2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测数学试卷01（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷01数学一、单选题1．已知集合和，则（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，,A、B选项错误；，，故C错误，D正确.故选：D.2．已知复数，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗C〖解析〗因为复数，所以复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限.故选：C．3．已知多项式，则（

）A．11 B．74 C．86 D．〖答案〗B〖解析〗对于，其展开通项公式为，令，得，故，对于，其展开通项公式为，令，得，故，所以.故选：B.4．在如图的平面图形中，已知,则的值为（）A． B．C． D．0〖答案〗C〖解析〗如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.5．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题得：，故，而，所以.故选：B.6．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗不妨设正方体的边长为，球О的半径为R，则圆柱的底面半径为a，因为正方体的体对角线即为球О直径，故，利用勾股定理得：，解得，球的表面积为，故选：C.7．已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为，当时，，解得，当时，，则，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，则，又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则，则，所以，又，则，又，所以，当n为奇数时，，而，则，解得；当n为偶数时，，而，则；综上所述，实数的取值范围为.故选：C8．已知，，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，则，，，，∴，排除D．，则，，，∴，排除B．比较与大小，先比较与大小，,，因为，所以所以在上单调递增，，所以，所以，∴，综上.故选：A．二、多选题9．下列命题中，正确的命题是（

）A．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人B．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则C．设随机变量服从正态分布，若，则D．已知，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项：根据分层抽样可得高一抽取20人，高二抽取18人，高三抽取19人，故A选项正确；对于B选项：在n次独立重复试验中，，，，故B选项错误；对于C选项：随机变量服从正态分布，若，则，因为正态分布的对称性关于对称可得，故C选项正确；对于D选项：互斥，，，故D选项正确.故选：ACD.10．已知正数a，b满足，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为〖答案〗AC〖解析〗对于A，，当且仅当时成立，A正确；对于B，，即，可得，所以，当且仅当时成立，B错误；对于C，，当且仅当时成立，C正确；对于D，由，当且仅当，即，等号成立，所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.故选：AC.11．已知函数，下列说法正确的有（

）A．在上单调递增B．若，则C．函数的图象可以由向右平移个单位得到D．若函数在上恰有两个极大值点，则〖答案〗BD〖解析〗令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；令，则或，即或，由，则或，，即或，故选项正确；向右平移个单位变为故选项错误；对于，，在上恰有两个极大值点，即，即，故选项正确.故选：.12．已知偶函数与奇函数的定义域均为R，且满足，，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．f（1）=3C．g（x）=-g（x+3） D．〖答案〗AD〖解析〗由，将换为知，故A对；，奇函数中，则，，由为偶函数，，故B错；，，又，，，，故C错，，则，即.，，，即，为偶函数，，①，②由①②知，故D对.故选：AD.三、填空题13．过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.〖答案〗18〖解析〗过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子.构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有（种）；构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有（种）.因此构成的过氧化氢分子的种数最多为.故〖答案〗为：18.14．已知是定义域为R的奇函数，且当时，则________.〖答案〗〖解析〗由，得，又当时，所以.由是奇函数，得，所以.故〖答案〗为：．15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．〖答案〗〖解析〗设，OP中点，D也是AB中点，，因为D也是AB中点，所以，，因为在圆内，所以，∴，又因为，，所以，∴，∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，∴两圆有且仅有一个公共点，∴或，或或0或2，所以a的取值集合．故〖答案〗为：.16．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断：①平面平面；②平面③异面直线与所成角的取值范围是；④三棱锥的体积不变.其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.〖答案〗①④〖解析〗对于①，根据正方体的性质，易得：平面,平面,,同理可得：,且,平面;且平面，所以平面平面，①正确；由①知，平面，不平行于，所以不垂直于平面，②错误；//，所以异面直线与所成角，即与所成角，当P与线段的中点重合时，所成角为，故③错误；三棱锥的体积等于的体积，因为C到平面的距离不变，且三角形的面积不变所以三棱锥的体积不变，④正确故〖答案〗为：①④四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角、、的对边分别为，，，且满足___________．（1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值．解：（1）选①时，，利用正弦定理得：，由于，所以，故，又，，整理得，，故．选②时，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故．选③时，，利用正弦定理得：，又，，整理得．所以，整理得，，故．（2）由于的面积为，所以，，解得．在中，由余弦定理得：，故，当且仅当，即，，的最小值为．18．已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列.（1）求，的通项公式；（2）求的前n项和.解：（1）因为是公差为1的等差数列，，所以.又是公比为2的等比数列，，所以，故.（2）因为，所以为递增数列，又，，，故当时，恒有，故记的前n项和为，则.当时，；当时，.综上，.19．三棱柱中，，，线段的中点为，且.（1）求与所成角的余弦值；（2）若线段的中点为，求二面角的余弦值.解：（1）在线段上取一点，使，在三棱柱中，，在中，因为，是的中点，所以，所以，因为平面，所以平面.在中，由余弦定理得：，所以，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，设，因为所以，设直线与所成的角为，所以.（2）因为线段的中点为，所以设平面的一个法向量，因为，所以，令，则，所以.由（1）平面，平面，所以平面平面，又平面平面又，平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，而在轴上，所以取平面的一个法向量，设二面角的平面角为，由图可知：为锐角，所以.所以二面角的余弦值为.20．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，（1）.所以试验一次结果为红球的概率为.（2）①因为，是对立事件，，所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为.②由①得，所以方案一中取到红球的概率为：，方案二中取到红球的概率为：，因为，所以方案二中取到红球的概率更大.21．已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，（1）设直线的斜率分别为，求的值；（2）若，求的面积.解：（1）法一：因为，所以，令得，所以，解得，所以的方程为显然直线与轴不垂直，设其方程为，联立直线与的方程，消去得，当时，，设，则.因为，所以.法二：由题意得，解得，双曲线的方程为.设方程为，联立，可得，，，，.（2）法一：因为，所以，又因为，所以，即，（※）将代入（※）得，因为在轴上方，所以，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或，所以的面积为.法二：设，由，可得，，解得，方程，联立，可得，解得，同理联立，解得，.22．已知函数．（1）若，，求实数a的取值范围；（2）设是函数的两个极值点，证明：．（1）解：依题意，.

①当时，在上，所以在上单调递减，所以，所以不符合题设.

②当时，令，得，解得，，所以当时，所以在上单调递减，所以，所以不符合题设.③当时，判别式，所以，所以在上单调递增，所以.综上，实数a的取值范围是.（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点.由（1）知，，，则.综上，要证，只需证，因为，设，.

所以，所以在上单调递增，所以.所以，即得成立．所以原不等式成立.2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷01数学一、单选题1．已知集合和，则（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，,A、B选项错误；，，故C错误，D正确.故选：D.2．已知复数，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗C〖解析〗因为复数，所以复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限.故选：C．3．已知多项式，则（

）A．11 B．74 C．86 D．〖答案〗B〖解析〗对于，其展开通项公式为，令，得，故，对于，其展开通项公式为，令，得，故，所以.故选：B.4．在如图的平面图形中，已知,则的值为（）A． B．C． D．0〖答案〗C〖解析〗如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.5．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题得：，故，而，所以.故选：B.6．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗不妨设正方体的边长为，球О的半径为R，则圆柱的底面半径为a，因为正方体的体对角线即为球О直径，故，利用勾股定理得：，解得，球的表面积为，故选：C.7．已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为，当时，，解得，当时，，则，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，则，又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则，则，所以，又，则，又，所以，当n为奇数时，，而，则，解得；当n为偶数时，，而，则；综上所述，实数的取值范围为.故选：C8．已知，，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗，，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，则，，，，∴，排除D．，则，，，∴，排除B．比较与大小，先比较与大小，,，因为，所以所以在上单调递增，，所以，所以，∴，综上.故选：A．二、多选题9．下列命题中，正确的命题是（

）A．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人B．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则C．设随机变量服从正态分布，若，则D．已知，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项：根据分层抽样可得高一抽取20人，高二抽取18人，高三抽取19人，故A选项正确；对于B选项：在n次独立重复试验中，，，，故B选项错误；对于C选项：随机变量服从正态分布，若，则，因为正态分布的对称性关于对称可得，故C选项正确；对于D选项：互斥，，，故D选项正确.故选：ACD.10．已知正数a，b满足，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为〖答案〗AC〖解析〗对于A，，当且仅当时成立，A正确；对于B，，即，可得，所以，当且仅当时成立，B错误；对于C，，当且仅当时成立，C正确；对于D，由，当且仅当，即，等号成立，所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.故选：AC.11．已知函数，下列说法正确的有（

）A．在上单调递增B．若，则C．函数的图象可以由向右平移个单位得到D．若函数在上恰有两个极大值点，则〖答案〗BD〖解析〗令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；令，则或，即或，由，则或，，即或，故选项正确；向右平移个单位变为故选项错误；对于，，在上恰有两个极大值点，即，即，故选项正确.故选：.12．已知偶函数与奇函数的定义域均为R，且满足，，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．f（1）=3C．g（x）=-g（x+3） D．〖答案〗AD〖解析〗由，将换为知，故A对；，奇函数中，则，，由为偶函数，，故B错；，，又，，，，故C错，，则，即.，，，即，为偶函数，，①，②由①②知，故D对.故选：AD.三、填空题13．过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.〖答案〗18〖解析〗过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子.构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有（种）；构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有（种）.因此构成的过氧化氢分子的种数最多为.故〖答案〗为：18.14．已知是定义域为R的奇函数，且当时，则________.〖答案〗〖解析〗由，得，又当时，所以.由是奇函数，得，所以.故〖答案〗为：．15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．〖答案〗〖解析〗设，OP中点，D也是AB中点，，因为D也是AB中点，所以，，因为在圆内，所以，∴，又因为，，所以，∴，∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，∴两圆有且仅有一个公共点，∴或，或或0或2，所以a的取值集合．故〖答案〗为：.16．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断：①平面平面；②平面③异面直线与所成角的取值范围是；④三棱锥的体积不变.其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.〖答案〗①④〖解析〗对于①，根据正方体的性质，易得：平面,平面,,同理可得：,且,平面;且平面，所以平面平面，①正确；由①知，平面，不平行于，所以不垂直于平面，②错误；//，所以异面直线与所成角，即与所成角，当P与线段的中点重合时，所成角为，故③错误；三棱锥的体积等于的体积，因为C到平面的距离不变，且三角形的面积不变所以三棱锥的体积不变，④正确故〖答案〗为：①④四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角、、的对边分别为，，，且满足___________．（1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值．解：（1）选①时，，利用正弦定理得：，由于，所以，故，又，，整理得，，故．选②时，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故．选③时，，利用正弦定理得：，又，，整理得．所以，整理得，，故．（2）由于的面积为，所以，，解得．在中，由余弦定理得：，故，当且仅当，即，，的最小值为．18．已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列.（1）求，的通项公式；（2）求的前n项和.解：（1）因为是公差为1的等差数列，，所以.又是公比为2的等比数列，，所以，故.（2）因为，所以为递增数列，又，，，故当时，恒有，故记的前n项和为，则.当时，；当时，.综上，.19．三棱柱中，，，线段的中点为，且.（1）求与所成角的余弦值；（2）若线段的中点为，求二面角的余弦值.解：（1）在线段上取一点，使，在三棱柱中，，在中，因为，是的中点，所以，所以，因为平面，所以平面.在中，由余弦定理得：，所以，所以，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，设，因为所以，设直线与所成的角为，所以.（2）因为线段的中点为，所以设平面的一个法向量，因为，所以，令，则，所以.由（1）平面，平面，所以平面平面，又平面平面又，平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，而在轴上，所以取平面的一个法向量，设二面角的平面角为，由图可知：为锐角，所以.所以二面角的余弦值为.20．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试