2022年高考物理一轮-磁场对运动电荷的作用教师讲解版

10.2磁场对运动电荷的作用

必备知识清单

一、洛伦兹力的大小和方向

i.定义：磁场对运动电荷的作用力.

2.大小

时，F=0；

(2)O_L8时，F=qvB；

(3)。与B的夹角为。时，F=qvBsin0.

3.方向

(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向；

(2)方向特点：F±B,即寺垂直于8、。决定的平面.(注意B和。可以有任意夹角)

4.做功：洛伦兹力不做功.

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1.若带电粒子以入射速度。做匀速直线运动.

2.若。，8时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度。做匀速圆周运动.

3.基本公式

(1)向心力公式：qvB=rrr^；

(2)轨道半径公式：r=骨；

(3)周期公式：7=鬻.

注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率五差.

命题点精析(一)洛伦兹力的理解和应用

1.洛伦兹力方向的特点

(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)左手定则判断洛伦兹力方向，但一定分清正、负电荷。

2.洛伦兹力与电场力的比较

洛伦兹力电场力

产生条件oWO且v不与B平行电荷处在电场中

大小F=qvB(V-LB)F=qE

力方向与场正电荷受力与电场方向相同，负电

一定是F±v

方向的关系荷受力与电场方向相反

做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功，也可能不做功

只改变电荷的速度方既可以改变电荷的速度大小，也可

作用效果

向，不改变速度大小以改变运动的方向

典型例题

【例1（多选）如图所示，粗糙木板竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中.1=0时，

一个质量为加、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的

0一/图象可能是（）

M

xx/7

x彼

XX/

B6

XX4

【答案】ACD

【解析】设初速度为。0,贝U尺=3夕。0,若满足相8=居=〃r，即mg-Bqvo,物块向下

做匀速运动，选项A正确；若mg>"Bqs,则物块开始有向下的加速度，由0="吆必可

知，随速度增加，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选

项D正确；若mgqiBq%,则物块开始有向上的加速度，做减速运动，由"吆可知,

随速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，则选项

C正确.

【练1】（多选）如图所示，这是一个质量为机、带电荷量为+q的圆环，可在水平放

置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为3、方向垂直于纸面

向里的匀强磁场中。现给圆环向右的初速度00,在以后的运动过程中，圆环运动

的0—/图像可能是下图中的（)

XBX

【答案】BC

【解析】当"3=mg时，圆环做匀速直线运动，此时图像为B,故B正确；当

时，F^=qvB—mg,此时〃尺=加。，所以圆环做加速度逐渐减小的减速

运动，直到时，圆环开始做匀速运动，故C正确；当如3<3时，FN

=mg—qvB,此时〃尾=加。，所以圆环做加速度逐渐增大的减速运动，直至停止，

所以其图像的斜率应该逐渐增大，故A、D错误。

【练2】科学家预言，自然界存在只有一个磁极的磁单极子，磁单极N的磁场分布

如图甲所示，它与如图乙所示正点电荷。的电场分布相似。假设磁单极子N和

正点电荷。均固定，有相同的带电小球分别在N和。附近（图示位置）沿水平面

做匀速圆周运动,则下列判断正确的是（）

A.从上往下看，图甲中带电小球一定沿逆时针方向运动

B.从上往下看，图甲中带电小球一定沿顺时针方向运动

C.从上往下看，图乙中带电小球一定沿顺时针方向运动

D.从上往下看，图乙中带电小球一定沿逆时针方向运动

【答案】A

【解析】根据圆周运动受力条件可以从图乙中判断带电小球带的一定是负电，且

在电场中小球的运动方向与电场力的方向无关；由甲图中带电小球做匀速圆周运

动，可知洛伦兹力方向，根据左手定则可知，带电小球一定沿逆时针方向运动。

命题点精析（二）带电粒子在匀强磁场中的运动

1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据

一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法。在具体问

题中，要依据题目条件和情景而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式:

「廿42mv十、一一Lm廿□e=2兀-=271m

qvB=m—,求半径r=布及运动周期T~~^B°

2.圆心的确定方法

法一若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F±v,分别确

定两点处洛伦兹力R的方向，其交点即为圆心，如图甲。

法二若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点

的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的

交点即为圆心，如图乙。

3.半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），求解时注意以下几何特点：

粒子速度的偏向角（e）等于圆心角（a）,并等于AB弦与切线的夹角（弦切角⑨的2

倍（如图），即（p=a=28=a>t。

偏向角）

4.运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为a时,

其运动时间可由下式表示：

片离或'谭4/!（/为弧长）。

5.常见运动轨迹的确定

（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）。

（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）。

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。

6.常用解题知识

⑴几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系。根据几何知识可以

由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未

知长度、角度。

(2)半径公式、周期公式：R,、7=繁。根据两个公式可由q、m、。、B计

算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒

子的电荷量、质量等。

⑶运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或

周期时，常用至|"=4兀

2兀

【例2】如图所示，直线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂

直和磁场方向射入磁场，经九时间从b点离开磁场.之后电子2也由。点沿图示方向以

相同速率垂直磁场方向射入磁场，经G时间从。、6连线的中点c离开磁场，贝哈为()

A.3B.2C，2D.g

【答案】A

【解析】

电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示:

XXXXX

Ma\/cbN

\、j/

电子1垂直边界射进磁场，从6点离开，则运动了半个圆周，即为直径，c点为圆心，电

子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经殳时间从6连线的中点c离开磁场，根据半

iri7)

径厂=荡可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子

T7TWTirw

2转过的圆心角为60°,所以电子1运动的时间九=7=方-,电子2运动的时间介=/=

zDQojoq

所以9=3,故A正确，B、C、D错误.

«2

【练3】(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度勿和“射入匀强磁场，两粒子的入射方

向与磁场边界的夹角分别为60。和30。，磁场宽度为d,两粒子同时由A点出发，同时到达2

点，如图所示，贝！1()

XXX

X

融〃XB

XX

30°

XXX

A.°粒子带正电，6粒子带负电

B.两粒子的轨道半径之比凡：&=小：1

C.两粒子的质量之比mamb=l：2

D.两粒子的质量之比mJ.mb=2：1

【答案】BD

【解析】由左手定则可得：a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运

动，运动轨迹如图所示

2^5”近

故凡=而/=4&=而而=3d，

所以，Ra：&=小：1,故B正确;

由几何关系可得：从A运动到B,a粒子转过的圆心角为60°,6粒子转过的圆心角为120。,

%=卷=必=与，则Ta:Tb=21,

mu2

再根据洛伦兹力提供向心力可得：Bvq=~^~,

所以，运动周期为：丁=平=需

根据a、6粒子电荷量相等可得如：板;=〃：〃=2：1,故C错误，D正确.

【练4】如图，边长为/的正方形abed内存在匀强磁场，磁感应强度大小为3、方

向垂直于纸面（abed所在平面）向外。a。边中点有一电子发射源。，可向磁场内沿

垂直于湖边的方向发射电子。已知电子的比荷为上则从a、d两点射出的电子

的速度大小分别为（

【答案】B

【解析】电子从。点射出时，其轨迹半径为由洛伦兹力提供向心力，有

eVaB=i-rrL,又且=左，解得加=挈；电子从d点射出时，由几何关系有W=F+

ram4

[r,/—2｝，解得轨迹半径为〃=系由洛伦兹力提供向心力，有eUdB=n^,又端

=k,解得。"=竽，B正确。

命题点精析（三）带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题

1.解决带电粒子在磁场中的临界问题的关键

⑴以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口。

（2）寻找临界点常用的结论

①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

②当速度。一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中

运动的时间越长。

③当速度。变化时，圆心角越大，运动时间越长。

2.临界问题的一般解题流程

［动态思维临界状态上

器.磁场边临界产

（分析临界列方程I几何关系I定圆心］

【例3】如图所示，在一等腰直角三角形AC。区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感

应强度大小为B.一质量为根、电荷量为q的带正电粒子（重力不计）以速度。从AC边的中点

。垂直AC边射入磁场区域.若三角形的两直角边长均为2L要使粒子从C。边射出，则。

的取值范围为（）

AqBL7^2\f2qBL

BjW皿

A.—mWuWmmm

c幽V(V2+1W—qBL—)5qBL

C.2o-mWoWm2m2m

【答案】C

【解析】根据洛伦兹力充当向心力可知，等，因此半径越大，速度越大；根据几何关

系可知，使粒子轨迹与边相切时速度最大，如图，则有AO'71145。=。'E,即（R+L）sin

45。=夫，解得满足题目要求的最大半径为R=（g+1）L,故最大速度为5=（艰;当身与当

粒子从C点出射时，满足题目要求的半径最小，为『2=4，故最小速度应为。2=^^,

则V

的取值范围为缥曲产4故C正确，A、B、D错误.

【练5】i匀强磁场的磁感应强度大小为3,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚

线所示，笈为半圆，ac、〃与直径aO共线，ac间的距离........

等于半圆的半径。一束质量为m,电荷量为q（q>0）的粒：：：：

子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有卜’、：1皮;：1：一；卜一……"

各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间

最长的粒子，其运动时间为（）

ca\*.••%d

7兀-5Tlm

A・6^BB・硒

4兀加371m

C丽D・9

【答案】C

【解析】

带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有

层vvrn

qvB=m-,解得r=~运动时间,=7=一。为带电粒子在磁场中运动轨迹

，rqbqti

所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒

子垂直于ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开

始逐渐放大，当rWO.5R（R为防的半径）和rNL5R时，粒子从ac、灰/区域射出

磁场，运动时间等于半个周期。当O.5R<r<l.5H时，粒子从弧。。上射出，轨迹

半径从0.5R逐渐增大，粒子射出位置从a点沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从

兀逐渐增大，当半径为H时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对

7T47r

圆心角减小，因此轨迹半径等于R时，所对圆心角最大，为%>=兀+鼻=苧，粒

子最长运动时间为普。

【练6】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为。和3a的同轴圆柱面，

磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为。的电子从圆心沿半

径方向进入磁场。已知电子质量为加，电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运

动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（）

3mv

A-~2ae

3mv3mv

C，D.

~4ae5ae

【答案】C

【解析】为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入句强磁

场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r,轨迹圆圆

心为M,磁场的磁感应强度最小为3,由几何关系有q/+/+r=3a,解得

1）-3mv

a,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有饨5=行，解得3=肃，C正确。

命题点精析（四）"

带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题

多解分类多解原因示意图

带电粒___b

带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁XX八\

子电性

场中的运动轨迹不同

不确定

题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出___b

磁场方向

磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有

不确定/'J

两种情况

；x

临界状态带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，

不唯一也可能从入射界面反向飞出；V

运动的yxpxxx

带电粒子在空间运动时，往往具有往复性0niwllnn\x

往复性

【例4】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d,两板中央各有一

个小孔0、0'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙

所示.有一群正离子在f=0时垂直于/板从小孔。射入磁场.已知正离子质量为机、带电

荷量为分正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为7b，不考虑

由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求:

T«\；2T0(

II

⑴磁感应强度治的大小.

(2)要使正离子从0'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度。o的可能值.

【答案】⑴鬻⑵瑞2=123,…)

【解析】

设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向.

2

(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力瓦“^;写*

做匀速圆周运动的周期n=等

由以上两式得磁感应强度Bo=#

(2)要使正离子从O,孔垂直于N板射出磁场，内的方向应如图所示，两板之间正离子只运

动一个周期即7B时，有R=(;当两板之间正离子运动n个周期即时，有氏=竟(九=

1,2,3,-).

联立求解，得正离子的速度的可能值为

。。=誓=繇5=123,…)

【练7】如图所示，在无限长的竖直边界AC和

DE间，上、下部分分别充满方向垂直于ADEC平面向外的匀强磁场，上部分区

域的磁感应强度大小为瓦，OR为上、下磁场的水平分界线。质量为机、带电荷

量为+q的粒子从AC边界上与O点相距为。的尸点垂直于AC边界射入上方磁

场区域，经OR上的Q点第一次进入下方磁场区域，。与。点的距离为3人不

考虑粒子重力。

(1)求粒子射入时的速度大小；

(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件；

(3)若下方区域的磁感应强度3=3瓦，粒子最终垂直于DE边界飞出，求边界DE

与AC间距离的可能值。

【答案】⑴号2(2)磁感应强度大于学

(3)见解析

【解析】

(1)设粒子在。斤上方做圆周运动的半径为R,运动轨迹如图甲所示,

由几何关系可知(7?—。)2+(3。)2=7?2

解得R=5a

、〃

由牛顿第二定律可知qvBo=rrr^

5aqBu

解付V=

m-O

⑵当粒子恰好不从AC边界飞出时，运动轨迹与AC相切，如图乙所示，设粒子

在。尸下方做圆周运动的半径为力，由几何关系得

n+ricos0=3a

3

由(1)知cos6=5

所以r1=等

O

根据qvBi=m—

解得31=毕

故当Bi＞华时，粒子不会从AC边界飞出。

(3)如图丙所示，当5=3%时，根据卯5=巧;

得粒子在。歹下方的运动半径r=^a

设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P\,则P与Pi

的连线一定与。/平行，根据几何关系知PPi@@=4a

所以若粒子最终垂直于DE边界飞出，

边界DE与AC间的距离为L=〃PPi@@=4〃a(〃=l,2,3,…)。

【练8】如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁

场，三角形内磁场方向垂直于纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为3。顶点

A处有一粒子源，粒子源能沿NA4c的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量

均为机、电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则粒子能通过

3点时发射速度00为()

X~XX

2qBL

2qBL

3m

【答案】D

【解析】

粒子带正电，且经过8点，其可能的轨迹如图所示。

所有圆弧所对圆心角均为60。，所以粒子运行半径

r=.(n=1,2,3,…)

粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得/出=丐7

由此可知，。=鬻的粒子能通过8点，故A、B、C不符合题意，D符合题意。

核心素养大提升

【例5】（多选）（2020•吕梁市第一次模拟）如图所示，在荧屏上方分布了水平方向

的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S,能够在纸面内

不断地向各个方向同时发射电荷量为外质量为机的带正电粒子，不计粒子的重

力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d,贝!!（）

XXXXXXXX

S

xxxxtxxxx

XXXXXXXX

XXXXXXXX

A.粒子能打到板上的区域长度为2小d

B.能打到板上最左侧的粒子所用的时间为学

C.粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间为学

D.同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为登

【答案】BD

【解析】

打在极板上粒子轨迹的临界状态如图甲所示：

根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度/=R+/H=（l+小）R=（l+小）

d,A错误；由运动轨迹图可知，能打到板上最左侧的粒子偏转了半个周期，故

所用时间/=3T，又7=羿，解得/=称，B正确；设此时粒子出射速度的大小

为必在磁场中运动时间最长（优弧1）和最短（劣弧2）的粒子运动轨迹示意图如图

乙所示：

粒子做整个圆周运动的周期T=堂，由几何关系可知:

最短时间Z2=1T=^

目13兀d

阪长时间%=47=石

根据题意得同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差%一念

解得△/=锣，C错误，D正确。

【练9】（多选）（2020•郴州二模）如图所示，在等腰直角三角形A