中点F,连接AE、EF.

•••CE1BD,ZBEC=90°,

.••点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短.

•••CA=4,CB=6,

BF=iBC=3,

2

AF=V42+32=5,

•••AE=AF-BF=5-3=2,

即AE的最小值为2.

故选：A.

【提优突破】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点

到点到这点的线段长是解题的关键.

5.（2023秋・江苏扬州•九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的正方形48CD中，点E,尸分别是边4D,CD

上的动点，月.4E=DF,连接BE,AF,线段BE和4F相交于点G,连接CG,取CG的中点H,连接则

线段DH的最小值为.

【答案】四|二

【分析】如图：以AD所在的直线为对称轴，作正方形ABCD的对称正方形ANMD,可得DH=|GM,证明△

ABE=△DAF可得NAGB=90°,即点G在以AB为直径的圆上，从而可得GM最短时，点G在OM上，利用勾

股定理求得OM,继而求出GM和DH即可.

【详情解析】解：如图：以AD所在的直线为对称轴，作正方形ABCD的对称正方形ANMD,

EIMD=CD,MN=AD=2,ZN=90°,

0H为GC的中点，

I3HD为AGMC的中位线，

1

SDH=-GM,

2

团当GM最短时，DH最短，

回四边形ABCD是正方形，

团BA=AD,ZBAE=zADF=90°,

[3AE=DF,

[?]△ABE=△DAF,

团NABE=ZDAF,

团乙BAD=ZBAG+ZDAF=90°,

回乙ABE+々BAG=90°,

azAGB=90°,

团点G在以AB为直径的圆上，

团当点G在OM上时，GM最短，

团OM=VON24-MN2=V32+22=V13,

团GM=OM-OG=V13-1,

团DH=%M=运二.

22

故答案为：零二.

【提优突破】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半的性质、三角形的三边关系及圆的性质等知识点，确定出DH最小时点H的位置是解题关键.

6.（2022秋•江苏连云港•九年级统考期中）如图，正方形ABC。中，AB=4,E是BC的中点.以点C为圆

心，CE长为半径画圆，点尸是。C上一动点，点尸是边4。上一动点，连接4P,若点。是力P的中点，连接BF,

FQ,则8F+FQ的最小值为

【答案】2V10-1

【分析】取点B关于直线AD的对称点M,连接BD、AC两线交于点0,连接OQ,CP,M0,过。作ON，AB于

点N,则OQ=|CP=jx2=1,所以点Q在以0为圆心，1为半径的O0上运动，求出ON=AN=BN=|AB=

2,则MN=4+2=6,由勾股定理得OM=VMN2+ON2=V62+22=2y/10,由BF+FQ+OQ=MF+FQ+

OQ>OM,所以当M、F、Q、0四点共线时，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=2V1U的值最小，所以

BF+FQ的最小值为BF+FQ=OM-OQ=2V10-1.

【详情解析】解：取点B关于直线AD的对称点M,连接BD、AC两线交于点0,连接OQ,CP,M0,过0作ON1AB

于点N,

••・点Q是AP的中点，

11

・•・0Q=-CP=ix2=l,

y22

・•・点Q在以。为圆心，1为半径的。。上运动，

•・•四边形ABCD是正方形，

•••AC1BD,0A=0B,

ON=AN=BN=工AB=2,

2

•••AM=AB=4,

MN=4+2=6,

•••OM=VMN2+0N2=V62+22=2V10,

•••BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ2OM,

•••当M、F、Q、0四点共线时，BF+FQ+0Q=MF+FQ+0Q=0M=2国的值最小，

•••BF+FQ的最小值为BF+FQ=OM-OQ=2V10-1.

故答案为：2"U-1.

【提优突破】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，

解题的关键是正确确定点Q的运动路径.

7.(2023秋・江苏•九年级专题练习)如图，四边形48CD为正方形，尸是以边4。为直径的O。上一动点，连

接BP,以BP为边作等边三角形BPQ,连接。Q,若4B=2,则线段0Q的最大值为.

【答案】V5+1/1+V5

【分析】连接OB、0P,将0B绕点B逆时针旋转60。得到。B,连接O'Q,通过证明△OBP三△O'BQ(SAS),得

出OP=O，Q=L从而得出点Q在以点0,为圆心，0，Q为半径的圆上运动；则当点。，O',P三点在同一直

线上时,0Q取最大值,易证△0B0,为等边三角形，求出00,=0B=匾,即可求出0Q=00'+0JQ=V5+1.

【详情解析】解：连接OB、0P,将0B绕点B逆时针旋转60。得到OB,连接O'Q,

EIOB绕点B逆时针旋转60。得到(TB,

EIOB=O'B,N0B0'=60°,

fflABPQ为等边三角形，

0PB=QB,ZPBQ=60°,

0ZOBO,-NPBO'=zPBQ-NPBO',即NOBP=NO'BQ,

在AOBP和AO'BQ中，

-OB=O'B

zOBP=NO'BQ,

,PB=QB

EIAOBP=△O'BQ(SAS),

0AB=2,四边形ABCD为正方形，

0AD=AB=2,贝i」OA=OP=1,

EIOP=O'Q=1,

回点Q在以点。'为圆心，O'Q为半径的圆上运动；

团当点0,O',P三点在同一直线上时，0Q取最大值，

在RtAOAB中，根据勾股定理可得：OB=VOA?+AB?=5

0OB=O'B,NOBO'=60°,

0A0B0,为等边三角形，

000,=OB=V5,

0OQ=007+0AQ=V5+1,

故答案为：V5+1.

【提优突破】本题主要考查看瓜豆模型一一圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟

练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质.

8.（2023春•江苏•八年级专题练习）如图，边长为5的正方形4BCD中，点E、G分别在射线力B,BC上，F

在边力D上，ED与FG交于点M,AF=1,FG=DE,BG>AF,贝!JMC的最小值为

【答案】V29-2/-2+V29

【分析】本题关键搞清M的运动轨迹，由DE=FG,BG>AF,可知NFMD=90°,所以M至IjFD的中点H的

距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得MC的范围，从而确定它的最小值.

【详情解析】解：取FD的中点H,作FKLBC于点K,

0DE=FG,AD=FK,ZA=Z.FKG=90°,

0AAEDSAKFG(HL),

EINADE=ZKFG,

XEZFGK=ZDFM,ZKFG+zFGK=90°,

0ZDFM+ZADE=90°,

0ZFMD=90°,

回MH,FD=2,

所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，

0MC>CH-MH

当M落在CH上时，取到等号

即MC达到最小，最小值为CH-M'H=回一2.

故答案为团V29-2

【提优突破】本题考查正方形的基本性质，和全等三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点M的运

动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断MC何时取到最值.

9.（2023春江苏泰州•九年级统考期中）如图，在矩形力BCD中，AB=3,AD=3遍.点E、F分别在力£»、BC

上，四边形BEDF为菱形.

AD

BC

⑴利用尺规作图在图1中作出菱形BEDF（不写作法，保留作图痕迹）.

⑵如图2,动点M从点E出发沿射线ED方向运动，同时，动点N从点F出发沿射线DF方向运动，且M、N两点

运动速度相同，BM、EN相交于点尸.

①求NEPM的度数.

②连接CP,线段CP长度的最小值为_.

【答案】⑴作图见解析；

(2)①NEPM的度数为60。②闻-2

【分析】(])根据菱形对角线互相平分且垂直，作BD的垂直平分线，与AD,BC的交点即为E、F.

(2)①解：如图2,连接EF,由tan/ADB=第=/，可知NADB=30°,证明△BEF为等边三角形，证明

△BEM三&EFN(SAS),则NEBM=zFEN,zEPM=zEBM+zBEP=zFEN+zBEP=zBEF,进而可得NEPM

的度数；②由①知NEPM=60。，贝此BPE=120°,则BE=患;=2W，可知点P的轨迹是过点B、E且圆

周角NBPE=120。的圆，如图3,作BE的垂直平分线，交AB于0,交BE于H,交BD于G,连接BG,EG,OE,

证明△BOG是等边三角形，进而可知。是点P的轨迹的圆心，如图3,以0B长为半径作圆，连接CO,交O0于

P,则可知CP最小值为0C-0P,设OB=r,贝！|0E=r,OA=3-r=OE-sin30°=j,解得r=2,在RtAOBC

中，由勾股定理得，OC=，OB2+BC2,求0C的长，进而可得CP.

【详情解析】⑴解：如图1,作BD的垂直平分线，与AD,BC的交点即为E、F,连接BE,DF即可.

图2

团在矩形ABCD中，AB=3,AD=3V3,

HtanzADB=—=—,即NADB=30°,

AD3

•・•四边形BEDF为菱形，

0ZEBF=ZEDN=2ZADB=60°,BF=BE,zBFD=zBEM=120°,

0ABEF为等边三角形，

团BE=EF,

团NEFD=60°

0ZEFN=120°,

由题意知，EM=FN

在^BEM^DAEFN中,

(BE=EF

团/BEM=4EFN,

(EM=FN

0ABEM会△EFN(SAS),

团4EBM=4FEN,

团匕EPM=zEBM+zBEP=zFEN+Z.BEP=zBEF=60°,

团4EPM的度数为60。；

②解：由①知4EPM=60。，贝此BPE=120。，

国BE=£^=2夙

回点P的轨迹是过点B、E且圆周角NBPE=120。的圆，

如图3,作BE的垂直平分线，交AB于0,交BE于H,交BD于G,连接

EG,OE,

图3

EIZEBG=30°,ZGHB=90°,

0ZBGH=60°,

0ZBGE=120°=ZBPE,

0ZBOG=60°,

0ABOG是等边三角形，

0OB=OG,

回。是点P的轨迹的圆心，

如图3,以OB长为半径作圆，连接CO,交O0于P,

MP最小值为OC—OP,

设OB=r,贝!|OE=r,OA=3-r=OE-sin300=

解得r=2,

在RtAOBC中，由勾股定理得，OC=，OB2+BC2=闻,

EICP最小值为/打-2.

【提优突破】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质，特殊角的三角形函数值，等边三角形的判定与性质，

全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，圆，勾股定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握

与灵活运用.

10.（2021•江苏淮安・统考一模）如图1,在四边形48CD中，如果对角线AC和8。相交并且相等，那么我们

把这样的四边形称为等角线四边形.

⑴①在"平行四边形、矩形、菱形"中，一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若M、N、P、Q分别是等角线四边形4BCD四边AB、BC、CD、D4的中点，当对角线4C、BD还要满足时，

四边形MNPQ是正方形.

（2）如图2,已知△ABC中，^ABC=90°,4B=4,BC=3,。为平面内一点.

①若四边形ABCD是等角线四边形，且4D=BD,求四边形48CD的面积；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形4BED是等角线四边形，则四边形4BED的面积的

最大值为.

【答案】⑴①矩形；②AC1BD

⑵①3+2际；018

【分析】（1）①根据等角线四边形的定义进行判断即可；

②当AC1BD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；

（2）①如图2中，作DE1AB于E,利用勾股定理求出相关线段的长，再根据S四边形ABCD=SAADE+S梯形DEBC

计算即可；

②如图3中，设AE与BD相交于点Q,连接CE,只要证明当AE1BD且A、C、E共线时，四边形ABED的面积

最大即可.

【详情解析】（1）解：①在"平行四边形、矩形、菱形"中，

团矩形的对角线相等，

回矩形一定是等角线四边形.

故答案为：矩形.

②当AC_LBD时，四边形MNPQ是正方形.理由如下：

如图1,EIM、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，

1111

团PQ=：AC,MN=；AC,PN=jBD,QM=jBD,PQ||AC,QM||BD,

团AC=BD,

回MN=NP=PQ=QM,

团四边形MNPQ是菱形，

aAC1BD,

0Z1=90°,

团PQIIAC,QM||BD,

团43=z.2,z.2=z.1,

团=90°,

团四边形MNPQ是正方形.

故答案为：AC1BD.

图1

(2)①如图2,作DE_LAB于E,

团在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,

0AC=VAB2+BC2=7乎+32=5,

HAD=BD,DE1AB,

0AE=BE'AB=2,

2

回四边形ABCD是等角线四边形，

HAD=BD=AC=5,

在Rt△BDE中，DE=VBD2-BE2=V52-22=VH,

团S四边形ABCD=SAADE+S梯形DEBC

11

=-AE-DE+-(DE+BC)-BE

1_1_

=-x2xVH+-X(V21+3)x2

=3+2V21.

回四边形ABCD的面积为3+2V21.

E

图2

②如图3中，设AE与BD相交于点Q,连接CE,作DH1AE于H,BG1AE于G,

0DH<DQ,BG<BQ,

回四边形ABED是等角线四边形，

EIAE=BD,

团S四边形ABED=S^ABE+S^ADE

11

=-AE-BG+-AE-DH

1

=-AE-（BG+DH）

<|AE-（BQ+DQ）,

即：S四边形ABED工JE•BD,

团当点G与点H重合时即AE_LBD,等号成立，

团AE=BD,

团S四边形ABED-JE2,

即线段AE最长时，四边形ABED的面积最大，

团AE<AC+CE,

回AE<5+1,

团AE<6,

团AE的最大值为6,

团当A、C、E共线时，四边形ABED的面积的最大值为］X62=18.

故答案为：18.

【提优突破】本题考查四边形综合题，考查了中点四边形，三角形中位线定理，正方形的判定，勾股定理，

等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，三角形三边关系定理，圆等知识.解题的关键是学会添加常用

辅助线，灵活运用所学知识解决问题，会求圆上一点到圆外一定点的距离的最大值或最小值.

【考点二：与函数相关最值问题】

1.（2022秋,江苏徐州•九年级校考阶段练习）如图，已知直线丫="-6与x轴、y轴分别交于4、B两点，P是

4

以C（0,1）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接24、PB.则AP4B面积的最大值是（）

A.21B.33C.—D.42

2

【答案】B

【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB,求出点C至UAB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大

距离，根据面积公式求出即可.

【详情解析】解：回直线y=：x—6与x轴、y轴分别交于A、B两点，

鼬点的坐标为（8,0）,B点的坐标为（0,-6）,

即OA=6,OB=6,由勾股定理得：AB=10,

过C作CM1AB于M，连接AC,

则由三角形面积公式得：jxABxCM=jxOAxBC,

-I-1

即：-xl0xCM=-x7x8,

22

0CM=5.6,

团圆C上点到直线y=|x—6的最大距离是：1+5.6=6.6,

0APAB面积的最大值是］xlOx6.6=33；

故选：B.

【提优突破】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大

距离

2.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，点A,8的坐标分别为A（3,0）、B（0,3）,点C为坐标平面

内的一点，且3C=2,点M为线段AC的中点，连接OM,则的最大值为（）

A.|V2+1B.|V2C.V2+|D.3V2+2

【答案】A

【分析】作点A关于点0的对称点A，根据中位线的性质得到0M=|A'C,求出A'C的最大值即可.

【详情解析】解：如图，作点A关于点。的对称点;V（-3,0）,

则点。是AA'的中点，

又回点M是AC的中点，

00M是OAA'C的中位线，

回OM^A,C,

回当A'C最大时，0M最大，

回点C为坐标平面内的一点，且BC=2,

回点C在以B为圆心，2为半径的配上运动，

13当A，C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C位置.

A'C'=AB+BC'=3V2+2.

00M的最大值券+1.

故选：A.

【提优突破】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定0M为最大值时点C的位

置是解题的关键.

3.（2022秋,江苏淮安•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（4,0）,点B的坐

标为（0，3）,的半径为2,点C为。4上一动点，。为8c的中点，连接。D,贝UOD的最大值为.

y

B

【答案】|

【分析】如图1,作点B关于x轴的对称点B，，连接Bt,根据三角形中位线定理得OD=]B（,当B（最大时,

0D有最大值，确定当夕，C,A共线时，B（有最大值，从而解答即可.

【详情解析】解：回点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,3）,

0OA=4,OB=3,

如图1,作点B关于x轴的对称点B，，连接B（,

图1

0OB=OB'=3,

团D是BC的中点，

ElOD>ABB（的中位线，

EIOD—B'C,

2

团当B（最大时，0D有最大值，

如图2,当BlC,A共线时，B，C有最大值,

由勾股定理得：AB'=V32+42=V5,

EIB'C=B'A+AC=5+2=7,

此时OD有最大值是|B，C=I，

图2

故答案为：

【提优突破】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，圆的基本性质，掌握圆外一点到圆上任意一点

距离的最长线段经过直径是解本题的关键.

4.(2020秋,江苏淮安•九年级校考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4),以点A为圆心

2为半径作0A.点。为0A上的任一点，点8和点C均在x轴上，且满足O8=OC,0BDC=9O°,则线段8c

【答案】6

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BC=2OD,所以当OD最小时，BC最小.当A,D,0

三点共线时，可以确定OD的最小值，从而得解.

【详情解析】解：如图，连接OD、AD、OA,

则AD=2.

「点A的坐标为(3,4),

OA=V32+42=5,

OB=OC,ZBDC=90°,

BC=2OD.

•••当A、D、0三点共线时，0D最小,

.­.0D的最小值为0A-AD=5-2=3,

BC的最小值为2X3=6.

故答案为6.

【提优突破】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半得出BC取最小值时点D的位置.

5.(2022•江苏苏州•九年级阶段练习)如图，点A,B的坐标分别为4(6,0),B(0,6),C为坐标平面内一

点，BC=2V2,M为线段4C的中点，连接。M,当。M取最大值时，点M的坐标为.

【答案】(4,4)

【分析】根据题意可知：点C在半径为2迎的EIB上.在x轴上取OD=OA=6,连接CD,易证明0M是团ACD

的中位线，即得出OM=#D,即当OM最大时，CD最大，由D,B,C三点共线时，即当C在DB的延长线

上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值.

【详情解析】解：如图，回点C为坐标平面内一点，BC=2V2,

EIC在配上，且半径为2VL

在x轴上取OD=OA=6,连接CD,

0AM=CM,OD=OA,

00M是EIACD的中位线，

0OM=-CD,

2

团即当0M最大时，CD最大，而D,B,C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大,

EI0B=0D=6,0BOD=9O",

0BD=6V2,

0CD=6V2+2V2=8V2,且C(2,8),

0OM=|CD=4vL即OM的最大值为4鱼，

EIM是AC的中点，则M(4,4),

故答案为：(4,4).

【提优突破】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识.确定OM为最大值时点C的

位置是解题关键，也是难点.

6.(2023秋・江苏•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知点4(0,1)、8(0,1+t)、C(O,l-t)(t>0),

点P在以点D(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足NBPC=90。，贝股的最小值为，1的最大值

【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP

的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范

围.

【详情解析】解：连接AP,

由题意，得：AB=(1+t)—1=t,AC=1—(1—t)=t,

AB=AC,

vZBPC=90°,

AP=-BC=AB=t,

2

t要最大，就是点A到OO上的一点的距离最大，

P在AD的延长线上，

•••A(0,l),D(4,4),

•••AD=J16+(4-1)2=5,

.­.t的最小值是AP=AD-PD=5-1=4,

•••t的最大值是AP=AD+PD=5+1=6,

故答案为：4；6.

【提优突破】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性

质等知识，是重要考点，难度较易，将问题转化为求AP的最大值是解题关键.

7.(2023秋・江苏•九年级校考周测)如图，在平面直角坐标系中，B(0,8),4(6,0),的半径为4,P为

上任意一点，C是BP的中点，贝UOC的最大值是

【答案】7

【分析】连接AB,取AB的中点H,连接CH,HO.利用三角形的中位线定理可得CH=2,推出点C的运动轨

迹是以H为圆心半径为2的圆，从而可得答案.

【详情解析】解：如图，连接AB,取AB的中点H,连接CH、HO.

I3BC=CP,BH=AH,OA的半径为4,

EICH=-PA=2,

2

回点C的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，

0B(O,8),A(6,0),

田H(3,4),

0OH=V32+42=5,

I30C的最大值OH+CH=7,

故答案为：7.

【提优突破】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，正确寻找点C的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

8.(2022秋•江苏无锡•九年级统考期中)如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为(一百，0)点B在y轴的

正半轴上，且乙480=30。，以点B为圆心，1为半径画OB,与y轴交于点C(点C在点B的下方)，点Q是4B的

中点，点P是OB上的一个动点，从点C开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为f秒.

⑴如图L连接。Q,当。QIIBP时，求r的值；

(2)如图2,点尸在运动过程中，连接AP,以4P为边在左侧作等边AaPD,

①当t=12秒时，求点。的坐标；

②连接DQ，当。Q最大时，求此时f的值和这个最大值.

【答案】⑴6秒或42秒

(2)①0;②t的值为36秒,最大值为4

【分析】(1)根据直角三角形的斜边中线性质和等腰三角形的性质得到NQOB=/ABO=30。，再根据平行

线的性质得到NCBPi=30。即可求解；

(2)①根据题意，可求得NCBP=60。，贝吐ABP=90。，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可

求得AB、OB、AP,过P作PIffly轴于H,易求出点P坐标，D(x,y),根据等边三角形的性质和两点距离坐标公

式列方程求解x、y即可；

②以AB为边在左侧作等边△ABE,证明△EADBAP(SAS)得到ED=BP=1,则D的运动轨迹是以点E为

圆心，1为半径的圆，连接QE并延长交圆E于D，，当D与D，重合时，DQ最大，利用等边三角形的性质和勾股

定理求出EQ即可得到最大值，再设圆B与y轴交点为X,易求得AD，=AP\故当DQ最大时，点P从点C运

动到点P',求出此时的t值即可