2023北京石景山高二下学期期末数学试题及答案

2023北京石景山高二（下）期末数学本试卷共8页，共分．考试时长分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．Ax2x4=−B=2,3,4,5，A1.设集合，则（）22,33,4C.2,3,4D.A.B.1f(x)=x3−,2.设函数则f(x)（）x3A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减43.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是51696256625A.B.C.D.625625(−)5=ax5ax4ax3ax2axa，则+++++a+a+a+a+a=4.若x2A.−32（）5432101C.）2345B.−D.325.设x，则x−21是R“”“x2+x−20”的（A.充分而不必要条件C.充要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.C.D.48g(x)=−x2+2lnx的图象大致是（）7.函数A.B.C.D.是等差数列下列结论中正确的是an8.设.a+a0a+a0a+a0a+a0，则12A.若，则B.若D.若122313C.若01aaaaa0(a2−)(−)20a1a，则，则221313，若x=a为函数f(x)=a(x−a)(x−b)的极大值点，则（）29.设a0A.abB.abC.aba2D.aba2=a=1；②b1；③c10.若集合{a,b,c,d}2,3,4,且下列四个关系：①；④d4有且只有一个是正(a,,c,d)确的，则符合条件的有序数组的个数是（）A.7B.6C.5D.4第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．1235()=()=，PAP(B|A)，则等于______．已知PAB−x1,x12()=fx，则使得()成立的的取值范围是fx2x________.12.设函数12,x1x13.若随机变量X的分布列为X0121313Paa=D(X)1nD(X)=为随机变量X的方差，则______则______，)x−nN*的展开式中存在常数项，则n可以为______14.二项式x即可）15.已知数列各项均为正数，其前项和满足Sn=n=．给出下列四个结论：anaS9(nnn①的第23；②为等比数列；aann1③为递减数列；④中存在小于的项．aann其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．()=(−)xfxx1e16.已知函数（1）判断函数()的单调性，并求出()的极值；fxfxy=fx()的大致图像；（2）在给定的直角坐标系中画出函数（3）讨论关于x的方程f(x)−a=0(aR)的实根个数．的前项和为，=，，anSnS318，且1a2a4成等比数列．17.已知公差不为0的等差数列n（1）求数列的通项公式；an1n的前项和T．n（2）求数列Sn18.某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为231,,，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．342（1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率．（2）求该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列和期望．1()=，()．fxxgx=1−19.设x0，x（1）分别求函数()，()在点()处的切线方程；gx1,0fx（2）判断()与()的大小关系，并加以证明．gxfx20.100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E．参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【分析】利用交集的定义可求AB.AB=3，【详解】由题设有故选：B.2.【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为xx，利用定义可得出函数()fx为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．1f(x)=x3−xx0(−)=−()fxfx，【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而x3所以函数()为奇函数．fx又因为函数y=x3在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，1==x−3在y而上单调递减，x31f(x)=x3−3所以函数故选：A．在上单调递增，在上单调递增．x【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．3.【答案】B【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，41596()=2422=P2C()()45625故选B．4.【答案】C【分析】利用赋值法可求出结果.(−)【详解】在x25=++++ax5ax4ax3a2x2axa中，543+10令x=1，得1=01a23a4+a++++，5令x=0，得−32=a，0a+a+a+a+a=−1+32=31所以.12345故选：C5.【答案】A【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.x−21，可得1x3x；【详解】由，即x2+x−2=(x−x+2)0，可得x<−2或x1，即x(−,2)+)；由∴是(−,2)+)的真子集，x−21”是“x2+−故“x20”的充分而不必要条件.故选：A6.【答案】A【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为．故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为7.【答案】C-=15-1=14．故选A2【详解】试题分析：由题：g(x)=−x+2lnx，求导得：g(x)=2x+(x0)，即：2x2x+22=g(x)(x0)x−2x2+2x−10,12()为增区间，+)g=1，得图为为减区间．令：C考点：运用导数研究函数的性质.8.【答案】Ca=a=−a=−4a+a0a+a0【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举1231223a=a=−a=−4a+a0a+a0，B错误，同样反例，，而1231312a−a=d,a−a=−d,(a−a)(a−a)=−d故D错，2D选项，21322132下面针对C进行研究，是等差数列，若01aa，则1设公差为d，则，数列各项均为d0an2a22−aa=(a+d)2−a(a+2d)=a21+21d+d2−12−2d=d202a131正，由于，则13111aaa，113故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.9.【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分a,b所满足的关系，由此确定正确选项.类讨论，画出图象，即可得到【详解】若a=b，则fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故a()=(−)3.fx()x=a有x=a和x=b两个不同零点，且在xb=左右附近是不变号，在左右附近是变号的.意，为函数的极大值点，在x=a的图象如下图所示：左右附近都是小于零的.()fxf(x)当0时，由xb，0，画出由图可知ba，0，故aba2当a0时，由xb时，f(x)0，画出()的图象如下图所示：fx由图可知b，a0，故aba2.a综上所述，aba2成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.10.【答案】B【分析】因为①a；②b1；③c；④d4中有且只有一个是正确的故分四种情况进行讨论分别,,分析可能存在的情况即可.【详解】若仅有①成立,则a=1必有b1成立,故①不可能成立；若仅有②成立,则a1,b1,c2,d成立,此时有(2,4),4)两种情况；若仅有③成立,则a1,b=1,c,d成立,此时仅有4)成立；若仅有④成立，则a1,b=1,c2,d4成立此时有2),2)三种情况，,(a,,c,d)综上符合条件的所有有序数组的个数是6个，故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．56【答案】【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.1235()=()=PA，PAB【详解】因为，1P(AB)P()5623PB|A=所以()==.55故答案为：.6(,412.【答案】f(x)2【分析】分x1和x1两种情况讨论从而解不等式即可.【详解】当x1时，由f(x)2x−11，又因为x1，所以x1；，得2x12，所以f(x)212当x1时，由，得，所以x4，又因为x1，所以1x4.x2所以满足f(x)2(,4成立的的取值范围为x.故答案为：(,4.12313.【答案】①..3a【分析】根据分布列的性质求出，根据方差公式求出D(X).1113++a=1a=，得.【详解】由题意得3311313E(X)=0+1+2=1，3111323D(X)01=(−)2+(−)11221+(−)2=.33123故答案为：；.3n14.【答案】3（答案不唯一，为3的倍数的正整数均可）x【分析】在通项公式中，令的指数为0，可求出结果k13n−k【详解】T=Cknxn−k−=(−kCknx2，k=，k1x3n−k=02n=knn，因为k为整数，为正整数，所以k为偶数，为3的倍数的正整数.令，得2n故答案为：3（答案不唯一，为3的倍数的正整数均可）.15.【答案】①③④99a=n−a1a、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性2【分析】推导出，求出nn1的定义可判断③.0，【详解】由题意可知，nN，an当n=1时，a21=9，可得a1=3；9999S=nS=a=−当n2时，由可得，两式作差可得n，n1nan1nn1999=−a−2=3+2−9=0a22所以，，则，整理可得，nan1an235−3a02=3，①对；因为，解得222981假设数列为等比数列，设其公比为，则q=1a，即=，ana223S21S31+q)a，可得121+q+q2)S22=1S22=1q=0，解得，不合乎题意，所以，3故数列不是等比数列，②错；an(−)999aa0，可得nn1，所以，数列a为递减数列，③对；na=n−=n1n当n2时，anan1anan111假设对任意的nN，an，则S100000=1000，100100991a=所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.1000100故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．f(x)的单调递增区间为(0,)(,0)+，单调递减区间为−；极小值为1，无极大16.1）函数值（2）图象见解析3）答案见解析）由导数得出其单调性以及极值；y=f(x)的大致图像；（2）由单调性画出函数（3）画出函数()与函数y=a的简图，由图像得出方程根的个数.fx【小问1=x+−x=xf(x)e(xex0f(x)0x0f(x)0，即函数()的单调递增区间为(0,+)，单调递减区间为(−,0)fx极小值为f(0)=1，无极大值.【小问2当x0时，f(x)0；当x→时，f(x)→f=0，且y=f(x)的大致图像，如下图所示结合单调性，可画出函数【小问3画出函数()与函数y=a的简图，如下图所示fx由图可知，当a−1时，方程f(x)−a=0aR()没有实数根；当a=−1或a0()−=()只有一个实数根；fxa0aR时，方程当1a0时，方程f(x)−a=0aR()有两个不相等的实数根；a=nn17.1）2n(+)3n1=（2）n）设等差数列的公差为d，结合等差数列的性质与等比中项的性质求解即可；an1n（2）根据等差数列的前项和公式可得，再裂项求和求解即可Sn【小问1设等差数列的公差为d，由S=18，得1+d=183，即a+d=61，由，aa1aa，成等比数列，4n2(+)2=(+)++=+a=d1a=3=，d3，故数1得adaad，即a2121dd2121d，又d0得，所以111列的通项公式为a=nn．an【小问2(+)(+)12211nn3nn1a=nn==−==，由，得Sn，所以Snn(n+)3nn+122111211111+n=++1S2Sn3223nn121n+12n(+)3n1=1−=．3118.1）242312（2）分布列见解析；期望为）由独立事件的乘法公式代入即可得出答案.（2）X的可能取值为【小问12,3，分别求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.2311−1−11−=该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率.342【小问2X的可能取值为2,3，所以2313421(=0)=−−1−=，PX112312312313423423421(=)=PX1−−+−=−+−1−1111142312312111134234234224(=)=−+−+1−=，PX211231=)==14(PX2，342该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列：XP012311112412444111112312()=+++=EX0123.期望244244()处的切线方程为−−=，()在点()处的切线方程为1,0xy10gx1,019.1）f(x)点x−y−1=0；f(x)g(x)（2），证明见解析.）根据导数的几何意义可求出结果；（2）作差构造函数，利用导数可证结论成立.【小问11f(x)=xf(x)=f1f=