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计算题规范练(八)24.(2019·江苏泰州市上学期期末)如图1所示,光滑导轨MN和PQ固定在竖直平面内,导轨间距离为L,两端分别接有阻值均为R的定值电阻R1和R2.两导轨间有一边长为eq\f(L,2)的正方形区域abcd,该区域内有磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m的金属杆与导轨相互垂直且接触良好,从ab处由静止释放,若金属杆离开磁场前已做匀速运动,其余电阻均不计.求:图1(1)金属杆离开磁场前的瞬间流过R1的电流大小和方向;(2)金属杆离开磁场时速度的大小;(3)金属杆穿过整个磁场过程中电阻R1上产生的电热.答案(1)eq\f(mg,BL)方向从P到M(2)eq\f(2mg,B2L2)(3)eq\f(mgL,4)-eq\f(m3g2R2,B4L4)解析(1)设流过金属杆中的电流为I,由平衡条件得mg=BIeq\f(L,2),解得I=eq\f(2mg,BL)所以R1中的电流大小I1=eq\f(I,2)=eq\f(mg,BL),方向从P到M.(2)设金属杆匀速运动时的速度大小为v由E=Beq\f(L,2)vE=Ieq\f(R,2)得v=eq\f(2mgR,B2L2)(3)由能量守恒得mgeq\f(L,2)=Q+eq\f(1,2)mv2得Q=eq\f(mgL,2)-eq\f(2m3g2R2,B4L4)则R1上产生的焦耳热为QR1=eq\f(1,2)Q=eq\f(mgL,4)-eq\f(m3g2R2,B4L4).25.(2019·湖北十堰市上学期期末)如图2所示,半径为r=0.4m的eq\f(1,4)圆形光滑轨道AB固定于竖直平面内,轨道与粗糙的水平地面相切于B点,CDE为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空方形细管,DE段被弯成以O为圆心、半径R=0.2m的一小段圆弧,管的C端弯成与地面平滑相接,O点位于地面,OE连线竖直.可视为质点的物块b,从A点由静止开始沿轨道下滑,经地面进入细管(b横截面略小于管中空部分的横截面),b滑到E点时受到细管下壁的支持力大小等于所受重力的eq\f(1,2).已知物块b的质量m=0.4kg,g取10m/s2.图2(1)求物块b滑过E点时的速度大小vE.(2)求物块b滑过地面BC过程中克服摩擦力做的功Wf.(3)若将物块b静止放在B点,让另一可视为质点的物块a,从A点由静止开始沿轨道下滑,滑到B点时与b发生弹性正碰,已知a的质量M≥m,求物块b滑过E点后第一次落到地面上的点到O点的距离范围.答案(1)1m/s(2)0.6J(3)0.2m≤x<1m解析(1)物块b滑过E点时,由牛顿第二定律得mg-FN=meq\f(v\o\al(E2),R)FN=eq\f(1,2)mg联立解得vE=eq\r(\f(gR,2))=eq\r(\f(10×0.2,2))m/s=1m/s(2)物块b从A点到E点,由动能定理得mg(r-R)-Wf=eq\f(1,2)mveq\o\al(E2)解得Wf=0.6J(3)物块a从A滑到B的过程中机械能守恒,设物块a滑到B点时速度为v,则有eq\f(1,2)Mv2=Mgr解得v=2eq\r(2)m/s设碰撞后物块a、b的速度分别为va、vb,碰撞过程由动量守恒和机械能守恒得Mv=Mva+mvbeq\f(1,2)Mv2=eq\f(1,2)Mveq\o\al(a2)+eq\f(1,2)mveq\o\al(b2)联立解得vb=eq\f(2M,M+m)v=eq\f(2v,1+\f(m,M))因为M≥m,由上式可知,碰撞后v≤vb<2v,即2eq\r(2)m/s≤vb<4eq\r(2)m/s物块b从B点到E点的过程中,由动能定理得-mgR-Wf=eq\f(1,2)mvE′2-eq\f(1,2)mveq\o\al(b2
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