2024年高考数学一模试题分类汇编：三角函数（解析版）（广东专用）

专题05三角函数

题型01三角函数定义及诱导公式

八sinfcr+—1=

1.（2024下•广东・深圳市一模）若角&的终边过点1D!!J<()

4_43_3

A.5B.5c.5D.5

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.

44.(兀)4

/ACOSCC1----5,所以12)5

【详解】因为角a的终边过点1'人所以yj42+32

故选：A

h

2.（2024下•广东大湾区•校联考模拟预测）若sina=-则夕=()

2.I22)

2兀3兀51i4兀

A.----B.---C.----D.----

3443

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦值结合角的范围求角.

【详解】因为sina=—告，所以a=2E+^（左eZ）或（5兀

z=2for+y(A:eZ),

因为ae］一与，一，所以a=-g.

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故选：A.

3.（2024下•广东•大联考）若Sina=—@,ae（—红，—巴]，则C=（）

212

2兀3兀5兀4兀

A.----B.---C.---D.----

3443

【答案】A

【解析】

pyAjrSjr

【详解】因为sina=—券，所以a=2E+5-（左eZ）或a=2E+3-（左eZ）,

L,、,（371e，,、，2兀

因为（ze1一万,-2J,所以&=——.

故选：A.

4.（2024下•广东•江门一模）已知角a的终边上有一点尸（—则COs[g+a]=（）

4433

A.--B.一C.——D.-

5555

【答案】A

【解析】

叫8M-扑既j

【详解】由题意知角a的终边上有一点尸

4（TIA4

故sina=—,贝!Jcos—+a=-sina=——,

5U）5

故选：A

TT；Gcos2a+sin2a一门।丁,的（）

5.（2024下•广东•省一模）"&=一+也（左62）”是“

4sinacosa

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】A

【解析】

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jr

【详解】由。=—+而(左£Z),得tana=l,

4

,V3cos26/+sin2ar-_砥ta/a+J?二,々刀/日,1一二

由^----------------=J3+1，得----------=V3+b解得tano=l或tana=J3，

sinacosatana

所以“a=3+E/eZ)，，是“—cos?a+sin-a=6+i，，的充分不必要条件，A正确.

4sinacosa

故选：A

题型02三角函数的图像及性质

sins+@兀兀

1.（2024下•广东湛江•高三一模）己知函数/（x）=（。＞0）在区间上单调递

I312,6

增，则口的取值范围是（）

A.[2,5]B.[1,14]C.[9,10]D,[10,11]

【答案】D

【解析】

【分析】由X的范围可求得&X+生的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造

3

不等式组求得结果.

7171171[712兀71/

【详解】当xe时,CDX+一€CD+■,—CD+-

1276363

712兀712

CD+一>---F2左兀

1232

上单调递增，:(kwZ),

712兀71

—G+-——<+2左兀

163-2

-14+24左—14+24左0—1+12左

解得：＜(kwZ),又①〉0,

a)<-\+\2k—1+12左>0

113

解得：—<左4—，又左£Z,.,.左二1,10V①V11,

1212

即口的取值范围为[10,11].

故选：D.

2.（2024下•广东•百校联考）已知函数/（x）=2sin20x+®sin25（o〉O）在（0㈤上恰有两个

零点，则①的取值范围是（）

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【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简/（X）,再利用正弦型函数的图象与性质得到不等式,

解出即可.

【详解】由题意可得/（%）=2sin2<yx+A/3sin2o）x=yj3sin2<yx-cos2<yx+1

=2sinfj+1.

令2sin12cox——j+1—0,解得sin]2cox——j———,

7C7U7U

因为0<X<TT,所以——<2<yx——<lam——

666

因为/（X）在（0,71）上恰有两个零点，

,117T-兀，197r,5

所以---<2。兀---<----，解侍1<0W—.

6663

故选：B.

（兀）兀371

3.（2024下•广东•佛山禅城一模）已知函数/（x）=sin[ox+j在有且仅有两个零点,

，则/（x）图象的一条对称轴是（)

7兀11711315

A.x——B.x-----C.X-----71D.x=——兀

121288

【解析】c.依题意（咛―则T唔，»K）,当T港]，

兀l.、,兀718兀14TI]「一，一3兀7i-

t=a)x+—e因为:。+；e—,--|，所以271V—a)-\—<3n,斛得

3431515J23

1016~10169.9”，且也一型=兀<

一<a><一.综上，一<co<一,-n<T<-7T,因为f7,

99998588

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1(11713兀771,771兀兀77

所以/(X)图象的一条对称轴是x=—------1-------,由---CDH------------Fkit,左£Z,谷1

2888832

①=4(1；’,结合范围可得，卜=1,此时/(x)图象的对称轴为

7兀,T7兀73兀.7..13兀_

x=---卜k—二---卜k—，当z左=1时，x=----，故选C.

82848

4.(2024下•广东广州市一模)已知a，B是函数/(x)=3sin2x+1］—2在［0,］上的两个零点，

2

则cos(a-〃)=(

2亚V15-2

A.-DR•r•------

3366

【答案】A

兀)c兀71)2c7T71_.7L71_7T717T71

【解析】3sinI2x+—I=2,则sin|2x+—|=—,0<x<—,则=<2x+—<—,

632666

.(c兀)、，十7兀1,,7兀17兀1„7兀1

y-sin2x-\关于x=一对称，a+/?=2x一二一,/3——oc

\6)6633

cos(a-0=cosa—=cosla--

I3

7171-sin2a+。71-2诜A

=cos2a+----

I6263

(2024下•广东•梅州市一模)(多选)已知函数f(x)=cos2x-cosf2x+

5.，贝1J()

A.曲线歹=/(x)的对称轴为x=E—四,《eZ

6

71兀

B./(x)在区间上单调递增

4；3

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c./(x)的最大值为g

D./(x)在区间［0,2兀］上的所有零点之和为8兀

【答案】BC

【解析】

V3

【详解】由题意可得:/(x)=cos2x-cos2x——cos2x——sin2x

22V

—cos22x--sin2xcos2x--=—cos4x-4in2x=Uos(4x+-

224442I6

-TTKTVTT

对于选项A：令Ax+—=kn,keZ,解得x=------,keZ,

6424

所以曲线y=/(x)的对称轴为x=7—eZ,故A错误;

717兀3兀

对于选项B：因为H■—€

6~6,~2

且3；=(：05%在今］内单调递增，所以/(X)在区间［巳,上单调递增，故B正确；

对于选项C：当4x+^=2械左eZ,即x=g—时，/(x)取到最大值为，故C正

确；

对于选项D：令4x+£=E+］#eZ,解得x=，+A#eZ,可知/(x)的零点为

_kit兀7

x----1---€ZJ，

412

则/(x)在区间［0,2可上的零点为三,…,等，共8个，结合A可知，这些零点均关于直线

237r

X=----,

24

2323

所以/(x)在区间［0,2兀］上的所有零点之和为4x2x讶兀=§兀，故D错误；

故选：BC.

6.(2024下•广东•江门一模)函数/(X)的定义域为R,对任意的x,了，恒有

/(x+y)=/(x)//(旧成立.请写出满足上述条件的函数/(X)的一个解析

式.

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【答案】/(x)=sinx(答案不唯一)

【解析】

【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令/(x)=sinx,根据两

角和的正弦公式及诱导公式证明即可.

【详解】依题意不妨令〃x)=sinx,

贝+=sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，

=sinxcosy+cosxsiny,

所以/(X+y)=f(x)f仁-yJ+/仁-XJ/(y),故/(x)=sinx符合题意.

同理可证明/(x)=sin5x,/(x)=sin9x,­•■,也符合题意.

故答案为：/(x)=sinx(答案不唯一)

7.(2024下•广东•深圳市一模)若函数/(x)=sin(ox+9)0〉0，M＜］的最小正周期为兀,

其图象关于点内-,0中心对称，则。=

【答案】-£71

3

【解析】

【分析】由三角函数的周期公式求出3=2,再由正弦型函数的对称中心即可求出0.

【详解】由7=二=兀(。＞0)得,a)=2,所以/(x)=sin(2x+e),

又/(x)=sin(2x+e)的图象关于点中心对称，

4-714ITII7T

所以--■卜cp=ku,keZ,解得cp=---~卜kii,keZ,又|。|〈万’

所以，k=\,(p=---.

3

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TT

故答案为：-；

3

jr7IT

8.（2024下•广东•省一模）已知函数/（x）=sin（Gx+0）（G>O）在区间（一,——）上单调，且满足

612

3兀

=-1,/（彳）=0,则①=

【答案】-

7

【解析】

【详解】依题意，/（X）min=/（a=一1，而函数/（X）在（，:女上单调，

则函数/（x）的最小正周期722（患—今）=?，又/（弓）=0,=

因此工=乂，解得7=乂，所以。="=9

4123T7.

故答案为：一

7

Ijr।/兀兀）

9.（2024下•广东•茂名市一模）函数〃x）=2sin"x+zJ（0>0）在区间上有且只

有两个零点，则①的取值范围是.

【答案】［y,5ju1723

T5T

【解析】

【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.

由于/（x）在区间?上有且只有两个零点，所以

即乌〈巴〈里=>3<刃<9,由/(x)=0得，cox+—=kTi,keZ,

CD3CD6

兀兀〃)71TICD71

VXG5+一£——+—,——+—

466626

<解得—<(W<5或—<(W〈—,

》TIG71cc冗①714333

2兀<----1——<3TI3兀<----1■一<4TI

26〔26

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1723

所以①的取值范围是T5T

故答案为:为肾

题型03函数y=/sin®x+°）的图像与应用

1.（2024下•广东・番禺）若函数/（x）=sin[2x+：J的图象向左平移加（加＞0）个单位长度后，其

图象与函数g（x）=cos2x的图象重合，则加的值可以为（）

5兀2兀兀71

A.--B.--C.一D.一

6336

【答案】D

【解析】

【详解】由题可得/（X+加）=sin12x+2加+1]的图象与函数g（x）=cos2x的图象重合,

则/（掰）=sin|2”？+巴|=g（0）=1,即2加+4=巴+2^71,左eZ,

V6J62

TT7T

解得冽二一+左兀，keZ,故加的值可以为一.

66

故选：D.

2.（2024下•广东•广州天河区一模）（多选）已知函数/（X）=2COS（0X+。）的部分图象如图所示,

则（）

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C./(x)的图象可由g(x)=2sin2x的图象向左平移1个单位长度得到

D.函数尸(x)=+的最小值为一"I

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据周期可得代入最值点可得e=-113兀+2E,进而根据函数的不等式即可根据周期,

6

单调性以及平移求解ABC,利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D.

【详解】由图可得：4=2,

3T13兀71

又,彳=五一3'口＞0，

2兀

T=71,又7二—，•二疗2,

CD

y=2cos(2x+0),

将I等，2)代入y=2cos(2x+cp)得cos13兀

=1,

口厂13兀…,一

即---卜(p=2历I,kwZ,

6

口c13兀…“

即(p------F2kn,k£Z,

6

/(%)=2cos[2x—+2左兀)=2cos[2x—?71

6

对于A,最小正周期丁二2=兀，故正确;

2

兀3兀兀

对于B,令2左兀一兀42x---«2左兀，k£Z,解得^71----VxV左兀+—,k£Z,

61212

5兀715兀71

可得/(X)的单调递增区间为kK--,kK+—,keZ,当左=0时，单调递增区间为一不，不

JL，JL，JL乙JL，

故B正确；

TT

对于C,函数V=2sin2x的图象向左平移一个单位长度，所得到的函数解析式为：

3

TT27r7T

j=2sin2(x+,)=2sin(2x+—)=2cos(2x+~)^f(x))故C不正确；

对于D,

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+2sin2x=V2(COSx+sinx)+4sinxcosx,

令"cosx+sinx=V2sin,所以

V2?9

F(x)=V2(cosx+sinx)+4sinxcosx=6t+2{2-l2t2+M-2=2t+

4J4

9

故最小值为，D正确,

4

故选：ABD

3.(2024下广东•江门一模)(多选)已知函数

/(%)=sin2cox+—+sin12cox-J-j+2A/3cos2ox—G(o〉0),则下列结论正确的是()

I3

A.若/(x)相邻两条对称轴的距离为;，则①=2

B.当°=1,xe0,—时，/(x)的值域为卜百,21

的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为巳

C.当&=1时,/(x)1y=2cos12x+

6

D.若/(x)在区间0,£上有且仅有两个零点，则5«。＜8

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合各选项的条件及正弦函数的性质计算可得.

【详解】因为/(x)=sin2a)x+—+sin2cox--+2-73cos2a>x-V3

=sin2a)xcos—+cos2a)xsin—+sin2a)xcos--cos2<z)xsin—+V3cos2a)x

3333

=2p_sin2ox+巫、

二sin2a)x+也cos2Gxcos2Gx=2sin2cox+—,

22JI

rji

对于A：若/(x)相邻两条对称轴的距离为T，即'=］，所以丁=兀，

则7=女=兀，解得。=1,故A错误；

2co

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i7T।7C

对于B：当G=1时/(x)=2sin[2x+§J,又xe09—,

所以2X+大£—,所以sin[2x+公]£—,则/(x)的值域为卜6,21，故B正确;

JDD\JJ

jr

对于C：将/(x)=2sin[2x+g的图象向左平移一个单位长度

6

71兀八八71,,

得到y=2sin2^x+-^-j+j-=2sin12x+(J=2sin~~~FI2x+-I—2cosI2x+-I,故C

正确;

兀jl7T7T71

对于D:由工£0,—,69>0,所以2GXdE—,—CDH

63333

又/（X）在区间0,y上有且仅有两个零点,

6

兀71

所以2兀W—。+—<3兀，解得5<。<8,故D正确.

33

故选：BCD

题型04三角恒等变换

1.（2024下广东•广州天河区一模）己知Gsina+costz=<a（型，则cosa=（

536

3+4行3-473

10

3G+4D373-4

10.10

【答案】B

【解析】

【详解】因为Qsina+cosa=9,巴<a<2,

536

故2sin(a+^)=(，则sin(a+看)=?,

715冗ITIT7T4

而一<a<———<a+—<7i,故cos(a+—)=——

362665

兀/71.兀./兀、.兀

故cosa二cos(