9.4乘法公式（原卷版）

9.4乘法公式完全平方公式拓展：（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（a+b）2-（a-b）2=4ab平方差公式补充公式；；；.题型1：完全平方公式1．若x+y＝1，则x2+2xy+y2＝．【变式1-1】已知x+y＝6，xy＝10，则x2+y2＝．【变式1-2】已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，则xy＝，x+y＝．【变式1-3】若n满足（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝1，（n﹣2020）（2023﹣n）＝．题型2：完全平方公式的几何背景2.1．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得公式．【变式2-1】如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a+b＝12，ab＝26，则阴影部分的面积为．【变式2-2】如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2，可以得到（a+b）2﹣（a﹣b）2＝；（2）当（x﹣8）（15﹣x）＝6时，求（2x﹣23）2的值．【变式2-3】（1）用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和．请你用一个等式表示（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系．（2）根据（1）中的数量关系，解决如下问题：①已知m+n＝6，m2+n2＝26，求m﹣n的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，求（x﹣2022）2的值．【变式2-4】问题背景如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．类比探究类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．解决问题（1）计算：（2m﹣n）2＝；（2）运用完全平方公式计算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【变式2-5】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．题型3：平方差公式3.已知a+b＝5，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝．【变式3-1】已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝．【变式3-2】计算：(1-1【变式3-3】①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝．【变式3-4】计算：（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）．题型4：平方差公式的几何背景4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是．【变式4-1】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．（1）【探究】①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积；；②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）；（2）【应用】请应用这个公式完成计算：2001×1999．【变式4-2】如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是（用a，b表示）；（2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，则3a﹣b＝；②计算：(1-【变式4-2】计算：（1）长方形和正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积；（2）先化简，再求值（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x＝3，y＝﹣2；（3）已知：（x+y）2＝6，（x﹣y）2＝3，求2xy﹣3的值．题型5：整式的除法5.计算：2x6÷x2＝．【变式5-1】计算：（28a3﹣14a2+7a）÷7a＝．【变式5-2】已知10b2÷（﹣5b）m＝A，若m＝1，则A＝；若m＝3，则A＝．【变式5-3】观察下列式：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1．①（x7﹣1）÷（x﹣1）＝；②根据①的结果，则1+2+22+23+24+25+26+27＝．题型6：整式的混合运算6.若m2﹣m＝2，那么（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）+3的值为．【变式6-1】先化简，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-【变式6-2】先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（b﹣1）2﹣a（a﹣2），其中实数a，b满足|a﹣2|+b2+2b+1＝0．【变式6-3】整式化简求值：若单项式a3bx与单项式-13π一．选择题（共7小题）1．下列各运算中，计算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．（b2）3＝b6 C．2x•2x2＝2x3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n22．若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，则n的值为（）A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣93．已知a+b＝10，ab＝20，则a2+b2的值为（）A．80 B．﹣80 C．60 D．1404．若（2x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．若a2﹣b2＝4，则（a+b）2（a﹣b）2的值是（）A．24 B．16 C．8 D．46．已知a=-12022x+2021，b=-12022x+2022，c=-12022x+2023，那么，代数式a2+b2+A．﹣2022 B．2022 C．﹣3 D．37．若a+b＝3，x+y＝1，则代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023二．填空题（共6小题）8．已知y2﹣8y+m是一个完全平方式，则m的值为．9．若m=25x+3，n=45x+5，k=65x-7，则代数式m2+n2+k2+210．如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想（a+b）6的展开式中含a2b4项的系数是．11．如图，正方形ABCD和AEFG的边长分别为x，y，点E，G分别在边AB，AD上，若x2+y2＝29，BE＝3，则图中阴影部分图形的面积的和为．12．若x2﹣5x+2＝0，则2x3﹣7x2﹣11x+2020的值为．13．（1）已知x+y＝7，xy＝5，则x2+y2的值为．（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，则（x﹣y）2的值为．（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，则（x﹣2023）2的值为．三．解答题（共6小题）14．先化简，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-15．阅读下列材料，解答问题：若一个自然数能被13整除，则称这个自然数为“一生数”．若一个四位自然数，百位数字为1，个位数字为4，则称这个四位数为“一世数”．若一个四位自然数既是“一生数”，又是“一世数”，则称这个数为“一生一世数”．例如：因为4134÷13＝318，318为整数，所以4134是“一生数”；因为4134是四位数，且百位数字为1，个位数字为4，所以4134为“一世数”：因为4134既是“一生数”，又是“一世数”，所以4134为“一生一世数”．（1）求证：任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”；（2）若一个四位自然数m是“一生一世数”，记F(m)=m13，求F（16．【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38．求a2+b2+c2的值；（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．17．布鲁纳的发现学习论认为学习是一个积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，主持人给出了下列的探究任务．任务一：自主探究定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．（1）填空：﹣6与8是关于的“平衡数”．任务二：合作交流（2）现有a＝6x2﹣4kx+8与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值．18．两个矩形如图1放置，BC=a，CD=b(a＜b)，AB=12BC，FC=12CD．现在取BD的中点P，连接PA，PE，如图2，把图形分割成三部分，分别标记①（1）用字母a、b分别表示S1、S2；（2）若a﹣b＝2，ab＝15，求S1+S2；（3）若S1+S2＝3，ab＝1，求S3．1