电磁场与电磁波3

第3章静电场分析以矢量分析和亥姆霍兹定理为根底，讨论静电场〔包括恒定电场〕的特性和求解方法。2024/5/291主要内容建立真空、电介质和导电媒质中电场的根本方程，以及电介质和导电媒质的特性方程、电场的边界条件。(3.1静电场分析的根本变量3.2真空中静电场的根本方程3.8电介质的极化极化强度 3.9介质中的高斯定律边界条件3.10恒定电场的根本方程边界条件)2024/5/292主要内容将静电场的求解归结为电位问题的求解，导出电位的微分方程，边值问题的求解(3.3电位函数3.4泊松方程拉普拉斯方程3.7唯一性定理)电场根本方程在电磁工程问题中的应用〔3.11导体系统的电容3.12电场能量静电力〕2024/5/2933.1静电场分析的根本变量分析静电场的根本变量一个源变量:ρ(r)(标量性质的)两个场变量:E(r)和D(r)或J(r)E(r)表示电场对带电质点产生作用的能力。D(r)或J(r)描述构成物质的带电粒子在电场作用下出现移动或运动现象的另一场量。2024/5/2943.1静电场分析的根本变量电介质内束缚电荷在电场作用下出现移动现象，电位矢量D(r),电介质的特性方程D(r)=

E(r),ε为电介质的介电常数。真空中的电位移D0(r)=

0E(r)。导体内自由电子在电场的作用下运动形成电流，电流密度矢量J(r),导体的特性方程J(r)=

E(r),

为导电媒质的电导率。2024/5/2953.2真空中静电场的根本方程分析求解电磁场问题的两种方法：积分方程法微分方程法矢量场的根本方程积分形式：矢量在闭合面上的通量特性和矢量在闭合回路上的环流特性。微分形式：矢量的散度和矢量的旋度2024/5/2963.2真空中静电场的根本方程真空中静电场的根本方程积分形式真空中的高斯定理静电场的环路定理真空中的特性方程2024/5/2973.2真空中静电场的根本方程证明：立体角球面上面元对球心的立体角

Sr(球面度)

整个球面对球心的立体角为4π。2024/5/2983.2真空中静电场的根本方程非球面上面元对球心的立体角立体角是一个代数量

任意闭合面对一点的立体角为4π〔点在闭合面内〕或0〔点在闭合面外〕2024/5/2993.2真空中静电场的根本方程闭合面的电位移通量无界真空中的点电荷q在闭合面内q在闭合面外2024/5/29103.2真空中静电场的根本方程无界真空中的点电荷系N个点电荷，其中k个闭合面S2024/5/29113.2真空中静电场的根本方程无界真空中的体电荷 静电场的闭合面的通量仅与面内的电荷有关。2024/5/29123.2真空中静电场的根本方程闭合回路的环流无界真空中的点电荷

由电场的可叠加性，可知点电荷系或连续分布的电荷的电场也满足上式。即静电场的闭合回路的环流为零。2024/5/29133.2真空中静电场的根本方程物理意义：静电场E穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围电荷量有关在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零——静电场为保守场。〔电力线不构成闭合回路〕静电场的根本性质： 真空中的静电场是有散无旋场，其散度源是电荷体密度。2024/5/29143.2真空中静电场的根本方程微分形式由散度定理和斯托克斯定理可得 根据亥姆霍兹定理，在场源的条件下，通过D0＝0E联立求解两矢量方程可求得E。2024/5/29153.2真空中静电场的根本方程当电荷分布具有一定称性，选择适当的坐标系，使

D0或E只有一个坐标分量，具仅是该坐标的函数时，可以证明E自动满足因此，可由或获得场解。2024/5/29163.2真空中静电场的根本方程利用高斯定理求解静电场 关键：高斯面的选择。 高斯面的选择原那么：场点位于高斯面上；高斯面为闭合面；在整个或分段高斯面上， E或E·dS为恒定值。2024/5/29173.2真空中静电场的根本方程静电场的根本方程： 完整地反映出了静电场的根本性质， 是分析求解静电场问题的根底。根本方程的积分形式和微分形式可互相转换。积分形式反映了一定区域内的整体性质，而微分形式反映出场中每一点的特性。在不同媒质的分界面上或有面电荷分布之处，微分形式方程不适用，而积分形式仍适用。2024/5/29182024/5/29192024/5/29202024/5/29212024/5/29222024/5/29233.3电位函数电位函数的定义由可令2024/5/29243.3电位函数两点的电位差

两点之间的电位差等于在电场力作用下移动单位正电荷从起点到终点所作的功。假设选P点为电位的参考点〔P＝0〕，有2024/5/29253.3电位函数说明：电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；“－”表示电场指向电位减小最快的方向。电位具有明确的物理意义，它表示将正电荷从场点移动到参考点时电场力所做的功。

电位具有相对意义，在同一个静电场中，各点的电位值与参考点的选取有关。但场中两点之间的电位差是绝对的，与参考点的选择无关。2024/5/29263.3电位函数电位的计算公式点电荷的电位2024/5/29273.3电位函数假设电位参考点在无穷远处， 即 式中2024/5/29283.3电位函数体电荷面电荷线电荷式中：当电荷分布在有限区域，假设参考点在无穷远处，c=0。上三式可分别由〔〕、〔〕、〔〕直接给出。2024/5/29293.3电位函数关于电位参考点的说明：电位参考点的选择具有一定的任意性，但要使电位的表达式有意义，即除个别特殊的点外，不能出现无穷大的电位值；应使电位的表达式尽可能简单。当电荷分布在有限区域内时，通常选择无穷远处为电位参考点；在电荷分布到无限远时，选有限区域中的点作为参考点。工程上一般取大地为电位参考点。同一个问题中只能选择一个电位参考点。2024/5/29303.3电位函数电位由源分布的标量积分计算。一般情况下较矢量积分简单。 引入电位函数的意义：简化电场的求解！求解电场时，可先求电位函数，然后计算电位函数的负梯度便得到电场变量。2024/5/29312024/5/29322024/5/29332024/5/29342024/5/29353.4泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称 为拉普拉斯运算。记作： 式中称为拉普拉斯算符。式中：2024/5/29363.4泊松方程拉普拉斯方程在直角坐标系中：2024/5/29373.4泊松方程拉普拉斯方程柱面坐标系下的拉普拉斯运算球面坐标系下的拉普拉斯运算2024/5/29383.4泊松方程拉普拉斯方程矢量场的拉普拉斯运算 在直角坐标系中：2024/5/29393.4泊松方程拉普拉斯方程静电场电位方程的建立即：电位的泊松方程在无源区域，电位的拉普拉斯方程2024/5/29403.4泊松方程拉普拉斯方程场的求解：无界空间：仅由源分布可确定场分布，采用场源积分法。有界空间：由源分布和边界条件确定场分布。在给定边界条件下求解有界区域内的场分布问题，称为边值问题〔第4章〕。2024/5/29413.4泊松方程拉普拉斯方程静电场的边值问题： 在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。即电位的偏微分方程可用于求解静电场的边值问题。边值问题的求解方法： 直接求解法〔偏微分方程退化或通过别离变量法转化为常微分方程〕和间接求解法〔等效法〕，不同方法适合不同的问题。2024/5/29422024/5/29432024/5/29443.4泊松方程拉普拉斯方程小结：求空间电场分布的方法场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。2024/5/29453.5点电荷的

函数表示格林函数单位点电荷的函数表示:〔将点电荷视为分布电荷的特例。〕2024/5/29463.5点电荷的

函数表示格林函数格林函数 单位点电荷产生的电位函数应满足的泊松方程为格林函数的定义和满足的微分方程2024/5/29473.5点电荷的

函数表示格林函数由无界空间中单位点电荷产生的电位可得在无界空间内格林函数的解为2024/5/29483.6格林定理泊松方程的积分公式格林定理 由矢量场的散度定理 令2024/5/29493.6格林定理泊松方程的积分公式可得格林第一恒等式格林第二恒等式2024/5/29503.6格林定理泊松方程的积分公式引入格林函数后，可以把微分方程转化为积分方程。利用格林第二恒等式和

函数的性质可得有限空间内泊松方程的积分解为2024/5/29513.6格林定理泊松方程的积分公式无界空间内泊松方程的积分解为有界空间内拉普拉斯方程的积分解为2024/5/29523.7唯一性定理静电场的边值问题在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解，这种求解称为偏微分方程法。2024/5/29533.7唯一性定理解的存在性： 从工程实际中抽象出的电位边值问题，其解是一定存在的。解的唯一性： 在什么条件下，边值问题才有唯一的解。2024/5/29543.7唯一性定理边界条件的类型第一类，给定整个边界上电位的值。第二类，给定整个边界上电位的法向导数值。第三类，给定一局部边界上电位的值，而给定另一局部边界上电位的法向导数值。2024/5/29553.7唯一性定理对于导体边界，上述三类边界为：给定各导体外表的电位； 给定各导体的总电量; 给定一局部导体的电位和另一局部 导体的电荷量。说明：假设对同一面积，同时给定和的值，那么不存在唯一解。2024/5/29563.7唯一性定理唯一性定理 当在场域中电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上满足三类边界条件之一时，电位是唯一的。2024/5/29573.7唯一性定理证明格林第一恒等式令式中得2024/5/29583.7唯一性定理对于拉普拉斯方程，有得2024/5/29593.7唯一性定理 利用反证法，假定有两个解

和

'

满足拉普拉斯方程和边界条件,两解的差

"=

-

'

也满足所以有2024/5/29603.7唯一性定理在第一类边界条件下，在边界S上

"=

-

'=0即故即

"为常数。由于

"在S上为零，所以

"为零，证明

=

'

，即解是唯一的。2024/5/29613.7唯一性定理在第二类边界条件下，在边界S上有同样有即"为常数。-'=C，对于电场来说，解也是唯一的。假设与'取同一个参考点，那么在参考点处那么C=0，即='在第三类边界条件下，可以得到同样的结果。2024/5/29623.7唯一性定理对于泊松方程仍假设有两个解

和

'满足泊松方程和边界条件,即有两式相减得到即

"应是拉普拉斯方程的解，用同样的方法可以证明解的唯一性。2024/5/29633.7唯一性定理唯一性定理的意义指出了静态场边值问题具有唯一解的条件。为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程〔泊松方程〕的理论依据。2024/5/29643.7唯一性定理在电荷分布和媒质具有一定对称性，使电位仅和一个坐标有关，即电位为一元函数时，偏微分方程退化为常微分。直接求解常微分方程，再由边界条件确定积分常数。2024/5/29652024/5/29662024/5/29672024/5/29683.8电介质的极化极化强度真空中的电场物质〔媒质〕中的电场导电媒质〔导电体或导体，自由电荷〕电介质〔绝缘体，束缚电荷〕有极性分子〔单个分子有电偶极矩，大量分子的统计平均呈电中性〕无极性分子(呈电中性)半导体2024/5/29693.8电介质的极化极化强度电场中的导体自由电荷在电场的作用下发生移动，外表出现感应电荷，导体内外的电场发生变化，很快到达静电平衡。到达静电平衡后，导体内净电荷为零，导体内电场为零，导体是等位体，导体外表是等位面，外表上的电场与外表垂直。导体壳可以起静电屏蔽作用。2024/5/29703.8电介质的极化极化强度电介质的极化 电介质在的外电场的作用下，介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规那么的分布，在外场作用下形成规那么排列。出现电偶极矩的统计平均值不为零的现象。2024/5/29713.8电介质的极化极化强度介质极化的种类第一种，电子极化〔电子云相对于原子核发生位移，存在于单原子介质和所有化合物〕第二种，离子极化〔正、负离子间发生位移，存在于所有化合物〕第三种，取向极化〔固有电矩在电场中定向排列，存在于局部化合物〕2024/5/29723.8电介质的极化极化强度2024/5/29733.8电介质的极化极化强度电场中的电介质发生极化，电介质极化的结果是产生宏观的附加电场，从而改变原来的电场分布。2024/5/29743.8电介质的极化极化强度描述电介质极化的两种模型〔等价的〕电偶极矩极化强度的定义

〔C/m2〕pav为分子的平均电矩，N为分子密度数。2024/5/29753.8电介质的极化极化强度两种电介质对于通常的介质，P受到介质中总的电场控制，实验证明其受控关系为 式中E为介质极化中的总电场，e称为极化系数，是一个无单位的比例系数。对于永久性极化体〔驻极化〕，P才是独立的变量。2024/5/29763.8电介质的极化极化强度极化电偶极矩在真空中产生的电位为2024/5/29773.8电介质的极化极化强度束缚电荷利用矢量恒等式和高斯定理，上式可改写为

式中(n由介质内指向介质外)分别称为束缚电荷体密度和面密度。2024/5/29783.8电介质的极化极化强度区域

中的束缚电荷为2024/5/29793.8电介质的极化极化强度如果介质不均匀或介质内存在场源电荷分布，那么介质内将会出现束缚电荷分布。介质均匀极化时，束缚电荷体密度为零。束缚电荷只出现在介质外表。2024/5/29803.9介质中的高斯定律边界条件无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定律。介质的极化过程包括两个方面：一方面外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；另一方面，极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并到达平衡状态。介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加。2024/5/29813.9介质中的高斯定律边界条件介质中的高斯定理由真空中的高斯定理

2024/5/29823.9介质中的高斯定律边界条件 引入辅助的电位移矢量有 上式为介质中的高斯定律。表示任意闭合曲面电位移矢量D的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和。 其微分形式为说明电位移矢量的源是自由电荷。2024/5/29833.9介质中的高斯定律边界条件当媒质与电荷分布具有相同的特殊对称性时，即自由电荷、束缚电荷或/和感应电荷都具有相同的特殊对称性时，可以用介质中的高斯定理方便地计算电场。2024/5/29843.9介质中的高斯定律边界条件物质的本构关系 介质中的电场的最终求解必须知道电场E和电位移矢量D之间的关系〔物质的本构关系〕。 对于线性均匀各向同性介质，极化强度P和电场强度E有简单的线性关系 称为电介质的介电常数，r称为相对介电常数，反映物质极化性能和存储电能能力的重要参数。2024/5/29853.9介质中的高斯定律边界条件对于线性各向异性介质，结构方程为

这里的D和E不再平行。2024/5/29863.9介质中的高斯定律边界条件介质中的静电场的环流量 束缚电荷产生的电场与自由电荷的电场有同样的性质，所以介质中的静电场的环流量也为零，即其微分形式为同样可引入电位标量函数2024/5/29873.9介质中的高斯定律边界条件在均匀、线性和各向同性的电介质内，

为常数由有即代入得介质中的泊松方程在自由电荷为零处有2024/5/29883.9介质中的高斯定律边界条件场与源的关系：E的源是自由电荷和束缚电荷P的源是束缚电荷D的源是自由电荷2024/5/29892024/5/29902024/5/29913.9介质中的高斯定律边界条件静电场的边界条件不同媒质的分界面上总是要出现束缚电荷或感应电荷面密度，其结果是使电场在分界面两侧发生跃变。分界面两侧场变量之间的关系称为媒质交界面上的边界条件。边界条件是边值问题定解的必要条件。2024/5/29923.9介质中的高斯定律边界条件在两种不同媒质的分量面上，场量会产生突变，根本方程的微分形式不适用于媒质分界面。边界条件由电场的根本方程的积分形式导出。把分界面上的场分量分解为切向分量和法向分量，分界面的法线正方向为由媒质2〔2〕指向媒质1〔1〕。2024/5/29933.9介质中的高斯定律边界条件D的边界条件

为分界面上自由电荷面密度，不包括极化电荷。2024/5/29943.9介质中的高斯定律边界条件假设媒质为理想媒质， 边界面上不存在自由电荷， =0 那么 即D法向连续。2024/5/29953.9介质中的高斯定律边界条件E的边界条件〔E在图面内〕结论：E的切向总是连续。2024/5/29963.9介质中的高斯定律边界条件讨论：理想介质分界面的边界条件〔＝0〕电场与法线的夹角关系2024/5/29973.9介质中的高斯定律边界条件导体分界面的边界条件导体内 导体外2024/5/29983.9介质中的高斯定律边界条件电位边界条件由于介面处的电场为有限值，当两点距离∆l0时，有2024/5/29993.9介质中的高斯定律边界条件理想介质分界面的边界条件〔＝0〕导体外表2024/5/291002024/5/291012024/5/291023.9介质中的高斯定律边界条件电容的两种计算方法：假设极板上的电荷Q， 按的步骤计算。 当场分布具有对称性时，这种方法最简便；假设极板间的电压U，解电位

的边值问题，按的步骤计算。2024/5/291033.10恒定电场的根本方程边界条件恒定电场恒定电流空间存在的电场。恒定电场的根本量 E、J恒定电流种类导电媒质中的恒定电流(传导电流)真空中电子或离子形成的电流〔运流电流〕2024/5/291043.10恒定电场的根本方程边界条件恒定电场的根本方程电流连续方程保守场方程2024/5/291053.10恒定电场的根本方程边界条件特性方程 由欧姆定律 和 得〔欧姆定律的微分形式〕其中为导电媒质的电导率。 恒定电场不同于静电场，可存在于导体内部和外部。2024/5/291063.10恒定电场的根本方程边界条件导电媒质的分类当，为理想导体，E＝0。＞1107S/m，为良导体〔≈0〕。＜＜1，〔漏电〕电介质，实际上任何材料都有一定的电导率和介电常数。0，为理想〔完纯〕电介质。2024/5/291073.10恒定电场的根本方程边界条件2024/5/291083.10恒定电场的根本方程边界条件均匀导电媒质中，

、为常量

由可得 即稳态下均匀导电媒质中没有自由电荷密度。2024/5/291093.10恒定电场的根本方程边界条件导电媒质焦耳功率损耗密度。 小体积元内，产生的焦耳热功率为：单位为W/m2。2024/5/291103.10恒定电场的根本方程边界条件电源的电动势 要保持稳定的电流，必须为 电荷运动提供能量。电源为 稳恒电流提供能量。电源内外：恒定电场E

电源内：非库仑力F'的等效电场E'＝

F'/q2024/5/291113.10恒定电场的根本方程边界条件恒定电场的边界条件在导体或不同导体的分界面上，一般有面电荷分布，所以在分界面处J和E是不连续的。由恒定电场的两个根本方程的积分形式可导出边界条件。用类比方法推导恒定电场边界条件。2024/5/291123.10恒定电场的根本方程边界条件J的边界条件

2024/5/291133.10恒定电场的根本方程边界条件E的边界条件2024/5/291143.10恒定电场的根本方程边界条件E或J的折射关系 结合J和E的边界条件可得 在理想导体外表上， ，10 J和E都垂直于边界面 (与静电场中的导体一样)。2024/5/291153.10恒定电场的根本方程边界条件电位的边界条件2024/5/291163.10恒定电场的根本方程边界条件静电场和恒定电场性质比较相同点： 场性质相同，均为保守场； 场均不随时间改变； 场均不能存在于理想导体内部。2024/5/291173.10恒定电场的根本方程边界条件不同点： 源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为运动电荷(均匀导电媒质中，净电荷只出现在导电媒质外表)。 存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体〔为有限值〕内。2024/5/291183.10恒定电场的根本方程边界条件 静电场是静止电荷产生的场，带电体充有电荷后，就不再需要外电源提供能量。恒定电场是恒定流动的电荷所产生的电场，由于导体内的电荷流动要消耗能量，所以必须有外电源提供能量才能维持导体中的电荷作恒定流动。 恒定电场中，导电媒质内存在恒定电流，各点的电位不同。因而，导体不再是等位体，导体外表也不是等位面，这一点与静电场是完全不同的。恒定电场中的理想导体与静电场中的导体一样。2024/5/291193.10恒定电场的根本方程边界条件在导电媒质中，两电极间的电导(电阻的倒数)定义为2024/5/291203.10恒定电场的根本方程边界条件导电媒质中，计算电导的三种方法：假设两电极间流过电流I， 按的步骤计算；假设两电极间的电压U， 按的步骤计算；根据静电比较， 利用计算。2024/5/291212024/5/291222024/5/291232024/5/291242024/5/291252024/5/291263.11导体系统的电容在线性、各向同性电介质中，两个导体电极形成的电容器的电容定义为

电容的大小与导体的形状、尺寸、相互位置以及周围介质有关，与电荷和电压无关。2024/5/291273.11导体系统的电容在多导体静电系统中，电容的概念有所扩展，引入局部电容的概念。 局部电容又分为自(有局部)电容和互(有局部)电容。N个位置、形状与周围介质不变的多导体系统和一个接地导体的结构，取接地导体的电位为零。2024/5/291283.11导体系统的电容设各导体带有电量qi,各导体的电位为

式中pij为常数(为正值)，称为电位系数，与所有导体的形状、位置以及周围的介质等几何条件有关。2024/5/291293.11导体系统的电容对上面N个方程求解，可得各导体上的电荷量

βii称为电容系数βij称为感应系数〔具有互易性〕2024/5/291303.11导体系统的电容引入符号Cij=-βij,Cii=βi1+βi2+…+βiN,方程组可改写为多导体系统中，每一导体与地之间和它与其他导体间均存在局部电容。Cij称为互有局部电容〔具有互易性〕，Cii称为自有局部电容。2024/5/291313.11导体系统的电容一个多导体静电系统等效为一个多端电容网络。导体1、2两端的电容导体1和地两端的电容导体2和地两端的电容 用实验测得C1、C2及C3后，由此可算得各局部电容。2024/5/291323.11导体系统的电容假设多导体系统的介质是漏电媒质(有一定的电导率)，且设导体电极为理想导体，那么在恒定电场的条件下，引入局部电导(自电导和互电导)的概念，利用对偶关系，可将多导体恒定电场系统等效为一个多端电导网络。2024/5/291333.11导体系统的电容二导体系统的等效电导网络其中G11、G22为自电导，G12为互电导。2024/5/291343.12电场能量静电力电场能量电场对电荷有作用力，这说明电场具有能量。电场能量存在于电场所在区域内。电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。2024/5/291353.12电场能量静电力电场能量的计算式假设导体及介质的位置都是固定的，介质是线性的，系统最终建立时，自由电荷分布为

，电位为

在充电过程中，设各点的电荷和电位按同一因子

增加，整个充电过程对应

从0到1。在

到

+d

微分过程中，整个空间增加的能量为2024/5/291363.12电场能量静电力整个充电过程增加的能量就是系统的总能量假设电荷分布在外表上，那么 (尽管积分仅限于电荷不为零的区域，但不能认为静电能量仅存在于带电体内，其被积函数也并不表示电场能量密度。)2024/5/291373.12电场能量静电力假设是带电导体系统，那么假设是点电荷系统，那么注意：前面给出的静电场的能量是静止电荷所具有的静电位能，与参考点有关。 式中的

i为除第i个点电荷之外的其余电荷在点电荷qi处所产生的电位之和。2024/5/291383.12电场能量静电力对于电容器即可由电容器的静电能计算电容器的电容。2024/5/291393.12电场能量静电力静电场能量的另一表达式2024/5/291403.12电场能量静电力 只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时， 故 由于E、D与电位位参考点无关，上式给出的静电场能的唯一确定值。 对于不能选无穷远点为电位参考点的问题，上式不适用。2024/5/29141