2024年高考数学复习：8类导数大题综合

题型098类导数大题综合

(证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、

隐零点、极值点偏移)

L-----------------------------------------------------------------------

I技法01利用导数证明不等式.

I技法02利用导数研究恒成立问题.

I技法03利用导数研究能成立(有解)问题,

|技法04利用导数研究函数的零点问题.

।技法05利用导数研究方程的根，

I技法06利用导数研究双变量问题,

|技法07导数中的隐零点问题•

|技法08导数中的极值点偏移问题.

技法01利用导数证明不等式

喟3•常见题型解读

不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的

作用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难

度中等，是高考中的常考考点，需强加练习"

02

跟我学•解题思维剖析

(2021•全国•统考高考真题)

例1.设函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=^(x)的极值点.

(1)求a；

X+f(x)

(2)设函数g(x)=———.证明:g(x)<l.

XJ(X)

解题

技巧点拨

(1)a=1

(2)［方法一］:转化为有分母的函数

x+ln(l-x)=而「,其定义域…)U(°,i).

由(I)知,g(%)=

xln(l-x)

要证g(x)<l,即证而、+卜1，即证而%<一x-1

X

试卷第1页，共21页

⑴当xe(O,l)时二1<0,即证Ina-x)〉上7.令尸(x)=ln(l-尤)--—,

In(l-x)xx-1x-1

—1—1x

因为k(x)=^——-—-7=-―-T>0,所以尸(X)在区间(0,1)内为增函数，所以

1-x(x-1)(X-1)

F(x)>F(0)=0.

]y—1Y

(ii)当xe(-8,0)时，——->0,土」>0,即证ln(l-x)>」一,由(i)分析知尸(x)

ln(l-x)x尤-1

在区间(-吗0)内为减函数,所以尸(乃>。(0)=0.

综合⑴(ii)有g(x)<l.

［方法二］【最优解工转化为无分母函数

由⑴得/(x)=ln(l-x),g(x)=x<l且xwO，

xx[f/{x(}：)xln(l-x？)

/、x+ln(l-x),、

当xe(0,l)时，要证g(x)=­•.-x>0,ta(l-x)<0?.xln(l-x)<0,即证

xIn(1—x)

x+In(1-x)>xIn(1-x),化简得x+(l-x)ln(l-x)>0；

/、x+ln(l-x)/、

同理，当X£(—8,0)时，要证g(x)=——7T----/<1,vx<0,ln(zl-x)>0,.\xln(l-^)<0,

xIn(1—x)

BPffi^+ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l_x)ln(l_X)〉0；

令〃(%)=%+(l-x)ln(l-x),再令％=l—x,则/E(O,1)U(1,+8),x=\-t,

令9(f)=l一/=-1+ln^+1=InZ,

当fe(O,l)时，9'(/)<0,0(/)单减，故夕(。>夕(1)=0；

当fe(l,+8)时，夕'«)>0,夕单增，故夕«)>°(1)=0；

综上所述，g(x)=--7^-J<1在Xe(F,0)U(0,1)恒成立.

[方法三]:利用导数不等式中的常见结论证明

令0(x)=lnx-(x-l),因为“(劝=上一1=—,所以o(x)在区间(0,1)内是增函数，在

XX

区间(1,+与内是减函数，所以9(x)4。⑴=0,即lnx4x-l(当且仅当尤=1时取等号).故

当x<l且xwO时，」一>0且ln-!-<---1,即一ln(l-x)(上，所以

X1—X1—X1—X1—X

X

X—1

Y1X-l111

(i)当x£(0,1)时，0〉ln(l-x)>------,所以―；-----C<------=1-----，即TTi------7+—<1,

x-lln(l-X)xxln(l-x)x

所以g(x)<L

试卷第2页，共21页

x

(ii)当％£(-°°,0)时，ln(l—x)>------>0,同理可证得g(x)<l.

x-1

综合(i)(ii)得，当x<l且xwo时，即g(x)<l.

xln(l-x)

喘然福•知识迁移强化

（全国・高考真题）

1.已知函数/(x)=ae*-加-1.

（1）设x=2是“X）的极值点.求。，并求/（x）的单调区间;

（2）证明：当。之,时,/（x）>0.

e

（2023•山东泰安・校考模拟预测）

2.已知函数/（x）=（相+l）x-〃71nx-机.

（1）讨论〃x）的单调性；

⑵证明：当m£1,且x>1时，f（x）<e*T.

（2023•河北・统考模拟预测）

3.已知函数〃x）=Tn（ax）+ax-2（a30）.

⑴讨论〃x）的极值；

（2）当0>0时，证明：f（x）>Inx-xex+>+sinx+1.

技法02利用导数研究恒成立问题

$♦常见题型解读

利用导数研究恒成立问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习“

02

跟我学•解题思维剖析

（2020・新高考二卷•高考真题）

例2.已知函数/（%）-Inx+lna.

（1）当a=e时，求曲线了=/（无）在点（1J。））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面

积；

（2）若不等式恒成立，求。的取值范围.

试卷第3页，共21页

技巧点拨o

(2)［方法一］：通性通法

Qf(x)=aex~l-Inx+Ina,f'{x}=aex^1--,J=La>0.

X

设g(x)=，(x),则如x)=aeZ+±>0,

X

.1.g(x)在(0,+s)上单调递增，即/'(X)在(0,+s)上单调递增，

当a=l时，/'(1)=0,/⑴=1,...〃司21成立.

1111-1

当a〉］时，一<］，•61v［，_)f'(y)—。(y—l)(a—1)<0,

a・・&&ia

...存在唯一%>o,使得/'(%)=四'。7-工=0,且当xe(0,x0)时/'(x)<0,当

X。

x-1

x£(Xo，+oo)时/'(X)〉0,/.tze°=—,/.Intz+x0-1=-Inx0,

x0

因此/(x)^=f(x0)=ae%T-In/+Ina

----nlna+Xo-1+lna221nq-1+2/—,%=21na+l>l,

/V^o

.：/(x)>l,恒成立;

当0<a<1时，/(l)=a+lnfl<a<l,/./(I)<l,/(x)>1不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是口，+oo).

［方法二］【最优解】：同构

由/'(x)N1得aeA-1-Inx+Ina>1,即e,na+x~1+lna+x-l>lnx+x，而lnx+x=elax+Inx,

所以e'^-1+lna+x-l>e'DX+Inx.

令〃(加)=e"+机，则〃'(m)=e'"+l>0,所以"(加)在R上单调递增.

由eiT+lna+x-l>*+lnx,可知如na+x-l)N/z(lnx),所以lna+x-1NInx,所

以lna±(lnx-x+l)max.

11—V

令尸(x)=lnx-x+l,则尸(尤)=一一1=-

XX

所以当X€(0,1)时，F(x)>o,F(x)单调递增；

当无e(l,+s)时，P(x)<0,尸(x)单调递减.

所以［尸(X)LL万⑴=0,则InaNO,即a"

所以。的取值范围为a21.

［方法三］：换元同构

试卷第4页，共21页

由题意知a>0,x>0,令ae'T=t，所以Ina+%—1=Inf,所以lna=ln£-%+l.

于是f(x)=aex~x-lnx+ln«=^-Inx+lnZ-x+l.

由于/(%)21"-lnx+ln，-x+1210，+ln，2x+lnx,而y=x+lnx在xe(O,+8)时为

Y

增函数，故即叱分离参数后有丑尸

e^-xe^_ex-l(l-x)

令g(x)=W所以g'(x)=

瞪一2

e2x~2

当0<x<1时,g'a)>O,g(x)单调递增;当x〉l时，g'(x)<O,g(x)单调递减.

所以当X=1时，g(x)=W取得最大值为g⑴”所以a"

［方法四］:

因为定义域为(0,+8),且/(x)21,所以/⑴21,即a+lnaNl.

令S(a)=a+lna,贝|9(。)=1+，>(),所以5(a)在区间(0,+s)内单调递增.

a

因为S(l)=l,所以〃21时,有S⑷2S⑴,即〃+ln〃NL

下面证明当时，/(x)»l恒成立.

令T(a)=aex~x-Inx+lna,只需证当a21时，T(a)21恒成立.

因为r(«)=er-1+->0,所以7(。)在区间口,+网内单调递增，则

a

1

[Ha)]mfa=ni)=^-lnx.

因此要证明aNl时,恒成立,只需证明［7(。)］皿=e1-Inx21即可.

由e"2x+l,lnx4x-l,得—>x,-\nx>］-x.

上面两个不等式两边相加可得ei-lnx21,故时，/(x)Nl恒成立.

当0<a<l时，因为/(l)=a+lna<l,显然不满足/(x)21恒成立.

所以。的取值范围为

片篇「知识迁移强化

(2023•全国•统考高考真题)

,一7“„、sinx

4.已知函数/(zx)=ax-----

cosx

(1)当a=8时，讨论/(x)的单调性;

(2)若/(x)<sin2x恒成立,求。的取值范围.

(2020•全国•统考高考真题)

试卷第5页，共21页

5.已知函数/(x)=e"+od-

(1)当4=1时，讨论了(%)的单调性；

⑵当转0时，/(x)>1^+1,求0的取值范围.

(2023•广东惠州•统考一模)

2

6.已知函数〃尤)=厂+；：+".

⑴当a=2时，求“X)在(-1/(-1))处的切线方程;

(2)当xNO时，不等式/(x)W2恒成立，求。的取值范围.

技法03利用导数研究能成立(有解)问题

喟露•常见题型解读

利用导数研究能成立(有解)问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强

加练习“

02

跟我学•解题思维剖析

(全国•高考真题)

例3.设函数a>0,6>0,,曲线>=/(x)在点(1，1⑴)处的切线斜率为0求6;若存在

%21,使得了(%)〈二，求。的取值范围.

a-1

/W的定义域为(0,+00),f(x)=a\nx+-^-x2-x,

/'(%)=巴+(1-a)x-1=---(x--1)

xx1-a

⑴若贝故当xe(l,+s)时，/'(x)>0,/⑴在(1,+切)单调递增,

21-a

所以，存在xgl,使得/(/)<三的充要条件为了⑴<」彳，即

a-1a-\2a-1

所以-血一1<。〈收-1.

(ii)若贝故当)时，/'(x)<0;

21-aT-a

当xe(F，+s)时，f'(x)>0,在单调递减，在(J_,+s)单调递增.

所以，存在使得“X。)〈三的充要条件为

a-11一。a-1

试卷第6页，共21页

.、1Q/aa

而/(---)=aln------+----------+------->------,所以不合题意.

1—(21—〃2(1—Cl)Q—1Q—1

/…、_++*rt八/Y、1—QY—Q—1a

(ill)右。〉1,则/⑴—1=--■—<---

22a-1

综上，a的取值范围是(-亚-1,6-l)U(l,+8).

哈鲁i•知识迁移强化

(2023•山东青岛・统考模拟预测)

7.已知函数/'(x)=ei-lnx.

⑴当“=0时，求曲线了=/(无)在(1,/。))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

⑵若存在x°e[e,+oo),使/(%)<0成立，求。的取值范围.

(2023•安徽宿州•统考一模)

be

8.已知函数/(x)=x2+a(尤-In尤)--(e为自然对数的底数)，a,b&R.

x

⑴当6=0时，讨论/(无)在(0,+司上的单调性；

(2)当6=1时，若存在尤使/(x)>0,求a的取值范围.

(2023•四川宜宾•宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测)

9.已知/'(x)=(无一a-l)e*-；ax2+。一一1.(aeR)

⑴讨论的单调性；

(2)若a=-l,且存在无e(0,+oo),使得/(x)VInx++仅+l)x,求6的取值范围.

技法04利用导数研究函数的零点问题

叫•常见题型解读

利用导数研究函数的零点问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练

习“

02

(2023・全国•统考高考真题)

例4-1.函数〃x)=/+巾+2存在3个零点，贝I]。的取值范围是()

A.(-℃,-2)B.(-00,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

试卷第7页，共21页

技巧点拨o

【详解】/(x)=x3+ax+2,贝！J=3,+。，

若〃x)要存在3个零点，则/(x)要存在极大值和极小值，则K0,

令/，。)=3/+°=0,解得》=-行或行，

解得。<-3,

例4-2.已知函数/(x)=e"-a(x+2).

(1)当a=l时,讨论了(x)的单调性;

(2)若“X)有两个零点，求。的取值范围.

解题

技巧点拨o

(2)若/(x)有两个零点,即/-a(x+2)=0有两个解,

从方程可知，-2不成立，即"长有两个解,

/(x+1)

令僦无)=片_2)，则有"(X)=，'(：+?>

x+2(x+2)(x+2)2

令〃'(x)>0,解得尤>-1,令〃'(x)<0,解得x<-2或-2<无<-1,

所以函数〃(x)在(-巴-2)和(-2,-1)上单调递减,在(-1,+8)上单调递增,

且当x<—2时，h(x)<0,

而尤.—2+时，〃(x)f+co,当Xf+8时，”(无)—+<»,

X1

所以当。=上-有两个解时，有。>以-1)=—,

x+2e

试卷第8页，共21页

所以满足条件的。的取值范围是：(士+8).

e

力鲁•知识迁移强化

(2022•全国•统考高考真题)

10.已知函数/'(x)=ln(l+x)+«xeT

⑴当a=1时，求曲线了=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵若“X)在区间(T0),(0,。)各恰有一个零点，求a的取值范围.

(2022•全国•统考高考真题)

11.已知函数=——Inx+x-a.

⑴若/(x)20,求a的取值范围；

⑵证明：若/(X)有两个零点X1,三,则再马<1.

(2022•全国•统考高考真题)

12.已知函数/(x)=QX-'—(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求的最大值；

⑵若/(X)恰有一个零点，求。的取值范围.

技法05利用导数研究方程的根

•常见题型解读

利用导数研究方程的根是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加练习“

02

跟我学•解题思维剖析

(2021•全国•统考高考真题)

例5.已知"0且"1,函数〃x)=m(x>0).

a

(1)当a=2时，求/(x)的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.

解题

技巧点拨

(2)［方法一］【最优解工分离参数

试卷第9页，共21页

f(x)=-=1<=>=/<=>无Ina=aln设函数g(x)=,

axxax

则g'(x)J,令g'(x)=O,得x=e,

在(O,e)内g*)>0,g(x)单调递增;

在(e,+(»)上g'(x)<0,g(x)单调递减；

，g(x)s=g(e)=：，

又g⑴=0,当X趋近于+8时，g(x)趋近于0,

所以曲线>=/(》)与直线y=i有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=皿有两

a

个交点的充分必要条件是.o<—这即是o<g(。)<g(e),

ae

所以。的取值范围是(Le)U(e,+s).

［方法二］:构造差函数

由，=f(x)与直线>=1有且仅有两个交点知y(x)=i,即x"=优在区间(0,+s)内有两个

解，取对数得方程alnx=xlna在区间(0,+功内有两个解.

构造函数g(x)=。Inx-xIna,xe(0,+8),求导数得g(x)=--lna=-~些些.

XX

当o<a<i时，lna<0,xe(0,y»),a-xlna>0,g'(x)>0,g(x)在区间(0,+°°)内单调递增,

所以，g(x)在(0,+动内最多只有一个零点，不符合题意；

aa

当。〉1时，lnQ〉0,令g'(x)=0得x=-^―，当x£0,时,g'(x)>0；当xe--------,+OO

InaIinaIna

时，g,(x)<。;所以，函数g(X)的递增区间为。，冷,递减区间为

Ina)

_1_

由于0<e<1<-1-ea\na<0,

当x->+8时，有alnxcxlna,即g(x)<0,由函数g(x)=alnx-xlna在(0,+co)内有两

个零点知g岛卜、丘T〉。，所以J，

即a—eIna>0.

构造函数为(〃)=。-elna,贝［］/(q)=1_*一-,所以〃(。)的递减区间为(1,。)，递增区

aa

间为(e,+8),所以〃⑷之〃⑹=0,当且仅当。=e时取等号，故〃⑷>0的解为。〉1且

owe.

所以，实数〃的取值范围为(l,e)u(e,+oo).

［方法三］分离法：一曲一直

试卷第10页，共21页

曲线y=f(x)与>=i有且仅有两个交点等价为J=1在区间(0,+功内有两个不相同的

解.

因为/=优，所以两边取对数得alnx=xlna,即山》=皿，问题等价为g(x)=In尤与

PM=皿有且仅有两个交点.

a

①当0<a<l时，叱<0,以x)与g(x)只有一个交点，不符合题意.

②当a>1时，取g(x)=lnx上一点(x(),ln尤0),，(%)=一这'(马)=—一(》)在点伉,111%)的

切线方程为>Tn/——(x-x0),即)=一%-1+lnx0.

J1zy------,---=一

当〉=—%T+ln%0与p(x)=-r--n--为同一直线时有｛Q%得｛ae

%。6111八v_a

Inx0-1=0,

直线p(x)=3的斜率满足：0<叱<!时，g(x)=lnx与p(x)=3有且仅有两个

aaea

交点.

记力(。)=野•,〃'(Q)=1,令/⑷=0,有"e.4£(12),"'(〃)〉0,〃(4)在区间(1,。)内

单调递增；ae(e,+功,W(a)<Q,/z(a)在区间(自住)内单调递减；a=e时，〃⑷最大值为

g(e)=-,所当a>l且awe时有0<皿<、.

eae

综上所述，实数。的取值范围为(l,e)u(e,+8).

［方法四］:直接法

/(x)=5(x>°)J'(x)=axaA-ax-ax］na'Xa_xa~x｛a-x\n.d)

因为x>0,由/'(x)=0得尤==

当0<a<l时，/(%)在区间(0,+8)内单调递减，不满足题意；

当。>1时，支>0,由r(x)>0得0<x</Lj(x)在区间((),1-］内单调递增，由

InaIna<InaJ

/'(x)<0得X>&J(x)在区间(二,+8］内单调递减.

a

a

因为，㈣〃x)=°，且1映〃x)=0,所以了>1,即InaaJ1,即

Inaa(Ina)"

a'na

a唱〉(111以"喘〉111/两边取对数，得［1-白］lna>ln(lna),即Ina-1>In(lna).

试卷第11页，共21页

令lna=t,则令贻)=lnx-x+1,则斤(尤)=—-1,所以〃(x)在区间(0,1)内

尤

单调递增，在区间(1,+8)内单调递减,所以3)。(1)=0,所以"INlnf,则的

解为/N1,所以Inawl,即awe.

故实数a的范围为(Le)u(e,+a>).]

【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数

的取值范围问题，属较难试题，

方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最

值，图象，利用数形结合思想求解.

方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.

方法三：将问题取对，分成g(x)=lnx与p(x)=3两个函数，研究对数函数过原点的

a

切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论.

方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.

片篇「知识迁移强化

(2022•全国•统考高考真题)

13.已知函数/(无)=/-ax和g(x)=ar-ln尤有相同的最小值.

(1)求。；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线v=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且

从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

14.设函数/(x)=—+lnx(x>0).

2x

⑴求的单调区间；

(2)已知,曲线了=/(无)上不同的三点(七,〃』))[％,〃％)),(尤3,/(马))处的切线

都经过点(。,万).证明：

(i)若a>e,则0<6—/(a)<—1J；

4八2e-a112e-a

(ii)右0<a<e，M</</，则，+6e2)丁+晨(/-6e2.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

15.函数/(x)=ln(x+l).

%

⑴求证Vx20：

试卷第12页，共21页

(2)若方程f(x)=左遥恰有两个根，求证：*<k<『.

技法06利用导数研究双变量问题

喟3•常见题型解读

利用导数研究双变量问题是高考中的难点，双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧

性，解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决.需强加练习“

02

跟我学•解题思维剖析

(2021•全国•统考高考真题)

例6.已知函数=

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设。，6为两个不相等的正数，且Hna-aln6=a_b,证明：2<L+?<e.

ab

解题

技巧点拨

(2)［方法一］:等价转化

由Z?Ina—aInA=a_6得!(1—In」(1—In!)，即f(―)=

aabba

由aib,得一W一.

ab

由(1)不妨设工€(0,1)上€(1,+8),则/心>0,从而得:e(l,e),

ababb

①令g(x)=〃2-x)-/(x),

贝!Jg'(x)=ln(2-x)+lnx=ln(2x-xj=ln[l-(x-1)],

当xe(O,l)时，g『)<0,g(无)在区间(0,1)内为减函数，g(x)>g⑴=0,

从而〃27)>〃X),所以〃2-,

aab

由(1)得2-L<，即2<工+’.①

abab

令〃(x)=x+/(x),贝U=1+尸(x)=l-Inx,

当xe(l,e)时，〃(x)>0,无)在区间(l,e)内为增函数，h(x)<h(e)=e,

从而x+/(x)<e,所以1+/(3<e.

试卷第13页，共21页

又由,£(0,1),KTW—<—(1-ln-)=f(—)=fd),

aaaaab

所以，+:</d)+J=e.②

abbb

由①②得2<—+y<e.

ab

InaIn611「广…lna+1\nb+l

［方>法一］【最s优解】：blna-aln6=a-b变形为------=-----,所以------=--—.

abbaab

^—=m,—=n.则上式变为加(l—ln加)=—,

ab

于是命题转换为证明：2<m+n<e.

令/(x)=x(l-lnx),则有/(加)=/(〃),不妨设加<〃.

由(1)知0<冽,先证加+〃〉2.

要证：m+n>2<^>n>2-m<^>f(w)</(2—加)=/(m)</(2-m)

o/(加)-7(2—沈)<0.

令g(x)=/(x)-/(2-x)以E(0,1),

则,(1)=_1111_111(2_1)=_111以(2_1漳_1111=0,

，g(x)在区间(0,1)内单调递增，所以g(x)<g⑴=0,即加+〃>2.

再证加+〃<e.

因为加(l-ln加)=冽,所以需证〃(l-ln〃)+几<e=>冽+〃<e.

令〃(x)=x(l-lnx)+%,%£(l,e),

所以〃［x)=l-lnx>0,故〃(x)在区间(1©内单调递增.

所以〃(x)<=e.故〃(及)<e,即加+〃<e.

综合可知2<—\--<e.

ab

［方法三］:比值代换

证明9>2同证法2.以下证明%+X2<e.

ab

不妨设％2=b1，则,=寇>1，

x\

由演（1一1口再）二%2（1一加/）得再（1一加再）二/1口一111«%）［,In、］=1一些’,

t—\

要证玉+工2<。，只需证（1+，）项<e,两边取对数得ln（l+。+ln匹<1,

即皿1+。+1-3

<1,

试卷第14页，共21页

ln(l+Q\nt

即证=——-<——.

tt—1

s

记g(s)=-------,S£(0,+8),贝！1。化、_1+5

SgVs)-2

S

11

记h(s)=-s---ln(l+s),贝！Jh'(s)=---------<0,

1+s(1+s)1+s

所以，〃(s)在区间(0,+。)内单调递减.〃(s)<〃(O)=O,则g［s)<0,

所以g(s)在区间(0,+。)内单调递减.

由%£(1,+00)得%—1£(0,+8),所以g(/)<g(I),

即ln(l+f)<旦.

tt—\

［方法四］:构造函数法

q心/口In。Inft1111

由已知倚-----；—=;----，令A-=再，7=%2，

abbaab

不妨设西<X2，所以/(再)=/(%).

由⑴知，0<Xj<1<x2<e,只需证2<玉+%2<£.

证明玉+%＞2同证法2.

.e.

.、十人1i-2HFInx

再证明占+x?<e.令〃(x)=!zl吧(o<x<e)/(x)=―

x-e(x-e)

p1z?V—o

令9(x)=Inx+——2(0<x<e),则吸x)=-----=——<0.

xxxx

所以9（%）＞°（e）=0,〃（%）在区间（0,e）内单调递增.

,1-Inx,1-In1-Inxx,-e

因为0<$<%2<6,所以------<-------，Bp-—：---->-----

xx-ex2-e1-Inx2x2-e

又因为［(X］)=/(%)，所以::=土■，豆>工_£,

'/'/1-Inx2玉再毛一e

BPx；-ex2<x；—ex1,(项一%)(项+%一？)>°•

因为再ex2,所以再+%2<£，BP—+—<e.

ab

综上，有2＜』+，＜e结论得证.

ab

需票证•知识迁移强化

（四川•高考真题）

试卷第15页，共21页

7

16.已知函数/(刈"+-+而中>0),/(x)的导函数是/G).对任意两个不相等的正数

X

才1、4，证明:

(1)当00时，

(2)当Q4时，|八芭)一八%2)>1%一X2L

(2022・浙江•统考高考真题)

17.设函数/(x)=f-+lnx(x〉0).

2x

⑴求的单调区间；

(2)已知,曲线歹=/(X)上不同的三点(匹,/(匹)),卜2，〃工2))，(%3，/(刍))处的切线

都经过点(〃/).证明:

则0<6_/⑷<t)；

(i)若。〉e,

一八2e-a112e-a

(ii)右0<〃<e,%i</</，则r3+6e2<不+丁<(_6e?'

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

(2023•全国•学军中学校联考模拟预测)

18.已知函数7+

⑴设函数g(x)=*-人(左>0),若〃x)Wg(x)恒成立，求上的最小值;

(2)若方程〃x)=m有两个不相等的实根毛、巧，求证：工+逗「(In”」

x2石m

技法07导数中的隐零点问题

喟露•常见题型解读

零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一，其遮王盒鹿画

数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与

估计，利用导数研究恒成立问题是高考中的常考考点，常用函数的构造变换和单调性结合考查，需强加

练习“

02

跟我学•解题思维剖析

例7.已知函数/(x)=ln(ax),a>0,若/(x)V(x-l)e『，求a的取值范围.

技巧点拨

试卷第16页，共21页

解：ifih(x)=(x-l)ex-£Z-f(x)=(x-l)ex-a-lnx-lna,x>0,

依题意，h(x)>0恒成立，

求导得h(x)=xex~a--,x>0,

令y=h(x)=xex~a~—,y=(x+l)ex-fl+二〉0,

xx

则h'(X)在(0,+8)上单调递增，

1L，1

又打—=—e2—2<0,〃Q+l)=(Q+l)e------>0,

\2)2a-A

则玉。€&,0+1),使得〃(x0)=0,即工产广=：成立，

则当xe(O,Xo),”(x)<O,〃(x)单调递减；当xe(x0,+oo),A,(x)>0,A(x)单调递增，

力。焉=〃(%)=(/T)e'L-In%-Ina,

由与尸"」,得b"=3，a=xo+21nxo,

%x0

于是得go)=Tnx0-ln(x0+2In/),

X。

x—1

当xe(l,+oo)时，令[x)=「--Inx,

有r(x)=(1~x)^+2)<0,z(x)在(1,+与上单调递减，

X

而x+2InX在(l,+oo)上单调递增，

即有函数》=-ln(x+21nx)在(1,+8)上单调递减，

V—1

于是得函数夕(%)=—2--lnx-ln(x+21nx)

x

在(L+8)上单调递减，则当不£(1,+8)时，〃(%0)=夕(%)<火1)=0,不合题意；

当且x0+21nx0>0时，由(1)中lnx<x-l知，-lnx0>l-x0，有

-In(x0+2Inx0)>1-(x0+2Inx0),

从而

〃(%)="21-lnx0-In乐+2lnx0)>"21•lnx0+1-+2lnx0)

%o%o

="-31nx。-x0+12”_3(x。_1)_/+1=(1。)(2”1)(2%+1),

X。/X。

Ya

由XoeQ,l叩h(xo)>O,因此满足/(x)<(x-l)e-,又

。=%+2In//=x+2Inx

试卷第17页，共21页

在Q,1上单调递增，则有«eQ-21n2,lj,而。>0,所以实数。的取值范

困是（0,1］.

喘票证•知识迁移强化

19.已知函数/(%)="+、111%(。£町，当。=1且左eZ时，不等式左0-1)</0)在

X£(1,+GO)上恒成立，求左的最大值.

20.已知函数/(力=展£+?-2(a+l"0对任意的xe(0,+s)恒成立，其中实数0>0,

求。的取值范围.

(2023•辽宁葫芦岛•统考二模)

21.已知函数/(x)=ad一"-Xin%,且/(X)2O.

(1)求。；

_31

(2)证明："》)存在唯一的极大值点飞,且e-5</&)<▲.

e

技法08导数中的极值点偏移问题

•常见题型解读

极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的

思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习“

02

跟我学•解题思维剖析

(2022•全国•统考高考真题)

X

例8.已知函数/(%)=J-lnx+x-a.

(1)若〃力20,求。的取值范围；

(2)证明：若有两个零点4%，则再％<L

解题

技巧点拨

(2)［方法一］:构造函数

由题知，/(X)一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设项<1<%2

1

要证玉工2<1，即证玉<一

试卷第18页，共21页

因为尤I，(0,1),即证/任)>/

X2x2

又因为=尤2)，故只需证/(9)>/

x

e11

即11E-----Inx+x—xcx—Inx——>0,x£(1,+8)

XX

1

即UE-----xe*—2Inx一>0

XX

-,x1>0,lnx-1

下面证明工〉1时,<0

X

设g(x)=^——xex,x>1,

则g'(x)=ex+xex-