高中一轮复习理数课时跟踪检测（六十三）离散型随机变量的均值与方差

课时跟踪检测（六十三）离散型随机变量的均值与方差一保高考，全练题型做到高考达标1．已知X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)和V(Y)分别是________．解析：因为X～B(10,0.6)，则n＝10，p＝0.6，所以E(X)＝10×0.6＝6，V(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，又X＋Y＝8，则Y＝8－X，所以E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，V(Y)＝(－1)2V(X)＝2.4×1＝2.4.答案：2和2.42．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量X＝m2，则X的数学期望E(X)＝________.解析：S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，X的分布列为X014916Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)eq\f(1,7)所以E(X)＝0×eq\f(1,7)＋1×eq\f(2,7)＋4×eq\f(2,7)＋9×eq\f(1,7)＋16×eq\f(1,7)＝5.答案：53．已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差V(X)＝________.解析：因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，V(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案：2.444．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.解析：由题意知P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，所以p＝eq\f(1,2)，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,6)，因此E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq\f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq\f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)＝________.解析：依题意，知X的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝eq\f(5,9)，P(X＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，故E(X)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).答案：eq\f(266,81)6．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，则V(X)＝________.解析：因为E(X)＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以V(X)＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.答案：87.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过混合后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.解析：由题意X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝eq\f(33,125)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(9×6,125)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(3×12,125)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125).故E(X)＝eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)8．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>eq\f(7,4)，则p的取值范围是________．解析：由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，P(Y＝3)＝(1－p)2，则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>eq\f(7,4)，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，又p∈(0,1)，所以p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))9．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，V(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的取值为0,1,2,3,4，其分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)所以E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5，V(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由V(Y)＝a2V(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))10．(2017·启东中学检测)有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．解：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.V(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.V(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见，E(ξA)＝E(ξB)，V(ξA)＜V(ξB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·金陵中学质检)甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有4个红球、3个白球、3个黄球的箱子中任取一球，乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球．规定：当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜．(1)求甲胜的概率；(2)假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数X的概率分布及数学期望E(X)．解：(1)甲、乙各取一球共有10×10＝100种情况，其中所取两球为同色共有4×5＋3×3＋3×2＝35种情况，所以甲胜的概率为P＝eq\f(35,100)＝eq\f(7,20).(2)X的取值可能为0,1,2,3，则P(X＝0)＝1－eq\f(7,20)＝eq\f(13,20)，P(X＝1)＝eq\f(4×5,10×10)＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(3×3,10×10)＝eq\f(9,100)，P(X＝3)＝eq\f(3×2,10×10)＝eq\f(3,50)，所以X的概率分布为X0123Peq\f(13,20)eq\f(1,5)eq\f(9,100)eq\f(3,50)故E(X)＝0×eq\f(13,20)＋1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(9,100)＋3×eq\f(3,50)＝eq\f(14,25).2．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为eq\f(1,2)，a，a(0＜a＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1)求ξ的概率分布及数学期望；(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．解：(1)P(ξ)是“ξ个人命中，(3－ξ)个人未命中”的概率，其中ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))Ceq\o\al(0,2)(1－a)2＝eq\f(1,2)(1－a)2，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,1)×eq\f(1,2)Ceq\o\al(0,2)(1－a)2＋Ceq\o\al(0,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×Ceq\o\al(1,2)a(1－a)＝eq\f(1,2)(1－a2)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(1,1)×eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,2)a(1－a)＋Ceq\o\al(0,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×Ceq\o\al(2,2)a2＝eq\f(1,2)(2a－a2)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(1,1)×eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,2)a2＝eq\f(a2,2).所以ξ的概率分布为ξ0123Peq\f(1,2)(1－a)2eq\f(1,2)(1－a2)eq\f(1,2)(2a－a2)eq\f(a2,2)故ξ的数学期望为E(ξ)＝0×eq\f(1,2)(1－a)2＋1×eq\f(1,2)(1－a2)＋2×eq\f(1,2)(2a－a2)＋3×eq\f(a2,2)＝eq\f(4a＋1,2).(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)[