山东省青岛2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷含解析

2023-2024学年山东省青岛三十九中九年级（下）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

人1.如图是三一个零件的示意图，它的俯视图是（）力/~71

------------正面

II

II

B.।।

C.

D.

2.若关于久的一元二次方程（k一2）/+%+k2-4=。有一个根是0,贝果的值是（）

A.-2B.2C.0D.-2或2

3.下列命题是假命题的为（）

A.对角线相等的菱形是正方形

B.对角线互相垂直的矩形是正方形

C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

4.对于反比例函数y=%下列说法中错误的是（）

A.图象分布在一、三象限

B.y随工的增大而减小

C.图象与坐标轴无交点

D.若点「（犯用在它的图象上，则点QO，zn）也在它的图象上

5.如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条

的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为

xcm,根据题意可列方程（）

1

A.(20-2x)(30-2%)=20x30Xg

1

B.(20-2久)(30-2%)=20x30x(1-^)

1

C.(20-久)(30-x)=20x30x

1

D.(20一x)(30-%)=20x30x(1-g)

6.如图，已知4c是。。的直径，△48。内接于。。，AB=BC,

乙BCD=()

A.113°

B.103°

C.45°

D.58°

7.如图，点4（0,3）、8（1,0）,将线段48平移得到线段DC,若N2BC=90。，BC=2AB,则点。的坐标是

()

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

8.一次函数y=acx+匕与二次函数y=ax2+b%+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分,

9.计算：（―：。力2）3+（o.5a2h）=

4

10.如图，正方形ZBCD中，对角线4c和BD相交于点。，点E在线段BC上，OF1OE交CD于点F,小明向正

方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是.

11.若关于久的一元二次方程/-6x+m=0有实数根，则m的最大值为

12.如图，4B是。。的切线，B为切点，AC经过点0,与。。分别相交于点D,

C,若Z4CB=3O。，AB=6则阴影部分的面积是.

13.如图，以边长为20cM的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cM长的六条线段，过截得

的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成

一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为cm3.

14.如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成了一个边长为

9的大正方形ABCD,连接2F并延长交CD于点M,交DH于点K,作，

FC于点N.若4"=GH,则CM的长为.

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题4分）

已知：线段a,直线I及外一点4

求作：菱形ABCD,使顶点/、C在直线/两侧，对角线8。在直线/上，且=

A

■

a

।।

--------------------I

16.(本小题12分)

计算：解不等式或不等式组：

⑴计算：虫!箸—2s讥60。；

(2)化简：2a4§+(1---；

'J由一4a+4、a—2y

(3)解一元二次方程4%(%-2)=%-2；

x—3(X—2)<4

1+2£、,一，并写出它的最大整数解.

{—>X-1

17.(本小题6分)

眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿

势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点a为眼睛的位置，a到书籍EC的距离2D为40cm,

4。与水平方向夹角NR4D为18。，小林在书桌上方的身长4B为52cm,且4B垂直于水平方向，请你求出小

林与书籍底端的水平距离BC.

(参考数据：s讥18。=1cosl8°-tanl80«

1UZU4U

18.(本小题6分)

如图，反比例函数丫=((/£K0,%>0)的图象与直线48交于点。(2,71),轴，与反比例函数的图象交

于点E(4,1).

(1)求反比例函数的解析式和门的值；

(2)当黑=：时，求点4的坐标.

19.(本小题6分)

A,B两地相距19.2/OTI,甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变.甲从4地向B地出发，当甲运动

一段距离后，乙从B地开始向4地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离y(加n)与乙运动时间t(h)满

足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)根据图象求y与t的函数关系式，并求出两人的速度和；

(2)已知甲由力地运动到8地所用时间是乙由B地运动到4地所用时间的(倍.求甲由4地运动到B地所用时间

是多少小时？

20.(本小题8分)

如图，△力BC中，AB=AC,4D是△ABC的角平分线，点尸为AC的中点，连接FD并延长至点E,使尸D=

DE,连接BF,CE和BE.

⑴判断并证明四边形BEM的形状；

(2)为4A8C添加一个条件，使四边形BECF是矩形.请证明你的结论.

E

21.(本小题8分)

某商场销售一种小商品，进货价为8元/件.当售价为10元/件时，每天的销售量为100件.在销售过程中发

现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件.

设销售单价为双元/件)0>10),每天销售利润为y(元).

(1)直接写出y与x的函数关系式为：；

(2)若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价；

(3)若每件该小商品的利润率不超过100%,且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y

的取值范围.

22.(本小题6分)

问题1：如图①，在A/IBC中，AB=4,。是4B上一点(不与4,B重合)，DE//BC,交2C于点E,连接CD.

设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S'.

(1)当4。=3时，，=；

(2)设4D=m,请你用含字母机的代数式表示］

问题2：如图②，在四边形4BCD中，AB=4,AD//BC,AD=^BC,E是4B上一点(不与A,B重合)，

EF//BC,交CD于点F,连接CE.设4E=n,四边形ABCD的面积为S,△EFC的面积为S'.请你利用问题1的

23.(本小题10分)

发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达

到最大高度10米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部。处，山坡上有一点4距离。的水平距离为30

米，垂直高度3米，AB是高度为3米的防御墙.

(1)求石块运行的函数关系式；

(2)计算说明石块能否飞越防御墙力B；

(3)石块飞行时与坡面。4之间的最大距离是多少？

(4)如果发石车想恰好击中点B,那么发石车应向后平移多远?

24.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：丫=一号久+/?经过点4(0,4),与无轴交于点B,直线CD从与力B重合

的位置开始，以5cm/s的速度沿％轴正方向平移，且平移过程中四边形4BCD始终为平行四边形；同时，点

P从点4出发，以2cm/s的速度向点。运动，连接PB,过点B作BE1CD于E,设运动时间为t(s)(O<tW2),

回答下列问题：

(1)求直线48的函数关系式和点8的坐标.

(2)设五边形4P8E。的面积为S,写出S与t的函数关系式.

(3)若点E关于x轴的对称点为F,当t为何值时，F,B,尸三点共线，并求出点E坐标.

(4)连接PE,交AB于点G,当1=时，点G是AB的中点.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，47

故选：c.匕一1

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.二

正回

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

2.【答案】A

【解析】解：把久=。代入(k-2)/+x+必一4=0得：

k2-4=0,

解得七=2,k2=-2,

而k—2力0,

所以k=—2.

故选：A.

先把X=0代入(k—2)/+x+必—4=。得/-4=0,解关于k的方程得自=2,k2=-2,然后根据一

元二次方程的定义可确定/C的值.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

3.【答案】D

【解析】解：对角线相等的菱形是正方形，故A是真命题，不符合题意；

对角线互相垂直的矩形是正方形，故B是真命题，不符合题意；

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故C是真命题，不符合题意；

对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故。是假命题，符合题意；

故选：D.

根据正方形的判定方法逐项判断即可.

本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形的判定.

4.【答案】B

【解析】解：•••反比例函数y=:

该函数图象在第一、三象限，故选项A正确，不符合题意；

在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误，符合题意；

反比例函数图象坐标轴无交点，故选项C正确，不符合题意；

点P(m,n)在它的图象上，

・•・mn=4.

4

•••m=-,

n

.•.点QO，m)也在它的图象上，故选项D正确，不符合题意.

故选:B.

依据题意，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法即可判断.

本题主要考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

5.【答案】B

【解析】解：设彩条的宽度是尤cm,则

1

(20-2x)(30-2x)=20x30x(1-

故选：B.

设彩条的宽为xcm,根据要设计一幅宽20czn、长30cm的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分

之一，可列方程.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构

建方程解决问题.

6.【答案】B

【解析】解：•.•江是O。的直径，

•­,乙ABC=90°,

•••AB=BC,

：.^ACB=^BAC=45°,

.­.乙BDC=45°,

•••Z.DBC=32°,

/.BCD=180°-/.BDC-/.DBC=180°-45°-32°=103°.

故选：B.

得出N4CB=NB4C=45。，贝亚BDC=45。，由三角形内角和可求出答案.

本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关

键.

7.【答案】D

【解析】解：过点。作DEly轴于点E,如图,

•・•点4(0,3)、B(1,O),

0A=3,OB—1.

•・•线段48平移得到线段DC,

/.AB//CD,AB=CD,

・•・四边形ABC。是平行四边形，

•・•/,ABC=90°,

・•・四边形ZBCD是矩形.

^BAD=90°,BC=AD.

•・•BC=2AB,

AD=2AB.

•••^BAO+^DAE=90°,(BAO+LABO=90°,

••・Z-ABO=Z-EAD.

•・•/LAOB=/L.AED=90°,

ABOs工DAE.

.M_OB__AB__1

''5E~AE~AD~

DE=20A=6,AE=2OB=2,

OE=OA+AE=5,

・•.0(6,5).

故选：D.

过点。作DEIy轴于点E,利用点4B的坐标表示出线段OA,。8的长，利用平移的性质和矩形的判定定

理得到四边形力BCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段OE,AE的长，进而得到。E的长，则

结论可得.

本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，

利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质.

先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=acx+6的图象相比较看是

否一致.

【解答】

解：&、由抛物线可知，a>0,b<0,c>0,则ac>0,由直线可知，ac〉0,b>0,故本选项错误；

B、由抛物线可知，a>0,b>0,c>0,则ac>0,由直线可知，ac>0,b>0,故本选项正确；

C、由抛物线可知，a<0,b>0,c>0,贝!Jac<0，由直线可知，ac<0,b<0,故本选项错误；

D、由抛物线可知，a<0,b<0,c>0,则ac<0,由直线可知，ac>0,b>0,故本选项错误.

故选：B.

9.【答案】一击ab，

【解析】解：原式=3b6+0.5a26

=一专版

故答案为：-*a环.

直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案.

此题主要考查了积的乘方运算、整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键.

10.【答案】|

【解析】解：•••四边形48CD为正方形，

AOC=OD,^COD=90°,^OCE=Z.ODF,

OF1OE,

・•・AEOC+^COF=90°,

•・•乙DOF+Z.COF=90°,

•••Z-EOC=Z-FOD,

OEC=LOFD,

SROEC=S&OFD，

S阴影部分=SAODC=正方形ABCD'

・•.飞镖落在阴影区域的概率J.

故答案为：

的阴影部分正方形

根据正方形的性质易得4OECdOFD,所以SA"。=SA0FD,S=SA0DC=ABCD,然后根

据几何概率的意义求解.

本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比，

体积比等.也考查了正方形的性质.

11.【答案】9

【解析】解：•••关于x的一元二次方程6x+m=0有实数根，

4=(-6)2—4X1-m>0,

解得：m<9,

小的最大值为9.

故答案为：9.

根据方程的系数结合根的判别式420,可得出关于小的一元一次不等式，解之可求出ni的取值范围，即可

得出结论.

本题考查了根的判别式，牢记“当420时，一元二次方程有实数根”是解题的关键.

12.【答案】芋一

L6

【解析】解：连接。乩

•・•/B是。。切线，

••・OB1AB,

•••0C=OB,ZC=30°,

乙C=2OBC=30°,

Z.AOB=Z.C+Z.OBC=60°,

在RtZkAB。中,vZ.ABO=90°,AB=C，/-A=30°,

.・.OB=1,

S阴=SAABO-S扇形OBD=2X1XV3-=--g-

故答案为f

26

首先求出乙40B,OB,然后利用$明=S-BO-S嫁形.Bp计算即可.

本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30。角性质，解题的关键是学会分割法

求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型.

13.【答案】144

【解析】解：如图由题意得：A/IBC为等边三角形，AOPQ为等边三角形，AD=AK=BE=BF=CG=

CH—4cm,

乙4=NB=ZT=60°,AB=BC=AC,乙POQ=60°,

.­./.ADO=/.AKO=90°.

连结力0,作QM1OP于M,

在RtZiAOD中，^OAD=AOAK=30°,

cr>^3/in46

OD=-XO=—cm>

PQ=OP=DE=20—2x4=12(cm),

QMOP-sin60°=12x苧=6<3(cm)，

无盖柱形盒子的容积=|x12x6<3x苧=144(cm3);

故答案为：144.

由题意得出△力BC为等边三角形，z\OPQ为等边三角形，得出N4=NB=NC=60。，AB=BC=

AC.APOQ=60°,连结4。，作QM1OP于M,在RtAAOD中，^OAD=Z.OAK=30°,得出。。的长，求

出。P,无盖柱形盒子的容积=底面积x高，即可得出结果.

本题考查了等边三角形的性质的运用，勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质，求出等

边小OPQ的边长和高是解决问题的关键.

14.【答案】1

【解析】解：•••四边形EFGH是正方形，

HE=HG=GF=EF,AH//GF,

•••AH=GH,

：.AH=HE=GF=EF,

由题意得：Rt△ABE咨Rt△BCF^Rt△ADH%RtACDG,

BE=CF=AH=DG,ABAE=乙DCG,

1

...BE=EF=GF=FC=^AE,

•・,AELBF,

AB=AF=9,

・•.Z.BAE=Z.FAE,

•••Z-DCG=Z.FAE,

•・•AB2=AE2+BE2

AE=CG,

•••AE]ICG,

・•.Z,FAE=乙GFK,

•・•Z.GFK=乙CFM,

・•・乙CFM=乙DCG

・•.MF=MC,

又・・•MN1FC于点N,

・•・Rt△MFN名Rt△MCN,

CN=FN=gcF,

Q

设MF=MC=K,贝!MM=9+K,DM=9-X,由勾股定理得：92+(9-%)2=(9+%)2,解得％=J,

4

Q

贝ICM=3，

故答案为：J.

利用正方形的性质及四个全等的直角三角形得到4E〃CG,进而得到MF=MC；设MF=MC=x,在RtA

4DM中利用勾股定理建立方程求得久的值即可.

本题考查了勾股定理，三角形全等的性质等知识点，解题的关键是假设CM为x,运用勾股定理求出未知数

久的值.

15.【答案】解：如图，菱形力BCD即为所求.

【解析】根据菱形的判断以及题目切作出图形即可.

本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

16.【答案】解：⑴匚背上一2s讥60。

2/3X/2°方

=-2XT

=2/2-<3；

⑵/^7—3^…为1)

_ct—3.ci—3

一(a-2)2•。-2

_a—3a—2

一(a-2)2Q-3

=--1-•

a-r

(3)4x(%—2)=%—2；

整理得：4%2-9%+2=0,

J=81-4x4x2=49>0,

••%i一1x2—2,

(x-3(x-2)44①

(4)]1+2%+，

J

解①得：X>1,

解②得：X<4,

不等式组的解集为14久<4,

・•.不等式的最大整数解是x=3.

【解析】(1)根据实数的运算，先把百1化简成最简二次根式，将特殊角的函数值转化后再运算即可；

(2)将括号内部分通分运算后再与前面项化简约分即可；

(3)根据解一元二次方程的公式法解方程即可；

(4)根据解不等式组的步骤解答并取最大整数解即可.

本题考查了实数的运算、分式的化简、一元二次方程的解、不等式组的解法，熟练掌握相关运算法则和步

骤是解答本题的关键.

17.【答案】解：过点。作DM1BG,垂足为M,延长交ZF的延长线于点

H.

vABlBGfDM1BG,AF//BG,

・•・四边形是矩形.

.・.AB=HM=52cm,AH=BM.

•・•Z.FAD+^HDA=90°,乙HDA+乙MDC=90°,

・•・/,FAD=ZMDC=18°.

在Rt△AH。中，

sinzFi4D="，cos乙FAD="，

ADAD

3

HD—sinZ-FADxAD=sinl8°x40«—x40=12(cm),

19

AH—cos乙FADxAD=cosl8°x40«—x40=38(cm).

・•.MD=MH-DH=52-12=40(cm).

在Rt△DMC^p,

•tanzMDC=需,

13

•••CM—tanzMDCxDM=tan18°x40«—x40=13(cm).

BC=BM-CM=AH-CM=38-13=25(cm).

答：小林与书籍底端的水平距离BC为25cm.

【解析】过点。作DM1BG,垂足为M,延长MD交AF的延长线于点H.先说明“4D与NMDC的关系，再分

别在RMMCD中利用直角三角形的边角间关系求出AH、HD、MC,最后利用线段的和差关系

得结论.

本题主要考查了解直角三角形，掌握矩形的判定和性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

18.【答案】解:(1)•••点E(4,l)是反比例函数图象上的点，

■■■k=4x1=4,

・••反比例函数解析式为y=：,

•・•点C(2,①在反比例函数图象上，

(2)如图，过点C作CF1BD于点F,

・•.CF//%轴，

ABDSACBF,

'''CF~AD~29

・・•点C、E的横坐标分别为2、4,

..."=4_2=2,BF=^CF=1x2=1,

由(1)得点C(2,2),

•・•点E(4,l),

・••点B的坐标为(4,2+1),即点B(4,3),

设直线的解析式为y=ax+b,

把点B(4,3),点C(2,2)代入得:{2=+t

解得：

lfo=l

二直线的解析式为y=+1,

当y=0时，0=2久+1,解得久=-2,

・••点4(-2,0).

【解析】(1)把点E(4,l)代入反比例函数y=g,求出k的值，再把点C(2,n)代入反比例函数解析式求出门的

值；

(2)过点C作CF1于点尸，AABDSACBF,根据相似三角形线段成比例，已知条件求出点4的坐标.

本题是反比例函数与一次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与

性质，解题的关键是做辅助线构造相似三角形，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质.

19.【答案】解：(1)设图象中y与t的关系式为：y=kt+b,将(0,16),(2,0)代入，

・•・{TJfn，解得{凌酒;

12k+b=03=16

图象中y与t的关系式为：y=-8t+16.

两人速度和为：16+2=8(km//i)；

图象中y与t的关系式为：y=-8t+16,两人速度和8km/h；

(2)设甲由4地运动到B地所用时间是明，则乙由B地运动到4地所用时间是11h,

19.2,19.2c

•••——+-c—=8,

t

解得t=5.28.

经检验，t=5.28是原分式方程的解，且符合实际意义.

甲由4地运动到B地所用时间是5.28%.

【解析】(1)设图象中y与t的关系式为：y=kt+b,将(0,16),(2,0)代入解析式即可求解；利用路程除以

时间等于速度可得出两人速度和；

(2)设甲由4地运动到B地所用时间是班，则乙由B地运动到4地所用时间是江八，根据速度和可列出分式方

程，求解即可.

本题主要考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，一次函数的应用等知识，列出对应的方程是解题

关键.

20.【答案】解：(1)四边形BEF力的形状是平行四边形，

理由：•.・力B=4C,4D是AABC的角平分线，

D为BC的中点，

•••点尸为4C的中点，

DF//AB,DF=^1AB,

ED=FD,

AB//EF,AB=EF,

・•・四边形BE凡4是平行四边形；

(2)当A8=8C时，四边形BECF是矩形，

vAB=BC=AC,

11

BD=CD=DF=DE=

・•.BC=EF,

・•・四边形BEC尸是矩形.

【解析】(1)根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

(2)根据等边三角形的性质得到BD=CD=\BC,DF=DE=^AC,于是得到结论.

本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的

关键.

21.【答案】解：(1)由题意得：

y=(x—8)[100-10(%-10)]=-10/+280久-1600,

•••y与%的函数关系式为y=-10/+280%-1600(%>10)；

故答案为：y=-10x2+280%-1600；

(2)令y=270得：—10/+280%-1600=270,

解得：%】=11,x2=17,

二销售单价为11元或17元；

(3)每件该小商品的利润不超过100%,

•••%-8<100%x8,解得久<16,

•••每天的进货总成本不超过800元，

.•.销售单价x>10,

故销售单价的范围是10<%<16,

由(1)得y=-10x2+280x-1600=-10(x-14)2+360,

当x=14时，利润最大是360元，

当％=10时，利润y=200元，

所以利润的取值范围是200<y<360.

【解析】(1)根据利润y等于每件的利润乘以销售量，列出y与尤的函数关系式并化简；

(2)令y=270得关于x的一元二次方程，求得方程的解；

⑶由每件该小商品的利润不超过100%和每天的进货总成本不超过800元，求得x的范围，根据二次函数

的性质可得答案.

本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关

键.

22.【答案】⑴令

16

(2)解法一：•：AB=4,AD=m,

BD=4—m,

•・•DE//BC,

.CE_BD_4—m

,,EAADm'

.S&DEC=竺=4-TH

"SMDE4Em

•・•DE//BC,

ADE^

图1

2

...SMDE_)2

S^ABC416

.S^DEC—S^DEC_4-m.m2—m2+4m

••----------------------------

S^ABCS^ADES&ABCm1616

2

_—m+4me

16

解法二：如图1,过点B作8“1AC于”,过0作。FlAC于F,贝！JD尸〃8”,

••・△ADF^^ABH,

DF_AD_m

丽一瓶一了

...S^DEC_ICERF4—mm—m2+4m

"SLABC-^CA-BH=-=

—m2+4m

16

问题2：如图②,

解法一：如图2,分别延长8。、CE交于点0,

-AD//BC,

△OAD^L0BC,

0A__AD__\

~OB~~BC=29

0A=AB=4,

OB=8,

•・•AE=n,

・•・0E=44-n,

・・・EF//BC,

由问题1的解法可知：2=沁•*=FX（空产=印

S^OBCS&OEFS^OBC4+九864

..SROAD_（05）2—A

•SAOBC_”B）_4f

・SABCD_3

S^OBC

.S^CEF_S^CEF一3乂16f2_16-n2916-n2

X

■-sABCD-ls,0BC-3^T-48>即

解法二：如图3,连接4c交EF于M,

_1

-AD//BC,且/。=^C,

...S^ADC_1

SLABC5'

_1

*,,%ADC—2^LABC，

12

•*,S〉ADC=§S，S^ABC=]S，

由问题1的结论可知：沁=二等,

・・・MF”AD,

・•・△CFMSACDA,

4n

...S^CFM_SkCFM_QxS〉CFM_r-\2

S^CDA|SS4，

•••SACFM=XS，

•••S"FC=SREMC+S.CFM='|s+xS=等XS，

.S'_16-n2

——--------•

S48

【解析】解：问题1：

(1)vAB=AD=3,

FD=4-3=1,

•••DE〃BC,

.CE_BD_1

~EA~AD~3f

..S&DEC=EC=1=3

SLADEZE39?

•・•DE〃BC,

,MADEsAABC,

.Su。?_z3y_2

「S&ABC_I"_16，

•・3=M即工=三，

S^ABC16S16，

故答案为：,；

16

(2)

问题1：见答案

问题2：见答案

【分析】

(1)先根据平行线分线段成比例定理可得：3=黑="，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则

£l/iAD5

沁=篇=卜J，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：件=(芥=±,可得结论；

V7

SAADEAE39SLABC416

(2)解法一：同理根据(1)可得结论；

解法二：作高线DF、BH,根据三角形面积公式可得：沁=巨竺，分别表示当和黑的值，代入可得结

S&ABC^CA-BHCABH

论；

问题2：

解法一：如图2,作辅助线，构建△0BC,证明△OADSAOBC,得08=8,由问题1的解法可知：

P2,守=会X(管)2=与注根据相似三角形的性质得：*=I可得结论；

b^OBCS^OEFS^OBC4+几864LOBC4

解法二：如图3,连接北交EF于M,根据力。=为J可得沁£=热得：SA48=(S，S^ABC=ls,由

N、AABCN33

问题1的结论可知：沁=?学，证明△CFMSACTM,根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根

据面积和可得结论.

本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角

形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度.

23.【答案】解：(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x-20)2+10,

把(0,0)代入解析式得：400a+10=0,

解得：a—

40

11

••・解析式为：y=一/(％-20)2+10,即y=一2+%(o<%<40)；

4U