高考数学理科一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲课后作业

A组基础关1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°答案D解析由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°.∵两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA.∵∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，∴∠CAB＝∠CBA＝eq\f(1,2)×(180°－40°－60°)＝40°.∵∠BCD＝60°，∠CDB＝90°，∴∠CBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBA＝40°－30°＝10°.故灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案D解析知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案①③可以确定A，B间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案②可以确定A，B间的距离．3．(2019·东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.eq\r(2)akmC．2akmD.eq\r(3)akm答案D解析由图可知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2.所以AB＝eq\r(3)a，即灯塔A与灯塔B的距离为eq\r(3)akm.4．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10eq\r(3))m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()A．30m B．60mC．30eq\r(3)m D．40eq\r(3)m答案B解析在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin∠AMB)＝eq\f(30－10\r(3),sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq\r(6)(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得eq\f(MC,sin45°)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，解得MC＝40eq\r(3)(m)．在Rt△CMD中，CD＝40eq\r(3)×sin60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60m.5．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内(含450km)的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A．10hB．15hC．10eq\r(2)hD．20h答案B解析记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×eq\f(\r(2),2)，令OB2≤4502，即4t2－120eq\r(2)t＋1575≤0，解得eq\f(30\r(2)－15,2)≤t≤eq\f(30\r(2)＋15,2)，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为eq\f(30\r(2)＋15,2)－eq\f(30\r(2)－15,2)＝15.6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20nmile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________nmile/min.()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(6),2)C．3eq\r(6)D．10eq\r(6)答案A解析由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以AC＝eq\f(AB·sinB,sin∠ACB)＝eq\f(20×sin60°,sin45°)＝10eq\r(6)，所以海轮航行的速度为eq\f(10\r(6),30)＝eq\f(\r(6),3)(nmile/min)．7．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5eq\r(6)B．15eq\r(3)C．5eq\r(2)D．15eq\r(6)答案D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).8．(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.答案eq\r(3)－1解析由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(BD,sin15°)，所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(eq\r(6)－eq\r(2))．在△BCD中，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，即eq\f(25,sin45°)＝eq\f(25\r(6)－\r(2),sin∠BCD)，解得sin∠BCD＝eq\r(3)－1.所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝eq\r(3)－1.B组能力关1．如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为()A.eq\f(16,65)B.eq\f(19,65)C.eq\f(16,57)D.eq\f(17,57)答案A解析如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，则DF＝eq\r(MF2＋DM2)＝eq\r(302＋1702)＝10eq\r(298)(m)，DE＝eq\r(DN2＋EN2)＝eq\r(502＋1202)＝130(m)，EF＝eq\r(BE－FC2＋BC2)＝eq\r(902＋1202)＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298,2×130×150)＝eq\f(16,65).2．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是()A.eq\f(3＋\r(6),4)km2B.eq\f(3－\r(6),4)km2C.eq\f(6＋\r(3),4)km2D.eq\f(6－\r(3),4)km2答案D解析连接AC，根据余弦定理可得AC＝eq\r(3)km，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝xkm，根据余弦定理得x2＋x2＋eq\r(3)x2＝3，即x2＝eq\f(3,2＋\r(3))＝3×(2－eq\r(3))，所以所求的面积为eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×3×(2－eq\r(3))×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3)＋6－3\r(3),4)＝eq\f(6－\r(3),4)(km2)．3．(2018·湖北武汉模拟)A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为________小时．答案1解析由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°.在△DAB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)