广东省揭阳市第三中学高三上学期第3次月考数学（文）试题

揭阳三中2016―2017学年度第一学期高三级第3次月考数学试题（文科）一、选择题（共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．+i B．5 C． D．2．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（）A． B． C． D．5．执行如图所示的程序框图，输出．那么判断框内应填（）A．k≤2015 B．k≤2016 C．k≥2015 D．k≥20166．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．7．已知变量x，y满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.59．已知函数f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为（）A． B．C． D．随a的值而变化10．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5π B． C．20π D．4π11．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C． D．12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{an}的前n项和为Sn=a•2n+a﹣2，则an=_____．14．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为______．16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x）＜的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，满分70分）17.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．18．已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．19．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．21．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），①求实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．请考生在2223题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与半圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

揭阳三中2016―2017学年度第一学期高三级第3次月考数学（文科）试题答案一、选择题（每小题5分，共60分．）题号123456789101112答案DDDBABBBCABC二、填空题（每小题5，共20分）13.2n﹣1.14、；15、2；16、（1，+∞）三、解答题（共70分)17.解：（I）设公差为d且d≠0，则有，即，解得或（舍去），∴an=3n﹣2．（II）由（Ⅱ）得，=，∴bn===3n+﹣1≥2﹣1=23，当且仅当3n=，即n=4时取等号，故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23．18.解：（1）==．由得于是（k∈Z）因为所以（2）因为C∈（0，π），由（1）知．因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．由正弦定理得，所以．19．解:（1），=21，=，∵=，S甲2＜S乙2，∴甲车间的产品的重量相对较稳定．（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：，，，，，，，，，，，，，，．设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A的基本事件有4种：，，，．故所求概率为．20.解：【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°．∴△A1AB为等边三角形．∴OA1⊥AB，又∵OC⊂平面COA1，OA1⊂平面COA1，OC∩OA1=O．∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=，∵AB=AA1=1，∠BAA1=60°，∴A1O=．∵A1C=，∴CO2+A1O2=A1C2∴CO⊥A1O．∴S==．∴V=2V=2×=2×=．21．解：（1）函数f（x）=x2﹣2x+2lnx的导数为f′（x）=2x﹣2+，f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，﹣1），即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣3=0；（2）①函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，∵函数f（x）=x2﹣2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴，解得，0＜a＜；②证明：由（1）知，x1+x2=1，x1x2=a，则a=2x2（1﹣x2），因此，f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1），令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），则h′（t）=1+2[﹣ln（1﹣t）﹣1]+=﹣2ln（1﹣t），∵＜t＜1，∴1﹣t2＞0，ln（1﹣t）＜0，∴h′（t）＞0，即h（t）在（，1）上单调递增，则h（t）＞h（）=﹣﹣ln2，即有＞﹣﹣ln2．22．解：（Ⅰ）半圆C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为半圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1），利用互化公式可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ=0，∴半圆C的极坐标方程是．（Ⅱ）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，则，解得，设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，则，解得，由于θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=4，所以PQ的长为4．23．解