专题2.1 轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（原卷版）

专题2.1轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳【题型1“2定点1动点”作图问题】【题型2“2定点1动点”求周长最小值问题】【题型3“2定点1动点”求线段最小值问题】【题型4“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【题型5“1定点2动点”-角度问题】【题型1“2定点1动点”作图问题】 【典例1】如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A． B． C． D．【变式1】如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A． B． C． D．【典例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题：（1）分别写出点A，点B，点C的坐标；（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（注意标出对应点字母）；（3）求△ABC的面积；（4）在x轴上找一点P，使AP+BP最小，在图中画出点P，并写出点P坐标．（不限作图工具，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．【变式2-1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）△ABC的面积为；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，三个顶点坐标分别A1，B1，C1；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标（保留痕迹）．【变式2-2】在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，3），作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形△A2B2C2，并写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）在直线l上是否存在一点P，使其到A2、C2两点的距离和最小？如果存在，请求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【题型2“2定点1动点”求周长最小值问题】【典例3】（2023春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（）A．7 B．9 C．11 D．14【变式3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是．【题型3“2定点1动点”求线段最小值问题】【典例4】（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（）A．5 B．3 C． D．【变式4】（2023春•东港市期中）如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（）A．12 B．9 C．6 D．3【题型4“1定点2动点”-线段/周长最小问题】【典例4】如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N分别为l1与l2上的两动点，连接PM，PN，MN，若∠MON＝30°，则△MPN周长的最小值为．【变式4-1】（2023春•惠安县期末）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式4-2】（2022秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．100°【典例5】如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【变式5-1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A，C重合），M是AD上一动点（不与A，D重合），则CM+MN的最小值为．【变式5-2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是线段BD、BC上一动点，AB＞BD且S△ABC＝10，AB＝5，则CM+MN的最小值为．【变式5-3】如图，在锐角△ABC中，AC＝8，S△ABC＝24，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．【题型4“1定点2动点”-角度问题】【典例6】（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．130°【变式6-1】（2022秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．60° B．90° C．100° D．120°【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝